Filtro lineal

Los filtros lineales procesan señales de entrada variables en el tiempo para producir señales de salida, sujetas a la restricción de linealidad. En la mayoría de los casos, estos filtros lineales también son invariantes en el tiempo (o invariantes en el cambio), en cuyo caso pueden analizarse exactamente utilizando la teoría del sistema LTI ("lineal invariante en el tiempo") que revela sus funciones de transferencia en el dominio de la frecuencia y su respuestas de impulso en el dominio del tiempo. Las implementaciones en tiempo real de tales filtros de procesamiento de señales lineales en el dominio del tiempo son inevitablemente causales, una restricción adicional en sus funciones de transferencia. Un circuito electrónico analógico que consta únicamente de componentes lineales (resistencias, condensadores, inductores y amplificadores lineales) entrará necesariamente en esta categoría, al igual que los sistemas mecánicos comparables o los sistemas de procesamiento de señales digitales que contengan únicamente elementos lineales. Dado que los filtros lineales invariantes en el tiempo se pueden caracterizar completamente por su respuesta a sinusoides de diferentes frecuencias (su respuesta de frecuencia), a veces se les conoce como filtros de frecuencia.

Las implementaciones que no son en tiempo real de filtros lineales invariantes en el tiempo no tienen por qué ser causales. También se utilizan filtros de más de una dimensión, como en el procesamiento de imágenes. El concepto general de filtrado lineal también se extiende a otros campos y tecnologías como la estadística, el análisis de datos y la ingeniería mecánica.

Respuesta de impulso y función de transferencia

Un filtro de tiempo invariante lineal (LTI) puede ser especificado únicamente por su respuesta de impulso h, y la salida de cualquier filtro se expresa matemáticamente como la evolución de la entrada con esa respuesta de impulso. La respuesta de frecuencia, dada por la función de transferencia del filtro H()⋅ ⋅ ){displaystyle H(omega)}, es una caracterización alternativa del filtro. Los objetivos típicos del diseño de filtros son realizar una respuesta de frecuencia particular, es decir, la magnitud de la función de transferencia SilencioH()⋅ ⋅ )Silencio{displaystyle SilencioH(omega); la importancia de la fase de la función de transferencia varía según la aplicación, ya que la forma de una forma de onda puede ser distorsionada a mayor o menor medida en el proceso de lograr una respuesta deseada (amplio) en el dominio de frecuencia. La respuesta de frecuencia puede adaptarse a, por ejemplo, eliminar componentes de frecuencia no deseados de una señal de entrada, o limitar un amplificador a señales dentro de una banda particular de frecuencias.

La respuesta de impulso h de un filtro causal lineal e invariante en el tiempo especifica la salida que produciría el filtro si recibiera una entrada que consiste en un solo impulso en el tiempo 0. Un "impulso" en un filtro de tiempo continuo significa una función delta de Dirac; en un filtro de tiempo discreto se aplicaría la función delta de Kronecker. La respuesta de impulso caracteriza completamente la respuesta de cualquier filtro de este tipo, ya que cualquier señal de entrada posible puede expresarse como una combinación (posiblemente infinita) de funciones delta ponderadas. Multiplicando la respuesta de impulso desplazada en el tiempo de acuerdo con la llegada de cada una de estas funciones delta por la amplitud de cada función delta, y sumando estas respuestas (según el principio de superposición, aplicable a todos los sistemas lineales) se obtiene la forma de onda de salida.

Matemáticamente, esto se describe como la convolución de una señal de entrada variable en el tiempo x(t) con la respuesta de impulso del filtro h, definida como:

Sí.()t)=∫ ∫ 0Tx()t− − τ τ )h()τ τ )dτ τ {displaystyle y(t)=int _{0}{T}x(t-tau),h(tau),dtau }

Sí.k=.. i=0Nxk− − ihi{displaystyle Y... ¿Qué?

La primera forma es la forma de tiempo continuo, que describe sistemas electrónicos mecánicos y analógicos, por ejemplo. La segunda ecuación es una versión de tiempo discreto utilizada, por ejemplo, por filtros digitales implementados en software, el llamado procesamiento digital de señales. La respuesta de impulso h caracteriza completamente cualquier filtro lineal invariante en el tiempo (o invariante en el cambio en el caso de tiempo discreto). Se dice que la entrada x está "convolucionada" con la respuesta de impulso h teniendo una duración (posiblemente infinita) de tiempo T (o de N períodos de muestreo).

El diseño de filtros consiste en encontrar una posible función de transferencia que se pueda implementar dentro de ciertas restricciones prácticas dictadas por la tecnología o la complejidad deseada del sistema, seguida de un diseño práctico que realice esa función de transferencia utilizando la tecnología elegida. La complejidad de un filtro se puede especificar según el orden del filtro.

Entre los filtros en el dominio del tiempo que consideramos aquí, hay dos clases generales de funciones de transferencia de filtros que pueden aproximarse a una respuesta de frecuencia deseada. Se aplican tratamientos matemáticos muy diferentes al diseño de filtros denominados filtros de respuesta de impulso infinito (IIR), característicos de sistemas electrónicos mecánicos y analógicos, y filtros de respuesta de impulso finito (FIR), que pueden implementarse mediante sistemas de tiempo discreto como computadoras (entonces denominados procesamiento de señales digitales).

Filtros de respuesta de impulso infinito

Considere un sistema físico que actúe como un filtro lineal, como un sistema de resortes y masas, o un circuito electrónico analógico que incluya capacitores o inductores (junto con otros componentes lineales, como resistencias y amplificadores). Cuando un sistema de este tipo está sujeto a un impulso (o cualquier señal de duración finita), responde con una forma de onda de salida que dura más allá de la duración de la entrada, y eventualmente decae exponencialmente de una u otra manera, pero nunca llega a cero por completo (matemáticamente hablando).). Se dice que un sistema de este tipo tiene una respuesta de impulso infinita (IIR). La integral de convolución (o suma) anterior se extiende sobre todo el tiempo: T (o N) debe establecerse en infinito.

Por ejemplo, considere un oscilador armónico amortiguado como un péndulo o un circuito de tanque L-C resonante. Si el péndulo ha estado en reposo y lo golpeáramos con un martillo (el "impulso"), poniéndolo en movimiento, se balancearía adelante y atrás ("resonar"), digamos, con una amplitud de 10 cm. Después de 10 minutos, digamos, el péndulo todavía estaría oscilando pero la amplitud habría disminuido a 5 cm, la mitad de su amplitud original. Después de otros 10 minutos, su amplitud sería de solo 2,5 cm, luego de 1,25 cm, etc. Sin embargo, nunca se detendría por completo, por lo que llamamos a esa respuesta al impulso (golpearlo con un martillo) "infinita" 34; en duración.

La complejidad de tal sistema se especifica por su orden N. N suele ser una restricción en el diseño de una función de transferencia, ya que especifica el número de componentes reactivos en un circuito analógico; en un filtro IIR digital, el número de cálculos necesarios es proporcional a N.

Filtros de respuesta de impulso finito

Un filtro implementado en un programa de computadora (o el llamado procesador de señal digital) es un sistema de tiempo discreto; un conjunto diferente (pero paralelo) de conceptos matemáticos define el comportamiento de tales sistemas. Aunque un filtro digital puede ser un filtro IIR si el algoritmo que lo implementa incluye retroalimentación, también es posible implementar fácilmente un filtro cuyo impulso realmente llegue a cero después de N pasos de tiempo; esto se denomina filtro de respuesta de impulso finito (FIR).

Por ejemplo, supongamos que uno tiene un filtro que, cuando se le presenta un impulso en una serie de tiempo:

0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0...

produce una serie que responde a ese impulso en el momento 0 hasta el momento 4, y no tiene más respuesta, como por ejemplo:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0...

Aunque la respuesta al impulso ha durado 4 pasos de tiempo después de la entrada, a partir del tiempo 5 realmente se ha ido a cero. El alcance de la respuesta al impulso es finito, y esto se clasificaría como un filtro FIR de cuarto orden. La integral de convolución (o suma) anterior solo necesita extenderse a la duración total de la respuesta de impulso T, o el orden N en un filtro de tiempo discreto.

Problemas de implementación

Los filtros analógicos clásicos son filtros IIR, y la teoría de filtros clásica se centra en la determinación de funciones de transferencia dadas por funciones racionales de bajo orden, que se pueden sintetizar usando la misma cantidad pequeña de componentes reactivos. Usando computadoras digitales, por otro lado, los filtros FIR e IIR son sencillos de implementar en el software.

Por lo general, un filtro IIR digital puede aproximarse a una respuesta de filtro deseada utilizando menos potencia informática que un filtro FIR; sin embargo, esta ventaja suele ser innecesaria dada la potencia cada vez mayor de los procesadores digitales. La facilidad de diseño y caracterización de los filtros FIR los hace preferibles al diseñador de filtros (programador) cuando se dispone de una amplia potencia informática. Otra ventaja de los filtros FIR es que su respuesta al impulso puede hacerse simétrica, lo que implica una respuesta en el dominio de la frecuencia que tiene fase cero en todas las frecuencias (sin considerar un retardo finito), lo cual es absolutamente imposible con cualquier filtro IIR.

Respuesta de frecuencia

Función de respuesta o transferencia de frecuencias SilencioH()⋅ ⋅ )Silencio{displaystyle SilencioH(omega) de un filtro se puede obtener si se conoce la respuesta del impulso, o directamente a través del análisis mediante transformaciones Laplace, o en sistemas discretos el Z-transform. La respuesta de frecuencia también incluye la fase como función de frecuencia, sin embargo en muchos casos la respuesta de fase es de poco o ningún interés. Los filtros FIR se pueden hacer para tener fase cero, pero con filtros IIR que generalmente es imposible. Con la mayoría de las funciones de transferencia IIR hay funciones de transferencia relacionadas que tienen una respuesta de frecuencia con la misma magnitud pero una fase diferente; en la mayoría de los casos se prefiere la llamada función de transferencia de fase mínima.

La mayoría de las veces se solicita que los filtros en el dominio del tiempo sigan una respuesta de frecuencia específica. Luego, un procedimiento matemático encuentra una función de transferencia de filtro que se puede realizar (dentro de algunas restricciones) y aproxima la respuesta deseada dentro de algún criterio. Las especificaciones de respuesta de filtro comunes se describen a continuación:

• Un filtro de baja velocidad pasa frecuencias bajas mientras bloquea frecuencias superiores.
• Un filtro de alta velocidad pasa por altas frecuencias.
• Un filtro de paso de banda pasa por una banda (rango) de frecuencias.
• Un filtro de tapa de banda pasa frecuencias altas y bajas fuera de una banda especificada.
• Un filtro de notch tiene una respuesta nula a una frecuencia particular. Esta función puede combinarse con una de las respuestas anteriores.
• Un filtro all-pass pasa todas las frecuencias igualmente bien, pero altera la relación fase entre ellas.
• Un filtro de igualación no está diseñado para pasar o bloquear completamente cualquier frecuencia, sino para variar gradualmente la respuesta de amplitud como función de frecuencia: los filtros utilizados como filtros de pre-emfasis, ecualizadores o controles de tono son buenos ejemplos.

Funciones de transferencia FIR

Conocer un requisito de respuesta de frecuencia con un filtro FIR utiliza procedimientos relativamente sencillos. En la forma más básica, la respuesta de frecuencia deseada puede ser muestreada con una resolución de Δ Δ f{displaystyle Delta f} y Fourier transformado en el dominio del tiempo. Esto obtiene los coeficientes de filtro h_i, que implementa un filtro FIR de fase cero que coincide con la respuesta de frecuencia en las frecuencias de muestra utilizadas. Para encajar mejor una respuesta deseada, Δ Δ f{displaystyle Delta f} debe reducirse. Sin embargo, la duración de la respuesta del impulso del filtro, y el número de términos que deben ser resumidos para cada valor de salida (según la convolución de tiempo discreta anterior) se da por N=1/()Δ Δ fT){displaystyle N=1/(Delta f,T)} Donde T es el período de muestreo del sistema de tiempo discreto (N-1 también se denomina el orden de un filtro FIR). Así la complejidad de un filtro digital y el tiempo de computación involucrado, crece inversamente con Δ Δ f{displaystyle Delta f}, colocando un costo más alto en las funciones de filtro que mejor aproximan el comportamiento deseado. Por la misma razón, funciones de filtro cuya respuesta crítica está en frecuencias inferiores (en comparación con la frecuencia de muestreo 1/T) requieren un orden más alto, filtro FIR más intensivo computacionalmente. Un filtro IIR puede ser mucho más eficiente en tales casos.

En otra parte, el lector puede encontrar más información sobre los métodos de diseño para el diseño práctico de filtros FIR.

Funciones de transferencia IIR

Dado que los filtros analógicos clásicos son filtros IIR, ha habido una larga historia de estudio del rango de posibles funciones de transferencia que implementan varias de las respuestas de filtro deseadas anteriores en sistemas de tiempo continuo. Usando transformadas, es posible convertir estas respuestas continuas de tiempo y frecuencia en otras que se implementan en tiempo discreto, para usar en filtros IIR digitales. La complejidad de cualquier filtro de este tipo viene dada por el orden N, que describe el orden de la función racional que describe la respuesta de frecuencia. El orden N es de particular importancia en los filtros analógicos, ya que un filtro electrónico de N^ésimo orden requiere N elementos reactivos (condensadores y/o inductores) para implementarse. Si se implementa un filtro usando, por ejemplo, etapas bicuadráticas que usan amplificadores operacionales, se necesitan N/2 etapas. En una implementación digital, el número de cálculos realizados por muestra es proporcional a N. Por lo tanto, el problema matemático es obtener la mejor aproximación (en algún sentido) a la respuesta deseada utilizando un N más pequeño, como ilustraremos ahora.

A continuación se muestran las respuestas de frecuencia de varias funciones de filtro estándar que se aproximan a una respuesta deseada, optimizadas según algún criterio. Todos estos son filtros de paso bajo de quinto orden, diseñados para una frecuencia de corte de,5 en unidades normalizadas. Las respuestas de frecuencia se muestran para los filtros Butterworth, Chebyshev, Chebyshev inverso y elíptico.

Como se desprende claramente de la imagen, el filtro elíptico es más nítido que los demás, pero a expensas de las ondas tanto en su banda de paso como en su banda de parada. El filtro Butterworth tiene la transición más pobre pero tiene una respuesta más uniforme, evitando ondas en la banda de paso o en la banda de parada. Un filtro de Bessel (no mostrado) tiene una transición aún peor en el dominio de la frecuencia, pero mantiene la mejor fidelidad de fase de una forma de onda. Diferentes aplicaciones enfatizan diferentes requisitos de diseño, lo que lleva a diferentes opciones entre estas (y otras) optimizaciones, o requiere un filtro de orden superior.

Filtro de baja velocidad implementado con una topología Sallen-Key

Implementaciones de ejemplo

Un circuito popular que implementa un filtro R-C activo de segundo orden es el diseño de Sallen-Key, cuyo diagrama esquemático se muestra aquí. Esta topología se puede adaptar para producir filtros de paso bajo, paso de banda y paso alto.

Filtro FIR de tiempo discreto N. La parte superior es una N- línea de retraso del muestreo; cada paso de retraso se denota z⁻¹.

Un filtro FIR de N^ésimo orden se puede implementar en un sistema de tiempo discreto usando un programa de computadora o hardware especializado en el que la señal de entrada está sujeta a N etapas de retardo. La salida del filtro se forma como la suma ponderada de esas señales retardadas, como se muestra en el diagrama de flujo de señales adjunto. La respuesta del filtro depende de los coeficientes de ponderación indicados b₀, b₁,.... b_N. Por ejemplo, si todos los coeficientes fueran iguales a la unidad, la llamada función boxcar, entonces implementaría un filtro de paso bajo con una ganancia de frecuencia baja de N+1 y una respuesta de frecuencia dada por la función sinc. Se pueden obtener formas superiores para la respuesta de frecuencia utilizando coeficientes derivados de un procedimiento de diseño más sofisticado.

Matemáticas del diseño de filtros

La teoría del sistema LTI describe filtros lineales invariables en el tiempo (LTI) de todo tipo. Los filtros LTI se pueden describir completamente por su respuesta de frecuencia y respuesta de fase, cuya especificación define de manera única su respuesta de impulso, y viceversa. Desde un punto de vista matemático, los filtros IIR LTI de tiempo continuo pueden describirse en términos de ecuaciones diferenciales lineales y sus respuestas de impulso consideradas como funciones de Green de la ecuación. Los filtros LTI de tiempo continuo también se pueden describir en términos de la transformada de Laplace de su respuesta de impulso, lo que permite analizar todas las características del filtro considerando el patrón de ceros y polos de su transformada de Laplace en el plano complejo. De manera similar, los filtros LTI de tiempo discreto pueden analizarse a través de la transformada Z de su respuesta al impulso.

Antes de la llegada de las herramientas de síntesis de filtros informáticos, las herramientas gráficas, como los diagramas de Bode y los diagramas de Nyquist, se usaban ampliamente como herramientas de diseño. Incluso hoy en día, son herramientas invaluables para comprender el comportamiento de los filtros. Los libros de referencia tenían gráficos extensos de respuesta de frecuencia, respuesta de fase, retardo de grupo y respuesta de impulso para varios tipos de filtros, de varios órdenes. También contenían tablas de valores que mostraban cómo implementar filtros como escaleras RLC, muy útiles cuando los elementos amplificadores eran costosos en comparación con los componentes pasivos. Dicha escalera también se puede diseñar para que tenga una sensibilidad mínima a la variación de los componentes, una propiedad difícil de evaluar sin herramientas informáticas.

Se han desarrollado muchos diseños de filtros analógicos diferentes, cada uno tratando de optimizar alguna característica de la respuesta del sistema. Para los filtros prácticos, a veces es deseable un diseño personalizado, que pueda ofrecer la mejor compensación entre los diferentes criterios de diseño, que pueden incluir el recuento y el costo de los componentes, así como las características de respuesta del filtro.

Estas descripciones se refieren a las propiedades matemáticas del filtro (es decir, la respuesta de frecuencia y fase). Estos se pueden implementar como circuitos analógicos (por ejemplo, usando una topología de filtro Sallen Key, un tipo de filtro activo), o como algoritmos en sistemas de procesamiento de señales digitales.

Los filtros digitales son mucho más flexibles para sintetizar y usar que los filtros analógicos, donde las limitaciones del diseño permiten su uso. En particular, no hay necesidad de considerar las tolerancias de los componentes y se pueden obtener niveles de Q muy altos.

Los filtros digitales FIR pueden implementarse mediante la convolución directa de la respuesta de impulso deseada con la señal de entrada. Se pueden diseñar fácilmente para proporcionar un filtro adaptado a cualquier forma de pulso arbitraria.

Los filtros digitales IIR suelen ser más difíciles de diseñar, debido a problemas que incluyen problemas de rango dinámico, ruido de cuantificación e inestabilidad. Normalmente, los filtros IIR digitales están diseñados como una serie de filtros bicuadráticos digitales.

Todos los filtros de tiempo continuo de segundo orden de paso bajo tienen una función de transferencia dada por

H()s)=K⋅ ⋅ 02s2+⋅ ⋅ 0Qs+⋅ ⋅ 02.{displaystyle H(s)={frac {Komega ¿Qué? {omega #### {0}{0} {Q}s+omega - Sí.

Todos los filtros de tiempo continuo de segundo orden de paso de banda tienen una función de transferencia dada por

H()s)=K⋅ ⋅ 0Qss2+⋅ ⋅ 0Qs+⋅ ⋅ 02.{displaystyle H(s)={frac {K{frac {omega {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft}} {fnMicroc} {fnMicroc} {omega #### {0}{0} {Q}s+omega - Sí.

dónde

• K es la ganancia (ganancia DC de baja velocidad, o ganancia de banda-pass de banda media) (K es 1 para filtros pasivos)
• Q es el factor Q
• ⋅ ⋅ 0{displaystyle omega ¿Qué? es la frecuencia central
• s=σ σ +j⋅ ⋅ {displaystyle s=sigma +jomega } es la frecuencia compleja

Notas y referencias