Frecuencia negativa

En matemáticas, frecuencia firmada ()frecuencia negativa y positiva) se expande sobre el concepto de frecuencia, desde un valor absoluto que representa cuán a menudo ocurre algún evento repetido, para tener también un signo positivo o negativo que representa una de dos orientaciones opuestas para ocurrencias de esos eventos. Los siguientes ejemplos ayudan a ilustrar el concepto:

• Para un objeto giratorio, el valor absoluto de su frecuencia de rotación indica cuántas rotaciones el objeto completa por unidad de tiempo, mientras que el signo podría indicar si está girando en sentido de reloj o en sentido contrario.
  • Matemáticamente hablando, el vector ${displaystyle (cos(t),sin(t)}$ tiene una frecuencia positiva de +1 radio por unidad de tiempo y gira en sentido contrario alrededor del círculo de la unidad, mientras que el vector ${displaystyle (cos(-t),sin(-t)}$ tiene una frecuencia negativa de -1 radio por unidad de tiempo, que gira en su lugar el reloj.
• Para un oscilador armónico como un péndulo, el valor absoluto de su frecuencia indica cuántas veces oscila hacia atrás y hacia adelante por unidad de tiempo, mientras que el signo podría indicar en cuál de las dos direcciones opuestas comenzó a moverse.
• Para una función periódica representada en un sistema de coordenadas cartesiano, el valor absoluto de su frecuencia indica cuán a menudo en su dominio repite sus valores, mientras que cambiar el signo de su frecuencia podría representar una reflexión alrededor de su eje y.

Sinusoides

Vamos. ${displaystyle omega }$ ser una frecuencia angular no negativa con unidades de radianos por unidad de tiempo y dejar ${displaystyle varphi }$ ser una fase en radianos. Una función ${displaystyle theta (t)=-omega t+varphi }$ tiene pendiente ${displaystyle -omega.}$ Cuando se utiliza como el argumento de un sinusoide, ${displaystyle -omega }$ puede representar un frecuencia negativa.

Porque el cosine es una función uniforme, la frecuencia negativa sinusoid ${displaystyle cos(-omega t+varphi)}$ es indistinguible de la frecuencia positiva sinusoid ${displaystyle cos(omega t-varphi).}$

Del mismo modo, porque el pecado es una función extraña, la frecuencia negativa sinusoid ${displaystyle sin(-omega t+varphi)}$ es indistinguible de la frecuencia positiva sinusoid ${displaystyle {text{-}sin(omega t-varphi)}$ o ${displaystyle sin(omega t-varphi +pi).}$

Por lo tanto, cualquier sinusoide se puede representar únicamente en términos de frecuencias positivas.

El signo de la pendiente de fase subyacente es ambiguo. Porque... ${displaystyle cos(omega t+varphi)}$ guías ${displaystyle sin(omega t+varphi)}$ por ${\fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicro } {2}}$ radios (o 1/4 ciclo) para frecuencias positivas y retrasos por la misma cantidad para frecuencias negativas, la ambigüedad sobre la pendiente de fase se resuelve simplemente observando un operador cosino y sine simultáneamente y viendo cuál conduce el otro.

El signo de ${displaystyle omega }$ se conserva también en la función de valor complejo:

${displaystyle e^{iomega t}=underbrace {cos(omega t)} _{R(t)}+icdot underbrace {sin(omega t)} _{I(t)}}$

(Eq.1)

desde entonces ${displaystyle R(t)}$ y ${displaystyle I(t)}$ puede ser observado y comparado por separado. Una interpretación común es que ${displaystyle e^{iomega t}$es una función más simple que cualquiera de sus componentes, porque simplifica los cálculos trigonométricos multiplicativos, lo que conduce a su descripción formal como el representación analítica de ${displaystyle cos(omega t)}$.

La suma de una representación analítica con sus complejos extractos conjugados la función real valorada que representan. Por ejemplo:

${displaystyle cos(omega t)={begin{matrix}{frac {1}{2}end{matrix}left(e^{iomega t}+e^{-iomega t}right),}$

(Eq.2)

que da lugar a una interpretación algo engañosa que ${displaystyle cos(omega t)}$ Comprendido ambos una frecuencia positiva y negativa. Pero la "sum" implica una cancelación de todos los componentes imaginarios ${displaystyle ({tfrac {1}{2}isin(omega t)-{tfrac {1}{2}isin(omega t)}$. Esa cancelación simplemente resulta en una ambigüedad sobre el signo de la frecuencia. Usar cualquier signo proporciona una representación equivalente de la misma onda cosina.

En cualquier medida que indica ambas frecuencias, una de las dos frecuencias es un falso positivo o alias del otro, porque ${displaystyle omega }$ sólo puede tener una señal. El Fourier se transforma, por ejemplo, simplemente nos dice que ${displaystyle cos(omega t)}$ Cruz-correlates igualmente bien con ${displaystyle cos(omega t)+isin(omega t)}$ como con ${displaystyle cos(omega t)-isin(omega t).}$ Sin embargo, tratar un verdadero sinusoide como la combinación de una frecuencia positiva y negativa es a veces útil (y matemáticamente válida).

Aplicaciones

Simplificando la transformada de Fourier

Quizás la aplicación más conocida de la frecuencia negativa sea la fórmula:

${displaystyle {hat {f}(omega)=int _{-infty }{infty }f(t)e^{-iomega t}dt,}$

que es una medida de la energía en función ${displaystyle f(t)}$ a frecuencia ${displaystyle omega.}$ Cuando se evalúa para un continuum del argumento ${displaystyle omega}$ el resultado se llama la transformación Fourier.

Por ejemplo, considere la función:

${displaystyle f(t)=A_{1}e^{iomega _{1}t}+A_{2}e^{iomega _{2}t},\forall tin mathbb {R}omega _{1}0}omega - ¿Qué?$

Y:

${fnMiega] ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? }A_{1}e^{iomega ¿Por qué? }A_{2}e^{iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? }A_{2}e^{i(omega _{2}-omega)t}dtend{aligned}}$

Tenga en cuenta que, aunque la mayoría de las funciones no comprenden sinusoides de duración infinita, la idealización es una simplificación común que facilita la comprensión.

Mirando el primer término de este resultado, cuando ${displaystyle omega =omega _{1},}$ el frecuencia negativa ${displaystyle - 'omega ¿Qué?$ cancela la frecuencia positiva, dejando sólo el coeficiente constante ${displaystyle A_{1}$ (porque ${displaystyle E^{i0t}=e^{0}=1}$), que hace que la infinidad integral se desplace. En otros valores ${displaystyle omega }$ las oscilaciones residuales hacen que la integral converge a cero. Esto idealizada La transformación de Fourier generalmente se escribe como:

${displaystyle {hat {f}(omega)=2pi A_{1}delta (omega -omega _{1})+2pi A_{2}delta (omega -omega _{2}). }$

Para duraciones realistas, las divergencias y convergencias son menos extremas, y aparecen convergencias menores distintas de cero (fuga espectral) en muchas otras frecuencias, pero el concepto de frecuencia negativa aún se aplica. La formulación original de Fourier (la transformada del seno y la transformada del coseno) requiere una integral para el coseno y otra para el seno. Y las expresiones trigonométricas resultantes suelen ser menos manejables que las expresiones exponenciales complejas. (ver Señal analítica, fórmula de Euler § Relación con la trigonometría y fasor)

Muestreo de frecuencias positivas y negativas y aliasing