Filtro (matemáticas)

La celosía del conjunto {}1,2,3,4},{displaystyle {1,2,3,4},} con el conjunto superior ↑ ↑ {}1,4}{displaystyle uparrow {1,4}} color verde oscuro. Es una filtro, e incluso un filtro principal. No es un ultrafiltro, ya que se puede extender al filtro notrivial más grande ↑ ↑ {}1},{displaystyle uparrow {1},} incluyendo también los elementos verdes claros. Desde ↑ ↑ {}1}{displaystyle uparrow{1}} no se puede extender más, es un ultrafiltro.

En matemáticas, un filtro o filtro de orden es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Los filtros aparecen en la teoría del orden y la red, pero también se pueden encontrar en la topología, de la que se originan. La noción dual de filtro es un ideal de orden.

Los filtros en conjuntos fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 y, como se describe en el artículo dedicado a los filtros en topología, posteriormente fueron utilizados por Nicolas Bourbaki en su libro Topologie Générale como alternativa a los filtros relacionados. noción de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y Herman L. Smith. Los filtros de orden son generalizaciones de esta noción de conjuntos a la configuración más general de conjuntos parcialmente ordenados. Para obtener información sobre los filtros de orden en el caso especial en que el poset consiste en el conjunto de potencia ordenado por inclusión de conjuntos, consulte el artículo Filtro (teoría de conjuntos).

Motivación

1. Intuitivamente, un filtro en un conjunto parcialmente ordenado (poset), P,{displaystyle P,} es un subconjunto de P{displaystyle P} que incluye como miembros los elementos que son lo suficientemente grandes para satisfacer algún criterio dado. Por ejemplo, si x{displaystyle x} es un elemento de la pose, luego el conjunto de elementos que están arriba x{displaystyle x} es un filtro, llamado el filtro principal a x.{displaystyle x.} (Si) x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} son elementos incomparables de la poset, entonces ninguno de los principales filtros en x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} está contenido en el otro, y por el contrario.)

Del mismo modo, un filtro en un conjunto contiene los subconjuntos que son suficientemente grandes para contener algunos dados cosa. Por ejemplo, si el conjunto es la línea real y x{displaystyle x} es uno de sus puntos, luego la familia de conjuntos que incluyen x{displaystyle x} en su interior es un filtro, llamado el filtro de barrios de x.{displaystyle x.} El cosa en este caso es un poco más grande que x,{displaystyle x,} pero todavía no contiene ningún otro punto específico de la línea.

Las interpretaciones anteriores explican las condiciones 1 y 3 en la sección Definición general: Claramente, el conjunto vacío no es "suficientemente grande", y claramente la colección de "suficientemente grande" las cosas deben estar "cerradas hacia arriba". Sin embargo, no explican realmente, sin elaboración, la condición 2 de la definición general. Porque, ¿por qué dos "lo suficientemente grandes" las cosas contienen un elemento común "lo suficientemente grande" ¿cosa?

2. Alternativamente, un filtro puede ser visto como un "plan de localización": Al intentar localizar algo (un punto o un subconjunto) en el espacio X,{displaystyle X. llamar a un filtro la colección de subconjuntos X{displaystyle X} que podría contener "lo que se busca". Entonces este "filtro" debe poseer la siguiente estructura natural:

1. Un esquema de localización debe ser no vacío para ser de cualquier uso en absoluto.
2. Si dos subconjuntos, E{displaystyle E} y F,{displaystyle F,} ambos podrían contener "lo que se busca", entonces así podría su intersección. Así el filtro debe cerrarse con respecto a la intersección finita.
3. Si un conjunto E{displaystyle E} podría contener "lo que se busca", así lo hace cada superconjunto de ella. Así el filtro está cerrado.

An ultrafiltro se puede ver como un "programa de localización perfecta" donde cada uno subset E{displaystyle E} del espacio X{displaystyle X} se puede utilizar para decidir si "lo que se busca" podría estarE.{displaystyle E.}

Desde esta interpretación, la compacidad (consulte la caracterización matemática a continuación) puede verse como la propiedad de que "ningún esquema de ubicación puede terminar en nada" o, para decirlo de otra manera, "siempre se encontrará algo".

La noción matemática de filtro proporciona un lenguaje preciso para tratar estas situaciones de manera rigurosa y general, lo cual es útil en análisis, topología general y lógica.

3. Un uso común para un filtro es definir propiedades que están satisfechas por elementos "casi todos" de algún espacio topológico X.{displaystyle X.} Todo el espacio X{displaystyle X} Definitivamente contiene casi todos los elementos en ella; Si algunos E⊆ ⊆ X{displaystyle Esubseteq X} contiene casi todos los elementos X,{displaystyle X. y si dos subconjuntos, E{displaystyle E} y F,{displaystyle F,} contener casi todos los elementos X,{displaystyle X. entonces también su intersección. En términos teóricos de medida, el significado de "E{displaystyle E} contiene casi todos los elementos X{displaystyle X}"es que la medida X∖ ∖ E{displaystyle Xsmallsetminus E} es 0.

Definición general: filtrar en un conjunto parcialmente ordenado

Un subconjunto F{displaystyle F} de un conjunto parcialmente ordenado ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} es un filtro o doble ideal si las siguientes condiciones sostienen:

1. F{displaystyle F} no es vacío.
2. F{displaystyle F} es hacia abajoPor todos x,Sí.▪ ▪ F,{displaystyle x,yin F,} hay algunos z▪ ▪ F{displaystyle zin F} tales que z≤ ≤ x{displaystyle zleq x} y z≤ ≤ Sí..{displaystyle zleq y.}
3. F{displaystyle F} es un conjunto superior o arriba cerradaPor todos x▪ ▪ F{displaystyle xin F} y p▪ ▪ P,{displaystyle pin P,} x≤ ≤ p{displaystyle xleq p} implica que p▪ ▪ F.{displaystyle pin F.}

F{displaystyle F} se dice que es un filtro adecuado si además F{displaystyle F} no es igual a todo el conjunto P.{displaystyle P.} Dependiendo del autor, el término filtro es un sinónimo de filtro de orden o se refiere a un apropiado Orden filtro. Este artículo utiliza el filtro de término para significar filtro de orden.

Si bien la definición anterior es la forma más general de definir un filtro para las posesiones arbitrarias, originalmente se definió para las celosías solamente. En este caso, la definición anterior puede caracterizarse por la siguiente declaración equivalente: Un subconjunto F{displaystyle F} de una celosa ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} es un filtro, si y sólo si es un conjunto superior no vacío que se cierra bajo infima finita (o se reúne), es decir, para todos x,Sí.▪ ▪ F,{displaystyle x,yin F,} es también el caso de que x∧ ∧ Sí.▪ ▪ F.{displaystyle xwedge yin F.} Un subconjunto S{displaystyle S. de F{displaystyle F} es un Filtro si el conjunto superior generado por S{displaystyle S. es todo F.{displaystyle F.} Tenga en cuenta que cada filtro es su propia base.

El filtro más pequeño que contiene un elemento dado p▪ ▪ P{displaystyle pin P} es un filtro principal y p{displaystyle p} es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para p{displaystyle p} es dado por el conjunto {}x▪ ▪ P:p≤ ≤ x}{displaystyle {xin P:pleq x} y es denotado por prefixing p{displaystyle p} con una flecha ascendente: ↑ ↑ p.{displaystyle uparrow p.}

La noción dual de un filtro, es decir, el concepto obtenido revertiendo todo ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,} e intercambio ∧ ∧ {displaystyle ,wedge ,} con Alternativa Alternativa ,{displaystyle ,vee} es ideal. Debido a esta dualidad, la discusión de filtros generalmente se reduce a la discusión de ideales. Por consiguiente, la mayoría de la información adicional sobre este tema (incluida la definición de Filtros maximales y filtros primos) se encuentra en el artículo sobre ideales. Hay un artículo separado sobre los ultrafiltros.

Aplicar estas definiciones al caso en que X{displaystyle X} es un espacio vectorial y P{displaystyle P} es el conjunto de todos los subespacios vectoriales de X{displaystyle X} ordenado por inclusión ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} da lugar a la noción de Filtros lineales y ultrafiltros lineales. Explícitamente, a Filtro lineal en un espacio vectorial X{displaystyle X} es una familia B{displaystyle {máthcal {B}} de subespacios vectoriales de X{displaystyle X} tal si A,B▪ ▪ B{displaystyle A,Bin {cHFF} y si C{displaystyle C} es un subespacio vectorial X{displaystyle X} que contiene A,{displaystyle A,} entonces A∩ ∩ B,C▪ ▪ B.{displaystyle Acap B,Cin {mathcal {B} Un filtro lineal se llama apropiado si no contiene {}0};{displaystyle {0}} a ultrafiltro lineal on X{displaystyle X} es un filtro lineal óptimo X.{displaystyle X.}

Filtro en un conjunto

Familia F{displaystyle {fnMithcal}} de conjuntos sobre Ω Ω {displaystyle Omega }
Es necesariamente cierto F:: {displaystyle {fnMitcal {fnh}fnMicrosoft Sans Serif} o, es F{displaystyle {fnMithcal}} cerrado bajo:	Dirigida por ⊇ ⊇ {displaystyle ,supseteq }	A∩ ∩ B{displaystyle Acap B}	A∪ ∪ B{displaystyle Acup B}	B∖ ∖ A{displaystyle Bsetminus A}	Ω Ω ∖ ∖ A{displaystyle Omega setminus A}	A1∩ ∩ A2∩ ∩ ⋯ ⋯ {displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots	A1∪ ∪ A2∪ ∪ ⋯ ⋯ {displaystyle A_{1}cup A_{2}cup cdots }	Ω Ω ▪ ▪ F{displaystyle Omega in {mathcal {F}}	∅ ∅ ▪ ▪ F{displaystyle varnothing in {fn}	F.I.P.
π-system
Semiring										Nunca
Semialgebra (Semifield)										Nunca
Clase Monotone						sólo si Ai↘ ↘ {displaystyle A_{i}searrow }	sólo si Ai.. {displaystyle A_{i}nearrow }
λ-system (Dynkin System)				sólo si A⊆ ⊆ B{displaystyle Asubseteq B}			sólo si Ai.. {displaystyle A_{i}nearrow } o están descompuestos			Nunca
Anillo (teoría del orden)
Anillo (Teoría del Medido)										Nunca
δ-Ring										Nunca
σ-Ring										Nunca
Álgebra (Field)										Nunca
σ-Algebra (σ-Field)										Nunca
Doble ideal
Filtro				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}
Prefiltro (Filter base)				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}
Subbase de filtro				Nunca	Nunca				∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in {mathcal {F}
Open Topology							(incluso arbitrarias ∪ ∪ {displaystyle cup })			Nunca
Topología cerrada						(incluso arbitrarias ∩ ∩ {displaystyle cap })				Nunca
Es necesariamente cierto F:: {displaystyle {fnMitcal {fnh}fnMicrosoft Sans Serif} o, es F{displaystyle {fnMithcal}} cerrado bajo:	hacia abajo	finito intersecciones	finito sindicatos	relativo complementos	complementos dentro Ω Ω {displaystyle Omega }	contable intersecciones	contable sindicatos	contiene Ω Ω {displaystyle Omega }	contiene ∅ ∅ {displaystyle varnothing }	FiniteIntersection Propiedad
Adicionalmente, a semi- es un sistema π donde cada complemento B∖ ∖ A{displaystyle Bsetminus A} es igual a una unión descomunal finita F.{displaystyle {mathcal {}} A semialgebra es una semiringida que contiene Ω Ω .{displaystyle Omega.} A,B,A1,A2,...... {displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots } son elementos arbitrarios F{displaystyle {fnMithcal}} y se supone que Fل ل ∅ ∅ .{displaystyle {mathcal {}neq varnothing.}

Definición de un filtro

Hay dos definiciones contrapuestas de un "filtro en un conjunto", las cuales requieren que un filtro sea un ideal dual. Una definición define "filtro" como sinónimo de "doble ideal" mientras que el otro define "filtro" para significar un ideal dual que también es adecuado.

Advertencia: Se recomienda que los lectores siempre comprueban cómo se define "filtro" al leer la literatura matemática.

A doble ideal en un set S{displaystyle S. es un subconjunto no vacío F{displaystyle F} de ℘ ℘ ()S){displaystyle wp (S)} con las siguientes propiedades:

1. F{displaystyle F} es cerrado bajo intersecciones finitasSi A,B▪ ▪ F,{displaystyle A,Bin F,} entonces también su intersección.
   • Esta propiedad implica que si ∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in F} entonces F{displaystyle F} tiene la propiedad de intersección finita.
2. F{displaystyle F} es cerrado/isotoneSi A▪ ▪ F{displaystyle Ain F} y A⊆ ⊆ B,{displaystyle Asubseteq B,} entonces B▪ ▪ F,{displaystyle Bin F,} para todos los subconjuntos B⊆ ⊆ S.{displaystyle Bsubseteq S.}
   • Esta propiedad implica que S▪ ▪ F{displaystyle Sin F} (since F{displaystyle F} es un subconjunto no vacío ℘ ℘ ()S){displaystyle wp (S)}).

Dado un conjunto S,{displaystyle S,} un orden parcial canónico ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} se puede definir en la potencia ℘ ℘ ()S){displaystyle wp (S)} por subset inclusion, turn ()℘ ℘ ()S),⊆ ⊆ ){displaystyle (wp (S),subseteq)} en una celosía. Un " ideal dual" es sólo un filtro con respecto a este orden parcial. Note que si S=∅ ∅ {displaystyle S=varnothing } entonces hay exactamente un doble ideal en S,{displaystyle S,} que es ℘ ℘ ()S)={}∅ ∅ }.{displaystyle wp (S)={varnothing}.}

Se puede considerar que un filtro en un conjunto representa una "colección de grandes subconjuntos".

Definiciones de filtros

El artículo utiliza la siguiente definición de "filtro en un conjunto".

Definición como doble idealA filtro en un set S{displaystyle S. es un doble ideal S.{displaystyle S.} Equivalentemente, un filtro en S{displaystyle S. es sólo un filtro con respeto el orden parcial canónico ()℘ ℘ ()S),⊆ ⊆ ){displaystyle (wp (S),subseteq)} descrito anteriormente.

La otra definición de "filtro en un conjunto" es la definición original de un "filtro" dado por Henri Cartan, que requería que un filtro en un conjunto sea un ideal dual que no contenga el conjunto vacío.

Original/Alternative definition as a apropiado doble idealA filtro en un set S{displaystyle S. es un doble ideal S{displaystyle S. con los siguientes bienes adicionales:

3. F{displaystyle F} es apropiado/no degenerado: El set vacío no está F{displaystyle F} (i.e. ∅ ∅ ∉F{displaystyle varnothing not in F}).

Nota: Este artículo lo hace no requiere que un filtro sea apropiado.

El único filtro no propietario en S{displaystyle S. es ℘ ℘ ()S).{displaystyle wp (S).} Mucha literatura matemática, especialmente la relacionada con la topología, define "filtro" para significar un no degenerado doble ideal.

Filtrar bases, subbases y comparación

Bases y subbases de filtros

Un subconjunto B{displaystyle B} de ℘ ℘ ()S){displaystyle wp (S)} se llama prefiltro, base, o Filtro si B{displaystyle B} no es vacía y la intersección de los dos miembros de B{displaystyle B} es un superset de algunos miembros(s) de B.{displaystyle B.} Si el conjunto vacío no es miembro de B,{displaystyle B,} diremos B{displaystyle B} es un base de filtro.

Dada una base de filtro B,{displaystyle B,} el filtro generado o abarcado por B{displaystyle B} se define como el filtro mínimo que contiene B.{displaystyle B.} Es la familia de todos esos subconjuntos de S{displaystyle S. que son superconjuntos de algunos miembros(s) de B.{displaystyle B.} Cada filtro es también una base de filtro, por lo que el proceso de pasar de la base de filtro a filtro puede ser visto como una especie de terminación.

Para cada subconjunto T{displaystyle T} de ℘ ℘ ()S){displaystyle wp (S)} hay un filtro más pequeño (posiblemente no apropiado) F{displaystyle F} que contiene T,{displaystyle T,} llamado filtro generado o abarcado por T.{displaystyle T.}Del mismo modo que para un filtro azotado por un base, un filtro azotado por un subset T{displaystyle T} es el filtro mínimo que contiene T.{displaystyle T.}Se construye tomando todas las intersecciones finitas de T,{displaystyle T,} que luego forman una base de filtro para F.{displaystyle F.} Este filtro es adecuado si y sólo si cada intersección finita de elementos T{displaystyle T} no es vacío, y en ese caso decimos que T{displaystyle T} es un Filtro subbase.

Bases filtrantes más finas/equivalentes

Si B{displaystyle B} y C{displaystyle C} son dos bases de filtro en S,{displaystyle S,} uno dice C{displaystyle C} es fino que B{displaystyle B} (o eso) C{displaystyle C} es un perfeccionamiento de B{displaystyle B}) si para cada uno B0▪ ▪ B,{displaystyle B_{0}in B,} hay un C0▪ ▪ C{displaystyle C_{0}in C} tales que C0⊆ ⊆ B0.{displaystyle C_{0}subseteq B_{0}. Para bases filtrantes A,{displaystyle A,} B,{displaystyle B,} y C,{displaystyle C,} si A{displaystyle A} es más fino que B{displaystyle B} y B{displaystyle B} es más fino que C{displaystyle C} entonces A{displaystyle A} es más fino que C.{displaystyle C.} Así la relación de refinamiento es un preorden en el conjunto de bases de filtros, y el paso de base filtrante a filtro es un ejemplo de pasar de un preordenamiento a la orden parcial asociada.

Si también B{displaystyle B} es más fino que C,{displaystyle C,} uno dice que son base de filtro equivalente. Si B{displaystyle B} y C{displaystyle C} son bases de filtro, entonces C{displaystyle C} es más fino que B{displaystyle B} si y sólo si el filtro se cubría C{displaystyle C} contiene el filtro abarcado por B.{displaystyle B.} Por lo tanto, B{displaystyle B} y C{displaystyle C} son bases de filtro equivalentes si y sólo si generan el mismo filtro.

Ejemplos

Se puede crear un filtro en un poset usando el lema de Rasiowa-Sikorski, que a menudo se usa para forzar. Otros filtros incluyen filtros de club y filtros genéricos.

El set {}{}N,N+1,N+2,...... }:N▪ ▪ N}{displaystyle {N,N+1,N+2,dots }:Nin mathbb {N}} se llama Filtro base de colas de la secuencia de números naturales ()1,2,3,...... ).{displaystyle (1,2,3,dots).} Una base filtrante de colas se puede hacer de cualquier red ()xα α )α α ▪ ▪ A{displaystyle left(x_{alpha }right)_{alpha in A} utilizando la construcción {}{}xα α :α α ▪ ▪ A,α α 0≤ ≤ α α }:α α 0▪ ▪ A},{displaystyle left{x_{alpha }:alpha in A,alpha ¿Por qué? donde el filtro que genera esta base de filtros se llama la red filtro de eventualidad. Por lo tanto, todas las redes generan una base de filtro (y por lo tanto un filtro). Puesto que todas las secuencias son redes, esto también tiene secuencias.

Vamos S{displaystyle S. ser un juego C{displaystyle C} ser un subconjunto no vacío S.{displaystyle S.} Entonces... {}C}{displaystyle {C}}es una base de filtro. El filtro que genera (es decir, la colección de todos los subconjuntos que contienen) C{displaystyle C}) se llama el filtro principal generados por C.{displaystyle C.} Se dice que un filtro es un filtro gratis si la intersección de todos sus miembros está vacía. Un filtro principal adecuado no es gratuito. Como la intersección de cualquier número finito de miembros de un filtro es también miembro, ningún filtro adecuado en un conjunto finito es libre, y de hecho es el filtro principal generado por la intersección común de todos sus miembros. Un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente libre. El filtro Fréchet en un conjunto infinito S{displaystyle S. es el conjunto de todos los subconjuntos de S{displaystyle S. que tienen complemento finito. Un filtro en S{displaystyle S. es libre si y sólo si incluye el filtro Fréchet. Más generalmente, si ()X,μ μ ){displaystyle (X,mu)} es un espacio de medida para el cual μ μ ()X)=JUEGO JUEGO ,{displaystyle mu (X)=infty} la colección de todos A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} tales que <math alttext="{displaystyle mu (Xsmallsetminus A)μ μ ()X∖ ∖ A).JUEGO JUEGO {displaystyle mu (Xsmallsetminus A)<img alt="{displaystyle mu (Xsmallsetminus A) forma un filtro. El filtro Fréchet es el caso donde X=S{displaystyle X=S} y μ μ {displaystyle mu } es la medida contable.

Cada estructura uniforme en un conjunto X{displaystyle X} es un filtro en X× × X.{displaystyle Xtimes X.}

Filtros en teoría de modelos

Para cada filtro F{displaystyle F} en un set S{displaystyle S. la función establecida definida por

m()A)={}1siA▪ ▪ F0siS∖ ∖ A▪ ▪ Fno está definidode otra manera{displaystyle m(A)quad ={begin{cases}1 }Ain F {text{if}Ssmallsetminus Ain F\{is undefinidos} {text{otherwise}end{cases}}

{}x▪ ▪ S:φ φ ()x)}▪ ▪ F{displaystyle left{,xin S:varphi (x),right}in F}

φ φ {displaystyle varphi }

Filtros en topología

En topología y análisis, los filtros se utilizan para definir la convergencia de una manera similar al papel de las secuencias en un espacio métrico. Tanto las redes como los filtros proporcionan contextos muy generales para unificar las diversas nociones de limite a los espacios topológicos arbitrarios. Una secuencia generalmente se indexa por los números naturales N,{displaystyle mathbb {N} que son un conjunto totalmente ordenado. Las redes generalizan la noción de una secuencia al requerir el conjunto índice simplemente ser un conjunto dirigido. Si trabajar sólo con ciertas categorías de espacios topológicos, como los espacios de primera cuenta, por ejemplo, las secuencias son suficientes para caracterizar la mayoría de las propiedades topológicas, pero esto no es cierto en general. Sin embargo, los filtros (así como las redes) siempre bastan para caracterizar la mayoría de las propiedades topológicas. Una ventaja para usar filtros es que no implican ningún otro conjunto que no X{displaystyle X} (y sus subconjuntos) mientras que secuencias y redes dependen de conjuntos dirigidos que pueden no estar relacionados con X.{displaystyle X.} Además, el conjunto de todos los filtros en X{displaystyle X} es un conjunto mientras que la clase de todas las redes valoradas X{displaystyle X} no es (es una clase adecuada).

Bases de barrio

Vamos Nx{fnMicrosoft Sans} ser el filtro de barrio punto x{displaystyle x} en un espacio topológico X.{displaystyle X.} Esto significa que Nx{fnMicrosoft Sans} es el conjunto de todos los barrios topológicos del punto x.{displaystyle x.} Puede verificarse que Nx{fnMicrosoft Sans} es un filtro. A sistema de barrios es otro nombre para un filtro de barrio. Una familia N{displaystyle {fn} de barrios de x{displaystyle x} es un barrio a x{displaystyle x} si N{displaystyle {fn} genera el filtro Nx.{displaystyle {mathcal {N}_{x}} Esto significa que cada subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} es un barrio x{displaystyle x} si existe N▪ ▪ N{displaystyle No. tales que N⊆ ⊆ S.{displaystyle Nsubseteq S.}

Filtros convergentes y puntos de clúster

Decimos que una base de filtro B{displaystyle B} convergencias a un punto x,{displaystyle x,} escrito B→ → x,{displaystyle Bto x,} si el filtro del barrio Nx{fnMicrosoft Sans} está contenido en el filtro F{displaystyle F} generados por B;{displaystyle B;} si B{displaystyle B} es más fino que Nx.{displaystyle {mathcal {N}_{x}} En particular, un filtro F{displaystyle F} (que es una base de filtro que se genera) convergen a x{displaystyle x} si Nx⊆ ⊆ F.{displaystyle {Mathcal {N}_{x}subseteq F.}Explícitamente, decir que una base de filtro B{displaystyle B} convergencias a x{displaystyle x} significa que para cada barrio U{displaystyle U} de x,{displaystyle x,} hay un B0▪ ▪ B{displaystyle B_{0}in B} tales que B0⊆ ⊆ U.{displaystyle B_{0}subseteq U.}Si una base de filtro B{displaystyle B} converge a un punto x,{displaystyle x,} entonces x{displaystyle x} se llama límite (punto) de B{displaystyle B} y B{displaystyle B} se llama base de filtro convergente.

Una base de filtro B{displaystyle B} on X{displaystyle X} se dice que cluster a x{displaystyle x} (o han x{displaystyle x} como punto de agrupación) si y sólo si cada elemento B{displaystyle B} tiene intersección no vacía con cada barrio x.{displaystyle x.} Cada punto límite es un punto de cúmulo, pero el contrario no es cierto en general. Sin embargo, cada punto de agrupación de un ultraEl filtro es un punto límite.

Por definición, cada base vecinal N{displaystyle {fn} en un momento dado x{displaystyle x} genera Nx,{fnMicrosoft Sans Serif} Así que... N{displaystyle {fn} convergencias a x.{displaystyle x.} Si C{displaystyle C} es una base de filtro en X{displaystyle X} entonces C→ → x{displaystyle Cto x} si C{displaystyle C} es más fino que cualquier base vecinal x.{displaystyle x.} Para el filtro del vecindario en ese punto, el converso también sostiene: cualquier base de un filtro convergente refina el filtro del vecindario.