Teoría de conjuntos ingenua

Teoría de conjuntos ingenua es cualquiera de varias teorías de conjuntos utilizadas en la discusión de los fundamentos de las matemáticas. A diferencia de las teorías de conjuntos axiomáticas, que se definen utilizando la lógica formal, la teoría de conjuntos ingenua se define de manera informal, en lenguaje natural. Describe los aspectos de los conjuntos matemáticos familiares en las matemáticas discretas (por ejemplo, los diagramas de Venn y el razonamiento simbólico sobre su álgebra booleana), y es suficiente para el uso cotidiano de los conceptos de la teoría de conjuntos en las matemáticas contemporáneas.

Los conjuntos son de gran importancia en matemáticas; en los tratamientos formales modernos, la mayoría de los objetos matemáticos (números, relaciones, funciones, etc.) se definen en términos de conjuntos. La teoría de conjuntos ingenua es suficiente para muchos propósitos, mientras que también sirve como un trampolín hacia tratamientos más formales.

Método

Una teoría ingenua en el sentido de "teoría de conjuntos ingenua" es una teoría no formalizada, es decir, una teoría que utiliza el lenguaje natural para describir conjuntos y operaciones sobre conjuntos. Las palabras y, o, si... entonces, no, para algunos, para cada se tratan como en las matemáticas ordinarias. Por conveniencia, el uso de la teoría de conjuntos ingenua y su formalismo prevalece incluso en las matemáticas superiores, incluso en entornos más formales de la propia teoría de conjuntos.

El primer desarrollo de la teoría de conjuntos fue una teoría de conjuntos ingenua. Fue creado a finales del siglo XIX por Georg Cantor como parte de su estudio de conjuntos infinitos y desarrollado por Gottlob Frege en su Grundgesetze der Arithmetik.

La teoría de conjuntos ingenua puede referirse a varias nociones muy distintas. Puede referirse a

• Presentación oficiosa de una teoría de conjunto axiomática, por ejemplo, como en Juego inactivo Teoría por Paul Halmos.
• Versiones tempranas o posteriores de la teoría de Georg Cantor y otros sistemas informales.
• Las teorías decididamente inconsistentes (ya sean axiomáticas o no), como una teoría de Gottlob Frege que dio la paradoja de Russell, y las teorías de Giuseppe Peano y Richard Dedekind.

Paradojas

La suposición de que cualquier propiedad puede usarse para formar un conjunto, sin restricción, conduce a paradojas. Un ejemplo común es la paradoja de Russell: no existe un conjunto formado por 'todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos'. Por lo tanto, los sistemas consistentes de teoría de conjuntos ingenua deben incluir algunas limitaciones en los principios que pueden usarse para formar conjuntos.

Teoría de Cantor

Algunos creen que la teoría de conjuntos de Georg Cantor no estaba realmente implicada en las paradojas de la teoría de conjuntos (ver Frápolli 1991). Una dificultad para determinar esto con certeza es que Cantor no proporcionó una axiomatización de su sistema. En 1899, Cantor era consciente de algunas de las paradojas que se derivaban de la interpretación sin restricciones de su teoría, por ejemplo, la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti, y no creía que desacreditaran su teoría. La paradoja de Cantor en realidad se puede derivar de la suposición anterior (falsa): que cualquier propiedad P(x) puede usarse para formar un conjunto—usando para P(x) "x es un número cardinal". Frege axiomatizó explícitamente una teoría en la que se puede interpretar una versión formalizada de la teoría ingenua de conjuntos, y es esta teoría formal la que Bertrand Russell realmente abordó cuando presentó su paradoja, no necesariamente una teoría de Cantor, quien, como se mencionó, estaba al tanto de varias paradojas, presumiblemente las tenía en mente.

Teorías axiomáticas

La teoría axiomática de conjuntos se desarrolló en respuesta a estos primeros intentos de comprender los conjuntos, con el objetivo de determinar con precisión qué operaciones se permitían y cuándo.

Coherencia

Una teoría de conjuntos ingenua no es necesariamente inconsistente, si especifica correctamente los conjuntos que se pueden considerar. Esto se puede hacer por medio de definiciones, que son axiomas implícitos. Es posible enunciar todos los axiomas explícitamente, como en el caso de Halmos' Teoría de conjuntos ingenua, que en realidad es una presentación informal de la teoría de conjuntos axiomática habitual de Zermelo-Fraenkel. Es "ingenuo" en que el lenguaje y las notaciones son las de las matemáticas informales ordinarias, y en que no se ocupa de la consistencia o la integridad del sistema de axiomas.

Del mismo modo, una teoría axiomática de conjuntos no es necesariamente consistente: no necesariamente libre de paradojas. De los teoremas de incompletitud de Gödel se deduce que un sistema lógico de primer orden suficientemente complicado (que incluye las teorías axiomáticas de conjuntos más comunes) no puede demostrarse consistente desde dentro de la propia teoría, incluso si realmente es consistente. Sin embargo, generalmente se cree que los sistemas axiomáticos comunes son consistentes; por sus axiomas excluyen algunas paradojas, como la paradoja de Russell. Basado en el teorema de Gödel, simplemente no se sabe, y nunca se podrá saber, si hay ninguna paradoja en absoluto en estas teorías o en cualquier teoría de conjuntos de primer orden.

El término teoría de conjuntos ingenua todavía se usa hoy en día en alguna literatura para referirse a las teorías de conjuntos estudiadas por Frege y Cantor, en lugar de las contrapartes informales de la teoría de conjuntos axiomática moderna.

Utilidad

La elección entre un enfoque axiomático y otros enfoques es en gran medida una cuestión de conveniencia. En las matemáticas cotidianas, la mejor opción puede ser el uso informal de la teoría axiomática de conjuntos. Las referencias a axiomas particulares generalmente ocurren solo cuando lo exige la tradición, p. el axioma de elección se menciona a menudo cuando se usa. Asimismo, las pruebas formales sólo se producen cuando lo justifican circunstancias excepcionales. Este uso informal de la teoría axiomática de conjuntos puede tener (dependiendo de la notación) precisamente la apariencia de una teoría de conjuntos ingenua como se describe a continuación. Es considerablemente más fácil de leer y escribir (en la formulación de la mayoría de las declaraciones, pruebas y líneas de discusión) y es menos propenso a errores que un enfoque estrictamente formal.

Conjuntos, pertenencia e igualdad

En la teoría ingenua de conjuntos, un conjunto se describe como una colección bien definida de objetos. Estos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. Los objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, 4 es un miembro del conjunto de todos los números pares. Claramente, el conjunto de números pares es infinitamente grande; no hay ningún requisito de que un conjunto sea finito.

Pasaje con la definición original del conjunto de Georg Cantor

La definición de conjuntos se remonta a Georg Cantor. Escribió en su artículo de 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschieden Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor

“Un conjunto es una reunión conjunta en un conjunto de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento, que se llaman elementos del conjunto.” – Georg Cantor

Primer uso del símbolo ε en el trabajo Arithmetices principia nova methodo exposita por Giuseppe Peano.

Nota sobre la consistencia

De esta definición no se sigue cómo se pueden formar los conjuntos, y qué operaciones sobre los conjuntos nuevamente producirán un conjunto. El término "bien definido" en "colección bien definida de objetos" no puede, por sí mismo, garantizar la consistencia y la falta de ambigüedad de lo que constituye exactamente y lo que no constituye un conjunto. Intentar lograr esto sería el ámbito de la teoría axiomática de conjuntos o de la teoría de clases axiomática.

El problema, en este contexto, con las teorías de conjuntos formuladas de manera informal, que no se derivan de (ni implican) ninguna teoría axiomática en particular, es que puede haber varias versiones formalizadas muy diferentes, que tienen tanto conjuntos diferentes como reglas diferentes para determinar cómo funcionan las nuevas teorías. Se pueden formar conjuntos que se ajusten a la definición informal original. Por ejemplo, la definición textual de Cantor permite una libertad considerable en lo que constituye un conjunto. Por otro lado, es poco probable que Cantor estuviera particularmente interesado en conjuntos que contenían perros y gatos, sino más bien en conjuntos que contenían objetos puramente matemáticos. Un ejemplo de esta clase de conjuntos podría ser el universo de von Neumann. Pero incluso cuando se fija la clase de conjuntos bajo consideración, no siempre está claro qué reglas para la formación de conjuntos están permitidas sin introducir paradojas.

Con el propósito de arreglar la discusión a continuación, el término "bien definido" en cambio, debe interpretarse como una intención, con reglas implícitas o explícitas (axiomas o definiciones), para descartar inconsistencias. El propósito es mantener los temas de consistencia, a menudo profundos y difíciles, lejos del contexto, generalmente más simple, en cuestión. No se puede lograr una exclusión explícita de todas las inconsistencias concebibles (paradojas) para una teoría de conjuntos axiomática de todos modos, debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel, por lo que esto no obstaculiza en absoluto la utilidad de la teoría ingenua. la teoría de conjuntos en comparación con la teoría axiomática de conjuntos en los contextos simples considerados a continuación. Simplemente simplifica la discusión. A partir de ahora, la coherencia se da por sentada a menos que se mencione explícitamente.

Membresía

Si x es miembro de un conjunto A, entonces también se dice que x pertenece a A, o que x está en A. Esto se denota por x ∈ A. El símbolo ∈ es una derivación de la letra griega minúscula épsilon, "ε", introducida por Giuseppe Peano en 1889 y es la primera letra de la palabra ἐστί (que significa "es"). El símbolo ∉ se usa a menudo para escribir x ∉ A, lo que significa que "x no está en A".

Igualdad

Dos conjuntos A y B se definen como iguales cuando tienen precisamente los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. (Ver axioma de extensionalidad.) Así, un conjunto está completamente determinado por sus elementos; la descripción es irrelevante. Por ejemplo, el conjunto con los elementos 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores que 6. Si los conjuntos A y B son iguales, esto se denota simbólicamente como A = B (como de costumbre).

Conjunto vacío

El conjunto vacío, denotado como ∅ ∅ {displaystyle varnothing } y a veces {}}{displaystyle {}}, es un conjunto sin miembros en absoluto. Debido a que un conjunto está determinado por completo por sus elementos, sólo puede haber un conjunto vacío. (Ver axioma de conjunto vacío.) Aunque el conjunto vacío no tiene miembros, puede ser miembro de otros sets. Así ∅ ∅ ل ل {}∅ ∅ }{displaystyle varnothing neq {varnothing}, porque el primero no tiene miembros y éste tiene un miembro. En matemáticas, los únicos conjuntos con los que uno necesita ser preocupado pueden ser construidos desde el conjunto vacío solo.

Especificar conjuntos

La forma más sencilla de describir un conjunto es enumerar sus elementos entre llaves (lo que se conoce como definir un conjunto extensionalmente). Así {1, 2} denota el conjunto cuyos únicos elementos son 1 y 2. (Ver axioma de emparejamiento). Tenga en cuenta los siguientes puntos:

• El orden de los elementos es inmaterial; por ejemplo, {1, 2} = {2, 1}.
• La repetición (multiplicidad) de elementos es irrelevante; por ejemplo, {1, 2, 2} = {1, 1, 2} = {1, 2}.

(Estas son consecuencias de la definición de igualdad en la sección anterior).

Se puede abusar informalmente de esta notación diciendo algo como {dogs} para indicar el conjunto de todos los perros, pero los matemáticos normalmente leerían este ejemplo como " el conjunto que contiene el único elemento dogs".

Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es {}, que denota el conjunto vacío.

La notación {x: P(x)}, o a veces {x | P(x)}, se usa para denotar el conjunto que contiene todos los objetos para los cuales la condición P se mantiene (conocido como definir un conjunto intencionalmente). Por ejemplo, {x: x ∈ R} denota el conjunto de números reales, {x: x tiene cabello rubio denota el conjunto de todo lo que tiene cabello rubio.

Esta notación se llama notación constructora de conjuntos (o "comprensión de conjuntos", particularmente en el contexto de la programación funcional). Algunas variantes de la notación constructora de conjuntos son:

• {}x ▪ A: P()x) denota el conjunto de todos x que ya son miembros de A tal que la condición P para x. Por ejemplo, si Z es el conjunto de enteros, entonces {}x ▪ Z: x es incluso es el conjunto de todos incluso enteros. (Ver axioma de especificación.)
• {}F()x) x ▪ A} denota el conjunto de todos los objetos obtenidos poniendo miembros del conjunto A en la fórmula F. Por ejemplo, {2}x: x ▪ Z} es otra vez el conjunto de todos los enteros. (Ver axioma de reemplazo.)
• {}F()x) P()x) es la forma más general de la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, {}x 's propietario: x es un perro es el conjunto de todos los dueños de perros.

Subconjuntos

Dados dos conjuntos A y B, A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. En particular, cada conjunto B es un subconjunto de sí mismo; un subconjunto de B que no es igual a B se denomina subconjunto propio.

Si A es un subconjunto de B, entonces también se puede decir que B es un superconjunto de A, que A está contenido en B, o que B contiene A. En símbolos, A ⊆ B significa que A es un subconjunto de B, y B ⊇ A significa que B es un superconjunto de A. Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para subconjuntos, y otros usan estos símbolos solo para subconjuntos adecuados. Para mayor claridad, se pueden usar explícitamente los símbolos ⊊ y ⊋ para indicar la no igualdad.

Como ilustración, sea R el conjunto de números reales, sea Z el conjunto de números enteros, sea O el conjunto de números enteros impares, y sea P el conjunto de los presidentes actuales o anteriores de los Estados Unidos. Entonces O es un subconjunto de Z, Z es un subconjunto de R y (por lo tanto) O es un subconjunto de R, donde en todos los casos subconjunto puede incluso leerse como subconjunto propio. No todos los conjuntos son comparables de esta manera. Por ejemplo, tampoco es que R sea un subconjunto de P ni que P sea un subconjunto de R.

Se sigue inmediatamente de la definición de igualdad de conjuntos anterior que, dados dos conjuntos A y B, A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A. De hecho, esto se da a menudo como la definición de igualdad. Por lo general, cuando se trata de probar que dos conjuntos son iguales, uno intenta mostrar estas dos inclusiones. El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto (la afirmación de que todos los elementos del conjunto vacío también son miembros de cualquier conjunto A es falsamente cierta).

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado A se llama power set de A y es denotado por 2A{displaystyle 2^{A} o P()A){displaystyle P(A)}; el "P"a veces está en una fuente de script. Si el conjunto A tiene n elementos, entonces P()A){displaystyle P(A)} habrá 2n{displaystyle 2^{n} elementos.

Conjuntos universales y complementos absolutos

En ciertos contextos, uno puede considerar todos los conjuntos bajo consideración como subconjuntos de algún conjunto universal dado. Por ejemplo, al investigar las propiedades de los números reales R (y subconjuntos de R), R puede tomarse como el conjunto universal. Un verdadero conjunto universal no está incluido en la teoría de conjuntos estándar (ver Paradojas a continuación), pero está incluido en algunas teorías de conjuntos no estándar.

Dado un conjunto universal U y un subconjunto A de U, el complemento de A (en U) se define como

A^C#x▪U: x∉A}.

En otras palabras, A^C ("A-complemento"; a veces simplemente A&# 39;, "A-prime") es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A . Así, con R, Z y O definidos como en la sección sobre subconjuntos, si Z es el conjunto universal, entonces O^C es el conjunto de los enteros pares, mientras que si R es el conjunto universal, entonces O^C es el conjunto de todos los números reales que son enteros pares o no enteros.

Uniones, intersecciones y complementos relativos

Dados dos conjuntos A y B, su unión es el conjunto formado por todos los objetos que son elementos de A o de B o de ambos (ver axioma de unión). Se denota por A ∪ B.

La intersección de A y B es el conjunto de todos los objetos que están tanto en A como en B. Se denota por A ∩ B.

Finalmente, el complemento relativo de B relativo a A, también conocido como la diferencia teórica de conjuntos de A y B, es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A pero no a B. Se escribe como A B o A − B.

Simbólicamente, estos son respectivamente

A∪ B:= {}x#x▪A) o (x▪B)}

A∩B#x#x▪A) y (x▪B♪♪x▪A: x▪B♪♪x▪B: x▪A};

AB#x#x▪A) y no (x▪B} = {}x▪ANox▪B)}.

El conjunto B no tiene que ser un subconjunto de A para A B tener sentido; esta es la diferencia entre el complemento relativo y el complemento absoluto (A^C = U A) de la sección previa.

Para ilustrar estas ideas, sea A el conjunto de personas zurdas, y sea B el conjunto de personas con cabello rubio. Entonces A ∩ B es el conjunto de todas las personas rubias zurdas, mientras que A ∪ B es el conjunto de todas las personas que son zurdas o rubias o ambas. A B, por su parte, es el conjunto de todas las personas que son zurdas pero no rubias, mientras que B A es el conjunto de todas las personas que tienen el pelo rubio pero no son zurdas.

Ahora, sea E el conjunto de todos los seres humanos, y sea F el conjunto de todos los seres vivos de más de 1000 años. ¿Qué es E ∩ F en este caso? Ningún ser humano vivo tiene más de 1000 años, por lo que E ∩ F debe ser el conjunto vacío {}.

Para cualquier conjunto A, el sistema de energía P()A){displaystyle P(A)} es un álgebra booleana bajo las operaciones de unión e intersección.

Pares ordenados y productos cartesianos

Intuitivamente, un par ordenado es simplemente una colección de dos objetos tales que uno se puede distinguir como el primer elemento y el otro como el segundo elemento, y teniendo la propiedad fundamental de que dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeros elementos son iguales y sus segundos elementos son iguales.

Formalmente, un par ordenado con primera coordenada a y segunda coordenada b, generalmente indicado por (a, b), se puede definir como el conjunto {{a}, {a, b}}.

Se sigue que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son igual si y solo si a = c y b = d.

Alternativamente, un par ordenado puede considerarse formalmente como un conjunto {a,b} con un orden total.

(La notación (a, b) también se usa para denotar un intervalo abierto en la recta numérica real, pero el contexto debe dejar en claro qué significado se pretende De lo contrario, la notación ]a, b[ puede usarse para indicar el intervalo abierto mientras que (a, b) se utiliza para el par ordenado).

Si A y B son conjuntos, entonces el producto cartesiano (o simplemente producto) se define como ser:

A× B*a,b) a está dentro A y b está dentro B}.

Es decir, A × B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada es un elemento de A y cuya segunda coordenada es un elemento de B.

Esta definición puede extenderse a un conjunto A × B × C de ternas ordenadas, y más generalmente a conjuntos de n- tuplas para cualquier entero positivo n. Incluso es posible definir productos cartesianos infinitos, pero esto requiere una definición más recóndita del producto.

Los productos cartesianos fueron desarrollados por primera vez por René Descartes en el contexto de la geometría analítica. Si R denota el conjunto de todos los números reales, entonces R²:= R × R representa el plano euclidiano y R³:= R × R × R representa el espacio euclidiano tridimensional.

Algunos conjuntos importantes

Hay algunos conjuntos omnipresentes para los que la notación es casi universal. Algunos de estos se enumeran a continuación. En la lista, a, b y c se refieren a números naturales, y r y s son números reales.

1. Los números naturales se utilizan para contar. Una pizarra audaz capital N ()N{displaystyle mathbb {N}) a menudo representa este conjunto.
2. Los enteros aparecen como soluciones para x en ecuaciones como x + a = b. Una pizarra audaz capital Z ()Z{displaystyle mathbb {Z}) a menudo representa este conjunto (del alemán Zahlen, que significa números).
3. Los números racionales aparecen como soluciones a ecuaciones como a + bx = c. Una pizarra audaz capital Q ()Q{displaystyle mathbb {Q}) a menudo representa este conjunto (para quotient, porque R se utiliza para el conjunto de números reales).
4. Los números algebraicos aparecen como soluciones a las ecuaciones polinómicas (con coeficientes enteros) y pueden implicar radicales (incluyendo i=− − 1{displaystyle i={sqrt {-1,}}) y algunos otros números irracionales. A Q con un overline (Q̄ ̄ {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {}) a menudo representa este conjunto. El overline denota la operación de cierre algebraico.
5. Los números reales representan la "línea real" e incluyen todos los números que pueden ser aproximados por los racionales. Estos números pueden ser racionales o algebraicos, pero también pueden ser números trascendentales, que no pueden aparecer como soluciones a las ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Una pizarra audaz capital R ()R{displaystyle mathbb {R}) a menudo representa este conjunto.
6. Los números complejos son sumas de un número real e imaginario: r+si{displaystyle r+s,i}. Aquí. r{displaystyle r} o s{displaystyle s} (o ambos) puede ser cero; por lo tanto, el conjunto de números reales y el conjunto de números estrictamente imaginarios son subconjuntos del conjunto de números complejos, que forman un cierre algebraico para el conjunto de números reales, lo que significa que cada polinomio con coeficientes en R{displaystyle mathbb {R} tiene al menos una raíz en este conjunto. Una pizarra audaz capital C ()C{displaystyle mathbb {C}) a menudo representa este conjunto. Tenga en cuenta que desde un número r+si{displaystyle r+s,i} se puede identificar con un punto ()r,s){displaystyle (r,s)} en el avión, C{displaystyle mathbb {C} es básicamente "el mismo" que el producto cartesiano R× × R{displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} ("el mismo" significa que cualquier punto en uno determina un punto único en el otro y para el resultado de los cálculos, no importa cuál es utilizado para el cálculo, siempre y cuando la regla de multiplicación sea apropiada para C{displaystyle mathbb {C}).

Paradojas en la teoría de conjuntos temprana

El principio de formación irrestricta de conjuntos denominado esquema axiomático de comprensión irrestricta,

es la fuente de varias paradojas que aparecieron tempranamente:

• Y =x: x es un ordinal llevó, en el año 1897, a la paradoja Burali-Forti, la primera antinomía publicada.
• Y =x: x es un cardenal produjo la paradoja de Cantor en 1897.
• Y =x# cegado La segunda antinomía de Cantor en el año 1899. Aquí la propiedad P es verdad para todos x, lo que sea x puede ser, así que Y sería un conjunto universal, conteniendo todo.
• Y =x: x ∉ x}, es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen como elementos, dio la paradoja de Russell en 1902.

Si el esquema axiomático de comprensión ilimitada se debilita al esquema axiomático de especificación o esquema axiomático de separación,

entonces todas las paradojas anteriores desaparecen. Hay un corolario. Con el axioma esquema de separación como axioma de la teoría, se sigue, como teorema de la teoría:

O, más espectacularmente (frase de Halmos): No hay universo. Prueba: suponga que existe y llámelo U. Ahora aplique el esquema del axioma de separación con X = U y para P(x ) use x ∉ x. Esto lleva nuevamente a la paradoja de Russell. Por lo tanto U no puede existir en esta teoría.

Relacionado con las construcciones anteriores está la formación del conjunto

• Y =x#x ▪ x♪♪ {},

donde la declaración que sigue a la implicación ciertamente es falsa. Se deduce, de la definición de Y, utilizando las reglas de inferencia habituales (y algunas ideas posteriores al leer la prueba en el artículo vinculado a continuación) tanto que Y ∈ Y → { } ≠ {} y Y ∈ Y se mantiene, por lo tanto, {} ≠ {}. Esta es la paradoja de Curry.

No es (quizás sorprendentemente) la posibilidad de x ∈ x eso es problemático. Es de nuevo el esquema axiomático de comprensión sin restricciones que permite (x ∈ x) → {} ≠ {} para P(x). Con el esquema axiomático de especificación en lugar de comprensión sin restricciones, la conclusión Y ∈ Y no se cumple y, por lo tanto, {} ≠ {} no es una consecuencia lógica.

No obstante, la posibilidad de x ∈ x a menudo se elimina explícitamente o, p. en ZFC, implícitamente, al exigir el axioma de regularidad para cumplir. Una consecuencia de ello es

o, en otras palabras, ningún conjunto es un elemento de sí mismo.

El esquema del axioma de separación es simplemente demasiado débil (mientras que la comprensión sin restricciones es un axioma muy fuerte, demasiado fuerte para la teoría de conjuntos) para desarrollar la teoría de conjuntos con sus operaciones y construcciones habituales descritas anteriormente. El axioma de regularidad también tiene un carácter restrictivo. Por lo tanto, uno es llevado a la formulación de otros axiomas para garantizar la existencia de suficientes conjuntos para formar una teoría de conjuntos. Algunos de estos se han descrito de manera informal anteriormente y muchos otros son posibles. No todos los axiomas concebibles se pueden combinar libremente en teorías consistentes. Por ejemplo, el axioma de elección de ZFC es incompatible con el concebible "todo conjunto de reales es medible según Lebesgue". Lo primero implica que lo segundo es falso.