Fórmula de Euler

Fórmula de Euler, llamada así por Leonhard Euler, es una fórmula matemática en análisis complejo que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. La fórmula de Euler establece que para cualquier número real x:

$${displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}$$

La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física e ingeniería. El físico Richard Feynman llamó a la ecuación "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas".

Cuando x = π, la fórmula de Euler puede reescribirse como e^iπ + 1 = 0, que se conoce como la identidad de Euler.

Historia

En 1714, el matemático inglés Roger Cotes presentó un argumento geométrico que puede ser interpretado (después de corregir un factor mal colocado de ${displaystyle {sqrt {}}$Como:

$${displaystyle ix=ln(cos x+isin x).}$$

Alrededor de 1740, Leonhard Euler centró su atención en la función exponencial y derivó la ecuación que lleva su nombre al comparar las expansiones en serie de las expresiones exponencial y trigonométrica. La fórmula se publicó por primera vez en 1748 en su obra fundacional Introductio in analysin infinitorum.

Johann Bernoulli había descubierto que

$${fnMicroc} {1}{1+x^{2}={frac} {1}{2}left({frac} {1}{1-ix}}+{frac {1}{1+ix}right).}$$

Y desde entonces

$${displaystyle int {frac {dx}{1+ax}={frac {1}ln(1+ax)+C,}$$

La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no comprendía completamente los logaritmos complejos. Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.

La visión de los números complejos como puntos en el plano complejo fue descrita unos 50 años después por Caspar Wessel.

Definiciones de exponenciación compleja

La función exponencial e^x para valores reales de x se puede definir de diferentes formas equivalentes (ver Caracterizaciones de la función exponencial). Varios de estos métodos pueden extenderse directamente para dar definiciones de e^z para valores complejos de z simplemente sustituyendo z en lugar de x y usando las operaciones algebraicas complejas. En particular, podemos utilizar cualquiera de las tres definiciones siguientes, que son equivalentes. Desde una perspectiva más avanzada, cada una de estas definiciones puede interpretarse como una continuación analítica única de e^x a la plano complejo.

Definición de ecuación diferencial

La función exponencial ${displaystyle zmapsto e^{z}$ es la función diferenciable única de una variable compleja para la cual el derivado iguala la función

$${displaystyle {frac {f}{dz}}=e^{z} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle e^{0}=1.}$$

Definición de serie de potencias

Para z complejos

$${displaystyle e^{z}=1+{frac {z}{1}}+{frac {Z^{2}{2}}}+{frac {z^{3}{3}}}+cdots =sum _{n=0}{infty - ¿Qué?$$

Usando la prueba de la razón, es posible mostrar que esta serie de potencias tiene un radio infinito de convergencia y por lo tanto define e^z para todos los z complejos.

Definición de límite

Para z complejos

$${displaystyle e^{z}=lim _{nto infty }left(1+{frac {z} {n}right)}{n}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfncfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnhnfnfnfnhnfnfnfnfnfnfnfnKfnncfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn$$

Aquí, n está restringido a números enteros positivos, por lo que no hay duda de cuál es la potencia con el exponente n significa.

Pruebas

Varias pruebas de la fórmula son posibles.

Uso de la diferenciación

Esta prueba muestra que el cociente de las expresiones trigonométricas y exponenciales es la función constante uno, por lo que deben ser iguales (la función exponencial nunca es cero, por lo que está permitido).

Considere la función f(θ)

$${displaystyle f(theta)={frac {cos theta +isin theta ♫{e^{itheta }=e^{-itheta }left(cos theta +isin theta right)}$$

$${displaystyle f'(theta)=e^{-itheta }left(icos theta -sin theta right)-ie^{-itheta }left(cos theta +isin theta right)=0}$$

$${displaystyle e^{itheta }=cos theta +isin theta.}$$

Usando series de potencias

Aquí hay una prueba de la fórmula de Euler usando expansiones en serie de potencias, así como datos básicos sobre las potencias de i< /lapso>:

$${displaystyle {begin{aligned}i^{0} limit=1, limiti^{1} limit=i, duplica=-1, limiti^{3} limit=-i,i^{4} limit=1, limiti^{5}duc=i, {6} {6}} {=-1, duplicado}$$

Usando ahora la definición de serie de potencias de arriba, vemos que para valores reales de x

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {cc} {c}} {ccc} {cccc}} {c}}}} {ccccccccccccccc} {ccccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}} {ccccccccccccc {x^{2}{2}}}-{frac {ix^{3}{3}}}+{frac {x^{4} {4}}}+{frac {ix^{5}{5}} {frac {x^{6}{6}}}-{frac {ix^{7}{7}}+{frac {x^{8}{8}}+cdots \[8pt] {x^{2}{2}}}+{frac {x^{4} {4}} {frac {x^{6}{6}}}+{frac {x^{8} {8}}}-cdots right)+ileft(x-{frac {x^{3}{3}}}+{frac {x^{5}{5}}}-{frac {x^{7}{7}}+cdots right)[8pt]$$

Usando coordenadas polares

Otra prueba se basa en el hecho de que todos los números complejos se pueden expresar en coordenadas polares. Por lo tanto, para algunos r y θ< /span> dependiendo de x,

$${displaystyle e^{ix}=rleft(cos theta +isin theta right). }$$

$${displaystyle ie^{ix}=left(cos theta +isin theta right){frac {dr}{dx}}+rleft(-sin theta +icos theta right){frac {dtheta] - Sí.$$

$${displaystyle e^{ix}=1(cos x+isin x)=cos x+isin x.}$$

Aplicaciones

Aplicaciones en teoría de números complejos

La fórmula de Euler e^iφ = φ + i pecado φ ilustrado en el plano complejo.

Interpretación de la fórmula

Esta fórmula se puede interpretar como que la función e^iφ es una número complejo unitario, es decir, traza el círculo unitario en el plano complejo a medida que φ se extiende a través de los números reales. Aquí φ es el ángulo que forma una línea que conecta el origen con un punto en el círculo unitario con el eje real positivo, medido en sentido antihorario y en radianes.

La prueba original se basa en las expansiones de la serie de Taylor de la función exponencial e^z (donde z es un número complejo) y de sin x y cos x para números reales x (ver más abajo). De hecho, la misma prueba muestra que la fórmula de Euler es incluso válida para todos los números complejos x.

Un punto en el plano complejo se puede representar mediante un número complejo escrito en coordenadas cartesianas. La fórmula de Euler proporciona un medio de conversión entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares. La forma polar simplifica las matemáticas cuando se usa en multiplicaciones o potencias de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy, y su complejo conjugado, z = x − iy, se puede escribir como

$${displaystyle {begin{aligned}z sensible=x+iy= imperz sometida(cos varphi +isin varphi)=re^{ivarphi },{bar {z} {=x-iy= habitz [cos varphi -isin varphi]=re^{-ivarphi},endal{} {} {} {} {f}}}} {f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}fnfnfnfnfnKfnfnKfnfnfnKfnfnKfnfnfnKfnfnKf}}fnK$$

• x Re z es la parte real,
• Sí. = Im z es la parte imaginaria,
• r = SilenciozSilencio √x² + Sí.² es la magnitud de z y
• φ = arg z = atan2(Sí., x).

φ es el argumento de z, es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en sentido antihorario en radianes, que se define hasta la suma de 2π. Muchos textos escriben φ = tan⁻¹ y/x en lugar de φ = atan2(y,x), pero la primera ecuación necesita ajuste cuando x ≤ 0. Esto se debe a que para cualquier x y y, no ambos cero, los ángulos de los vectores (x, y) y (−x, −y) se diferencian por π radianes, pero tienen el mismo valor de tan φ = y/x.

Uso de la fórmula para definir el logaritmo de números complejos

Ahora, tomando esta fórmula derivada, podemos usar la fórmula de Euler para definir el logaritmo de un número complejo. Para ello, también utilizamos la definición del logaritmo (como operador inverso de la exponenciación):

$${displaystyle a=e^{ln a}$$

$${displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}$$

ab

$${displaystyle z=left sometidazright sometidae^{ivarphi }=e^{lnlnleft sometidazright sometida}e^{ivarphi }=e^{ln left sometidazright sobrevivir+ivarphi }$$

z ل 0

$${displaystyle ln z=lnlnleft habitzright sometida+ivarphi}$$

φ

Finalmente, la otra ley exponencial

$${displaystyle left(e^{a}right)}=e^{ak}$$

k

Relación con la trigonometría

Relación entre el seno, la función cosina y la función exponencial

La fórmula de Euler, las definiciones de las funciones trigonométricas y las identidades estándar para exponenciales son suficientes para derivar fácilmente la mayoría de las identidades trigonométricas. Proporciona una poderosa conexión entre el análisis y la trigonometría, y brinda una interpretación de las funciones seno y coseno como sumas ponderadas de la función exponencial:

$${displaystyle {begin{aligned}cos x limit=operatorname {Re} left(e^{ix}right)={frac {e^{ix}+e^{-ix}{2}}},\\sin x Um=operatorname {Im} left(e^{ix}right)={e^{ix}-e^{-ix}}}}{2i}}}end{aligned}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Re}}}} {Re}}}}}}}}}}}}}} {Re}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Las dos ecuaciones anteriores se pueden derivar sumando o restando las fórmulas de Euler:

$${displaystyle {begin{aligned}e^{ix} limit=cos x+isin x,e^{-ix} {cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin xend{aligned}}}$$

Estas fórmulas pueden incluso servir como definición de funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Por ejemplo, dejando x = iy, tenemos:

$${displaystyle {begin{aligned}cos iyiéndose={frac {y}+e^{y}{2}=cosh} Y,\\\sin i Y apos; s={frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Las exponenciales complejas pueden simplificar la trigonometría porque son más fáciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una técnica es simplemente convertir sinusoides en expresiones equivalentes en términos de exponenciales. Después de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue teniendo un valor real. Por ejemplo:

$${displaystyle {begin{aligned}cos xcos yiéndose={frac} {fnK}cdot} {fnMicroc {fnMicroc}\fnK}\\fnK}\fnMicroc} {1}{2}cdotfrac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}{2}\\\={fracfci} {1}{2} {bigg} {frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}} {cos(x+y)}+underbrace {frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}{2} {} {bi}} {}} {}}}{y)}}}}}}}}{y}}}}}} {}}}} {c} {c} {c}}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c} {c}} {c}}}} {c}}}} {cccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}$$

Otra técnica es representar las sinusoides en términos de la parte real de una expresión compleja y realizar las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo:

$${displaystyle {begin{aligned}cos nx limit=operatorname {Re}left(e^{inx}right)\\fnMicrosoft Sans Serif {Re} left(e^{i(n-1)x}cdot e^{ix}derecha)\demn=operatorname {Re} {Big (}e^{i(n-1)x}cdot {big}underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} ¿Qué? Big)}\\=operatorname {Re} left(e^{i(n-1)x}cdot 2cos x-e^{i(n-2)x}right)\\cdot [2cos x]-cos[(n-2)x].end{aligned}}}}}}$$

Esta fórmula se utiliza para la generación recursiva de cos nx para valores enteros de n y arbitraria x (en radianes).

Interpretación topológica

En el lenguaje de la topología, la fórmula de Euler afirma que la función exponencial imaginaria ${displaystyle tmapsto e^{it}$ es un morfismo (surjetivo) de los grupos topológicos de la línea real ${displaystyle mathbb {R}$ al círculo de la unidad ${displaystyle mathbb {S}$. De hecho, estas exposiciones ${displaystyle mathbb {R}$ como espacio de cobertura ${displaystyle mathbb {S}$. Del mismo modo, la identidad de Euler dice que el núcleo de este mapa es ${displaystyle tau mathbb {Z}$, donde ${displaystyle tau =2pi}$. Estas observaciones pueden combinarse y resumirse en el diagrama comunicativo siguiente:

Otras aplicaciones

En ecuaciones diferenciales, la función e^ix se usa a menudo para simplificar soluciones, incluso si la respuesta final es una función real que involucra seno y coseno. La razón de esto es que la función exponencial es la función propia de la operación de derivación.

En ingeniería eléctrica, procesamiento de señales y campos similares, las señales que varían periódicamente a lo largo del tiempo a menudo se describen como una combinación de funciones sinusoidales (consulte el análisis de Fourier), y se expresan más convenientemente como la suma de funciones exponenciales con exponentes imaginarios., utilizando la fórmula de Euler. Además, el análisis fasorial de circuitos puede incluir la fórmula de Euler para representar la impedancia de un capacitor o un inductor.

En el espacio de cuatro dimensiones de los cuaterniones, hay una esfera de unidades imaginarias. Para cualquier punto r en esta esfera, y x un número real, se aplica la fórmula de Euler:

$${displaystyle exp xr=cos x+rsin x,}$$