Flexágono

Hexaflexagon, mostrada con la misma cara en dos configuraciones

En geometría, los flexágonos son modelos planos, generalmente construidos doblando tiras de papel, que se pueden flexionar o plegar de ciertas maneras para revelar caras además de las dos que estaban originalmente en la parte trasera y delantera.

Los flexágonos suelen ser cuadrados o rectangulares (tetraflexágonos) o hexagonales (hexaflexágonos). Se puede agregar un prefijo al nombre para indicar la cantidad de caras que puede mostrar el modelo, incluidas las dos caras (parte posterior y parte frontal) que son visibles antes de la flexión. Por ejemplo, un hexaflexágono con un total de seis caras se llama hexahexaflexágono.

En la teoría del hexaflexágono (es decir, en relación con los flexágonos de seis lados), los flexágonos suelen definirse en términos de pats.

Dos flexágonos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una serie de pellizcos y rotaciones. La equivalencia de Flexagon es una relación de equivalencia.

Historia

Descubrimiento e introducción

El descubrimiento del primer flexágono, un trihexaflexágono, se atribuye al matemático británico Arthur H. Stone, mientras estudiaba en la Universidad de Princeton en los Estados Unidos en 1939. Su nuevo artículo estadounidense no cabía en su carpeta inglesa, por lo que decidió cortó los extremos del papel y comenzó a doblarlos en diferentes formas. Uno de estos formó un trihexaflexágono. Los colegas de Stone, Bryant Tuckerman, Richard Feynman y John Tukey, se interesaron en la idea y formaron el Comité Flexagon de Princeton. Tuckerman elaboró un método topológico, llamado poligonal de Tuckerman, para revelar todas las caras de un flexágono. Las poligonales de Tuckerman se muestran como un diagrama.

Los flexágonos fueron presentados al público en general por Martin Gardner en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American en un artículo tan bien recibido que lanzó los "Juegos matemáticos&#39 de Gardner. 34; columna que luego se publicó en esa revista durante los siguientes veinticinco años. En 1974, el mago Doug Henning incluyó un hexaflexágono de construcción propia con la grabación original del elenco de su espectáculo de Broadway The Magic Show.

Intento de desarrollo comercial

En 1955, Russell Rogers y Leonard D'Andrea de Homestead Park, Pensilvania, solicitaron una patente y en 1959 se les otorgó la patente de EE. como."

Su patente imaginaba posibles aplicaciones del dispositivo "como juguete, como dispositivo publicitario o como dispositivo educativo geométrico". Algunas de estas novedades fueron producidas por Herbick & Held Printing Company, la empresa de impresión en Pittsburgh donde trabajaba Rogers, pero el dispositivo, comercializado como 'Hexmo', no tuvo éxito.

Variedades

Tetraflexágonos

Tritetraflexágono

Un tritetraflexagon se puede plegar de una tira de papel como se muestra.

Esta figura tiene dos caras visibles, construidas con cuadrados As Bs. La cara de CS está escondido dentro del flexágono.

El tritetraflexágono es el tetraflexágono más simple (flexágono con lados cuadrados). El "tri" en el nombre significa que tiene tres caras, dos de las cuales son visibles en cualquier momento si el flexágono se presiona plano. La construcción del tritetraflexágono es similar al mecanismo utilizado en el juguete infantil tradicional Jacob's Ladder, en Rubik's Magic y en el truco de la cartera mágica o la cartera Himber.

El tritetraflexágono tiene dos callejones sin salida, donde no puede flexionarse hacia adelante. Para llegar a otra cara, debe flexionarse hacia atrás o voltear el flexágono.

Tritetraflexagon traverse

Hexatetraflexágono

Un hexatetraflexágono cíclico más complicado no requiere pegamento. Un hexatetraflexágono cíclico no tiene 'callejones sin salida', pero la persona que lo fabrica puede seguir doblándolo hasta llegar a la posición inicial. Si los lados se colorean en el proceso, los estados se pueden ver más claramente.

Hexatetraflexagon traverse

A diferencia del tritetraflexágono, el hexatetraflexágono no tiene callejones sin salida y nunca es necesario flexionarlo hacia atrás.

Hexaflexágonos

Los hexaflexágonos vienen en una gran variedad, que se distinguen por la cantidad de caras que se pueden lograr flexionando la figura ensamblada. (Tenga en cuenta que la palabra hexaflexágonos [sin prefijos] a veces puede referirse a un hexahexaflexágono ordinario, con seis lados en lugar de otros números).

Trihexaflexágono

Esta plantilla trihexaflexagon muestra 3 colores de 9 triángulos, impresos en un lado, y plegados para ser coloreados en ambos lados. Los dos triángulos amarillos en los extremos terminarán pegados juntos. Los arcos rojos y azules se ven como círculos completos en el interior de un lado o el otro cuando se dobla.

Un hexaflexágono con tres caras es el más simple de los hexaflexágonos de hacer y manejar, y está hecho de una sola tira de papel, dividida en nueve triángulos equiláteros. (Algunos patrones proporcionan diez triángulos, dos de los cuales se pegan en el ensamblaje final).

Para ensamblar, la tira se pliega cada tres triángulos, conectándose a sí misma después de tres inversiones a la manera del símbolo internacional de reciclaje. Esto hace una tira de Möbius cuyo único borde forma un nudo de trébol.

Hexahexaflexágono

Este hexaflexágono tiene seis caras. Se compone de diecinueve triángulos doblados a partir de una tira de papel.

Las figuras 1-6 muestran la construcción de un hexaflexagón hecho de triángulos de cartón en un respaldo hecho de una tira de tela. Se ha decorado en seis colores; naranja, azul y rojo en la figura 1 corresponden a 1, 2, y 3 en el diagrama anterior. El lado opuesto, figura 2, está decorado con púrpura, gris y amarillo. Tenga en cuenta los diferentes patrones utilizados para los colores en los dos lados. La figura 3 muestra el primer pliegue, y la figura 4 el resultado de los primeros nueve pliegues, que forman una espiral. Las figuras 5-6 muestran el pliegue final de la espiral para hacer un hexágono; en 5, dos caras rojas han sido ocultadas por un pliegue del valle, y en 6, dos caras rojas en el lado inferior han sido ocultadas por un pliegue de montaña. Después de la figura 6, el triángulo suelto final se dobla y se une al otro extremo de la tira original de modo que un lado es todo azul, y el otro todo naranja. Las fotos 7 y 8 muestran el proceso de perpetuar el hexaflexagon para mostrar los antiguos triángulos rojos ocultos. Mediante otras manipulaciones, los seis colores pueden ser expuestos.

Una vez dobladas, las caras 1, 2 y 3 son más fáciles de encontrar que las caras 4, 5 y 6.

Una manera fácil de exponer las seis caras es usar la poligonal de Tuckerman, llamada así por Bryant Tuckerman, uno de los primeros en investigar las propiedades de los hexaflexágonos. La poligonal de Tuckerman implica la flexión repetida al pellizcar una esquina y flexionar desde exactamente la misma esquina cada vez. Si la esquina se niega a abrirse, muévase a una esquina adyacente y siga flexionando. Este procedimiento lo lleva a un ciclo de 12 caras. Sin embargo, durante este procedimiento, 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que 4, 5 y 6. El ciclo procede de la siguiente manera:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 2 → 1 → 5 → 2

Y luego de vuelta a 1 otra vez.

Cada color/cara también se puede exponer de más de una forma. En la figura 6, por ejemplo, cada triángulo azul tiene en el centro su esquina decorada con una cuña, pero también es posible, por ejemplo, hacer que las decoradas con Y's lleguen al centro. Hay 18 configuraciones posibles de este tipo para triángulos con diferentes colores, y se pueden ver flexionando el hexahexaflexagon de todas las formas posibles en teoría, pero solo 15 pueden flexionarse con el hexahexaflexagon ordinario. Las 3 configuraciones adicionales son imposibles debido a la disposición de los mosaicos 4, 5 y 6 en la solapa trasera. (Los ángulos de 60 grados en los rombos formados por los 4, 5 o 6 mosaicos adyacentes solo aparecerán en los lados y nunca aparecerán en el centro porque sería necesario cortar la tira, lo cual está topológicamente prohibido).

Los hexahexaflexágonos se pueden construir a partir de redes de dieciocho triángulos equiláteros de diferentes formas. Un hexahexaflexágono, construido a partir de una tira de papel irregular, es casi idéntico al que se muestra arriba, excepto que las 18 configuraciones se pueden flexionar en esta versión.

Otros hexaflexágonos

Si bien los hexaflexágonos que se ven con mayor frecuencia tienen tres o seis caras, existen variaciones con cualquier número de caras. Las tiras rectas producen hexaflexágonos con un número de caras múltiplo de tres. Otros números se obtienen a partir de tiras no rectas, que son simplemente tiras rectas con algunas juntas plegadas, eliminando algunas caras. Muchas tiras se pueden doblar de diferentes maneras, produciendo diferentes hexaflexágonos, con diferentes mapas de plegado.

Flexágonos de orden superior

Octaflexágono derecho y dodecaflexágono derecho

En estos flexágonos descubiertos más recientemente, cada cara cuadrada o triangular equilátera de un flexágono convencional se divide en dos triángulos rectángulos, lo que permite modos de flexión adicionales. La división de las caras cuadradas de los tetraflexágonos en triángulos isósceles rectángulos produce los octaflexágonos, y la división de las caras triangulares de los hexaflexágonos en 30-60-90 triángulos rectángulos produce los dodecaflexágonos.

Pentaflexágono y decaflexágono derecho

En su estado plano, el pentaflexágono se parece mucho al logotipo de Chrysler: un pentágono regular dividido desde el centro en cinco triángulos isósceles, con ángulos 72-54-54. Debido a su simetría quíntuple, el pentaflexágono no se puede doblar por la mitad. Sin embargo, una serie compleja de flexiones da como resultado su transformación de mostrar los lados uno y dos en el anverso y el reverso, a mostrar sus lados tres y cuatro previamente ocultos.

Al dividir aún más los triángulos 72-54-54 del pentaflexágono en 36-54-90 triángulos rectángulos se produce una variación del decaflexágono de 10 lados.

N-flexágono isósceles generalizado

El pentaflexágono es uno de una secuencia infinita de flexágonos basada en la división de un n-ágono regular en n triángulos isósceles. Otros flexágonos incluyen el heptaflexágono, el octaflexágono isósceles, el eneaflexágono y otros.

Pentaflexágono no plano y heptaflexágono no plano

Harold V. McIntosh también describe "no planar" flexágonos (es decir, los que no se pueden doblar para que queden planos); unos plegados a partir de pentágonos llamados pentaflexágonos, y de heptágonos llamados heptaflexágonos. Estos deben distinguirse de los "ordinarios" pentaflexágonos y heptaflexágonos descritos anteriormente, que están hechos de triángulos isósceles, y pueden hacerse para que queden planos.

En la cultura popular

Los flexágonos también son una estructura de libro popular utilizada por creadores de libros de artista como Julie Chen (Life Cycle) y Edward H. Hutchins (Album y Voces de México). Las instrucciones para hacer tetra-tetra-flexagon y cross-flexagons se incluyen en Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms de Alisa Golden.

Se usó un hexaflexágono de alto orden como elemento de la trama en la novela 0X de Piers Anthony, en la que un flex era análogo al viaje entre universos alternativos.