Félix Klein

Christian Felix Klein (alemán: [klaɪn]; 25 de abril de 1849 - 22 de junio de 1925) fue un matemático y educador matemático alemán, conocido por su trabajo con la teoría de grupos, el análisis complejo, la geometría no euclidiana y las asociaciones entre geometría y teoría de grupos. Su programa de Erlangen de 1872, que clasificaba geometrías por sus grupos de simetría básicos, fue una síntesis influyente de gran parte de las matemáticas de la época.

Vida

Klein durante su período de Leipzig.

Felix Klein nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf, de padres prusianos. Su padre, Caspar Klein (1809–1889), fue secretario de un funcionario del gobierno prusiano destinado en la provincia del Rin. Su madre fue Sophie Elise Klein (1819–1890, de soltera Kayser). Asistió al Gymnasium en Düsseldorf, luego estudió matemáticas y física en la Universidad de Bonn, 1865–1866, con la intención de convertirse en físico. En ese momento, Julius Plücker tenía la cátedra de matemáticas y física experimental de Bonn, pero cuando Klein se convirtió en su asistente, en 1866, el interés de Plücker era principalmente la geometría. Klein recibió su doctorado, supervisado por Plücker, de la Universidad de Bonn en 1868.

Plücker murió en 1868, dejando incompleto su libro sobre las bases de la geometría lineal. Klein fue la persona obvia para completar la segunda parte de la Neue Geometrie des Raumes de Plücker, y así conoció a Alfred Clebsch, quien se había mudado a Göttingen en 1868. Klein visitó Clebsch al año siguiente., junto con visitas a Berlín y París. En julio de 1870, al comienzo de la guerra franco-prusiana, se encontraba en París y tuvo que abandonar el país. Por un breve tiempo se desempeñó como asistente médico en el ejército prusiano antes de ser nombrado profesor en Göttingen a principios de 1871.

Erlangen nombró profesor a Klein en 1872, cuando solo tenía 23 años. Para esto, Clebsch lo respaldó, quien lo consideró probable que se convirtiera en el mejor matemático de su tiempo. Klein no deseaba quedarse en Erlangen, donde había muy pocos estudiantes, y le complació que le ofrecieran una cátedra en la Technische Hochschule München en 1875. Allí, él y Alexander von Brill impartieron cursos avanzados a muchos estudiantes excelentes, entre ellos Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi y Gregorio Ricci-Curbastro.

En 1875, Klein se casó con Anne Hegel, nieta del filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Después de pasar cinco años en la Technische Hochschule, Klein fue designado para ocupar una cátedra de geometría en Leipzig. Allí sus colegas incluyeron a Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study y Friedrich Engel. Los años de Klein en Leipzig, de 1880 a 1886, cambiaron fundamentalmente su vida. En 1882, su salud se derrumbó; en 1883-1884, sufrió depresión. Sin embargo, su investigación continuó; su trabajo seminal sobre funciones sigma hiperelípticas, publicado entre 1886 y 1888, data de alrededor de este período.

Klein aceptó una cátedra en la Universidad de Göttingen en 1886. Desde entonces, hasta su jubilación en 1913, buscó restablecer a Göttingen como el principal centro mundial de investigación matemática. Sin embargo, nunca logró transferir de Leipzig a Göttingen su propio papel protagónico como desarrollador de la geometría. Impartió una variedad de cursos en Göttingen, principalmente sobre la interfaz entre las matemáticas y la física, en particular, la mecánica y la teoría del potencial.

La instalación de investigación que Klein estableció en Göttingen sirvió como modelo para las mejores instalaciones de este tipo en todo el mundo. Introdujo reuniones de discusión semanales y creó una sala de lectura matemática y una biblioteca. En 1895, Klein reclutó a David Hilbert de la Universidad de Königsberg. Este nombramiento resultó de gran importancia; Hilbert continuó mejorando la primacía de Göttingen en matemáticas hasta su propia jubilación en 1932.

Bajo la dirección de Klein, Mathematische Annalen se convirtió en una de las mejores revistas matemáticas del mundo. Fundada por Clebsch, creció bajo la dirección de Klein, hasta rivalizar y eventualmente superar a Crelle's Journal, con sede en la Universidad de Berlín. Klein estableció un pequeño equipo de editores que se reunían periódicamente para tomar decisiones con un espíritu democrático. La revista primero se especializó en análisis complejo, geometría algebraica y teoría invariante. También proporcionó un salida importante para el análisis real y la nueva teoría de grupos.

En 1893, Klein fue uno de los principales oradores en el Congreso Matemático Internacional celebrado en Chicago como parte de la Exposición Colombina Mundial. Debido en parte a los esfuerzos de Klein, Göttingen comenzó a admitir mujeres en 1893. Supervisó el primer doctorado. tesis en matemáticas escrita en Göttingen por una mujer, por Grace Chisholm Young, una estudiante de inglés de Arthur Cayley's, a quien Klein admiraba. En 1897, Klein se convirtió en miembro extranjero de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos.

Alrededor de 1900, Klein comenzó a interesarse en la instrucción matemática en las escuelas. En 1905, jugó un papel decisivo en la formulación de un plan que recomendaba que la geometría analítica, los rudimentos del cálculo diferencial e integral y el concepto de función se enseñaran en las escuelas secundarias. Esta recomendación se implementó gradualmente en muchos países del mundo. En 1908, Klein fue elegido presidente de la Comisión Internacional de Instrucción Matemática en el Congreso Internacional de Matemáticos de Roma. Bajo su dirección, la parte alemana de la Comisión publicó muchos volúmenes sobre la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles en Alemania.

La London Mathematical Society otorgó a Klein su Medalla De Morgan en 1893. Fue elegido miembro de la Royal Society en 1885 y recibió su Medalla Copley en 1912. Se retiró al año siguiente debido a problemas de salud, pero continuó enseñar matemáticas en su casa durante varios años más.

Klein fue uno de los noventa y tres signatarios del Manifiesto de los Noventa y Tres, un documento escrito en apoyo de la invasión alemana de Bélgica en las primeras etapas de la Primera Guerra Mundial.

Murió en Göttingen en 1925.

Trabajo

La disertación de Klein, Geometría lineal y sus aplicaciones a la mecánica, clasificó complejos de línea de segundo grado utilizando la teoría de divisores elementales de Weierstrass.

Los primeros descubrimientos matemáticos importantes de Klein se realizaron durante 1870. En colaboración con Sophus Lie, descubrió las propiedades fundamentales de las líneas asintóticas en la superficie de Kummer. Más tarde investigaron las curvas W, curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. Fue Lie quien introdujo a Klein en el concepto de grupo, que iba a tener un papel importante en su trabajo posterior. Klein también aprendió sobre grupos de Camille Jordan.

Una botella de Klein.

Klein ideó la "botella de Klein" nombrada en su honor, una superficie cerrada de un solo lado que no se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional, pero se puede sumergir como un cilindro enrollado a través de sí mismo para unirse con su otro extremo desde el "interior". Puede estar incrustado en el espacio euclidiano de dimensiones 4 y superiores. El concepto de una botella de Klein se ideó como una tira de Möbius tridimensional, con un método de construcción que consiste en unir los bordes de dos tiras de Möbius.

Durante la década de 1890, Klein comenzó a estudiar física matemática más intensamente, escribiendo sobre el giroscopio con Arnold Sommerfeld. Durante 1894, inició la idea de una enciclopedia de matemáticas que incluyera sus aplicaciones, que se convirtió en la Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Esta empresa, que duró hasta 1935, proporcionó una importante referencia estándar de valor perdurable.

Programa Erlangen

En 1871, mientras estaba en Göttingen, Klein hizo grandes descubrimientos en geometría. Publicó dos artículos Sobre la llamada geometría no euclidiana que muestran que las geometrías euclidianas y no euclidianas podrían considerarse espacios métricos determinados por una métrica de Cayley-Klein. Esta idea tenía el corolario de que la geometría no euclidiana era consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era, otorgando el mismo estatus a las geometrías euclidianas y no euclidianas, y poniendo fin a toda controversia sobre la geometría no euclidiana. Arthur Cayley nunca aceptó el argumento de Klein, creyendo que era circular.

La síntesis de la geometría de Klein como el estudio de las propiedades de un espacio que es invariante bajo un grupo dado de transformaciones, conocida como el programa de Erlangen (1872), influyó profundamente en la evolución de las matemáticas Este programa fue iniciado por la conferencia inaugural de Klein como profesor en Erlangen, aunque no fue el discurso real que pronunció en la ocasión. El programa proponía un sistema unificado de geometría que se ha convertido en el método moderno aceptado. Klein mostró cómo las propiedades esenciales de una geometría dada pueden ser representadas por el grupo de transformaciones que preservan esas propiedades. Por lo tanto, la definición de geometría del programa abarcaba tanto la geometría euclidiana como la no euclidiana.

Actualmente, la importancia de las contribuciones de Klein a la geometría es evidente. Se han convertido en una parte tan importante del pensamiento matemático que es difícil apreciar su novedad cuando se presentaron por primera vez y comprender el hecho de que no fueron aceptados de inmediato por todos sus contemporáneos.

Análisis complejo

Klein vio su trabajo sobre análisis complejo como su mayor contribución a las matemáticas, específicamente su trabajo sobre:

• El vínculo entre ciertas ideas de Riemann y la teoría invariante,
• Teoría del número y álgebra abstracta;
• La teoría del grupo;
• Geometría en más de 3 dimensiones y ecuaciones diferenciales, especialmente ecuaciones que inventó, satisfecha por funciones modulares elípticas y funciones automorféricas.

Klein demostró que el grupo modular mueve la región fundamental del plano complejo para teselar el plano. En 1879, examinó la acción de PSL(2,7), considerada como una imagen del grupo modular, y obtuvo una representación explícita de una superficie de Riemann ahora denominada cuartica de Klein. Demostró que era una curva compleja en el espacio proyectivo, que su ecuación era x³y + y< sup>3z + z³x = 0, y que su grupo de simetrías era PSL(2,7) de orden 168. Su Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) trata el análisis complejo de manera geométrica, conectando la teoría del potencial y las asignaciones conformes. Este trabajo se basó en nociones de la dinámica de fluidos.

Klein consideró ecuaciones de grado > 4, y estaba especialmente interesado en utilizar métodos trascendentales para resolver la ecuación general de quinto grado. Basándose en los métodos de Charles Hermite y Leopold Kronecker, produjo resultados similares a los de Brioschi y luego resolvió completamente el problema por medio del grupo icosaédrico. Este trabajo le permitió escribir una serie de artículos sobre funciones modulares elípticas.

En su libro de 1884 sobre el icosaedro, Klein estableció una teoría de las funciones automórficas, asociando el álgebra y la geometría. Poincaré había publicado un esbozo de su teoría de las funciones automórficas en 1881, lo que resultó en una rivalidad amistosa entre los dos hombres. Ambos buscaban enunciar y probar un gran teorema de uniformización que estableciera la nueva teoría de manera más completa. Klein logró formular tal teorema y describir una estrategia para demostrarlo. Obtuvo su prueba durante un ataque de asma a las 2:30 a.m. el 23 de marzo de 1882.

Klein resumió su trabajo sobre funciones modulares automórficas y elípticas en un tratado de cuatro volúmenes, escrito con Robert Fricke durante un período de unos 20 años.

Obras seleccionadas

• 1882: Theorie der Algebraischen Funen und ihre Integrale JFM 14.0358.01
• e-texto en el Proyecto Gutenberg, también disponible desde Cornell
• 1884:Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade
  • Traducción en inglés por G. G. Morrice (1888) Conferencias sobre el Ikosahedro; y la Solución de Ecuaciones del Quinto Grado via Internet Archive
• 1886: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323–356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357–387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Über die hypergeometrische Funktion
• 1894: Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: (con Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (volúmenes más recientes: 1898, 1903, 1910)
• 1890: (con Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 volúmenes) y 1892)
• 1894: Evanston Colloquium (1893) reportado y publicado por Ziwet (Nueva York, 1894)
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorfen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen (en alemán), Leipzig: B. G. Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01 Banda Zweiter. 1901.
• 1901: Tagebuch, de 1796 a 1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorfen Functionen. Banda Zweiter: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (en alemán), Leipzig: B. G. Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM 32.0430.01
• 1897: Matemáticas Teoría de la parte superior (Dirección de Princeton, Nueva York)
• 1895: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie
  • 1897: traducción de inglés por W. W. Beman y D. E. Smith Problemas famosos de la geometría elemental via Internet Archive
• 1908: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (Leipzig)
• 1926: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 Bände), Julius Springer Verlag, Berlín " 1927. S. Felix Klein Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert
• 1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag
• 1933: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag