Fase (ondas)

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La fracción pasada de un ciclo de una función periódica

Parcela de un ciclo de una función sinusoidal. La fase para cada valor de argumento, relativa al inicio del ciclo, se muestra en la parte inferior, en grados de 0 a 360° y en radianos de 0 a 2π.

En física y matemáticas, el fase de una función periódica $F$ de alguna variable real $t$ (como el tiempo) es una cantidad similar al ángulo que representa la fracción del ciclo cubierto hasta $t$ . Está denotado $phi (t)$ y expresado en tal escala que varía por un giro completo como la variable $t$ pasa por cada período (y $F(t)$ pasa por cada ciclo completo). Puede medirse en cualquier unidad angular, como grados o radios, aumentando así en 360° o $2pi$ como variable $t$ completa un período completo.

Esta convención es especialmente apropiada para una función sinusoidal, ya que su valor en cualquier argumento $t$ entonces se puede expresar como $phi (t)$ , el pecado de la fase, multiplicado por algún factor (la amplitud del sinusoide). (El cosino puede ser usado en lugar de pecar, dependiendo de dónde se considere cada período para comenzar.)

Por lo general, los giros enteros son ignorados al expresar la fase; de modo que $phi (t)$ es también una función periódica, con el mismo período que $F$ , que repetidamente escanea el mismo rango de ángulos que $t$ pasa por cada período. Entonces, $F$ se dice que está "en la misma fase" en dos valores de argumentos $t_{1}$ y $t_{2}$ (es decir, ${displaystyle phi (t_{1})=phi (t_{2})}$ ) si la diferencia entre ellos es un número entero de períodos.

El valor numérico de la fase $phi (t)$ depende de la elección arbitraria del comienzo de cada período, y del intervalo de ángulos a los que cada período debe ser mapeado.

El término "fase" también se utiliza al comparar una función periódica $F$ con una versión cambiada $G$ de ella. Si el cambio en $t$ se expresa como una fracción del período, y luego se escala a un ángulo $varphi$ dando vueltas, uno consigue el Cambio de fase, Reducción de la fase, o diferencia de fase de $G$ relativa a $F$ . Si $F$ es una función "canónica" para una clase de señales, como $sin(t)$ es para todas las señales sinusoidales, entonces $varphi$ se llama fase inicial de $G$ .

Definición matemática

Vamos $F$ ser una señal periódica (es decir, una función de una variable real), y $T$ ser su período (es decir, el número real más pequeño positivo tal que ${displaystyle F(t+T)=F(t)}$ para todos $t$ ). Entonces el fase de $F$ a cualquier argumento $t$ es

{displaystyle phi (t)=2pi left[!!left[{frac {t-t_{0}}{T}}right]!!right]}

Aquí. ${displaystyle [![,cdot ,]!]!,}$ denota la parte fraccional de un número real, descartando su parte entero; es decir, ${displaystyle [![x]!]=x-leftlfloor xrightrfloor !,}$ ; y $t_{0}$ es un valor arbitrario "origen" del argumento, que se considera el comienzo de un ciclo.

Este concepto se puede visualizar imaginando un reloj con una mano que gira a velocidad constante, haciendo un giro completo cada $T$ segundos, y está apuntando directamente a tiempo $t_{0}$ . La fase $phi (t)$ es entonces el ángulo desde la posición 12:00 hasta la posición actual de la mano, a la vez $t$ , medido en sentido de reloj.

El concepto de fase es más útil cuando el origen $t_{0}$ es elegido basado en características de $F$ . Por ejemplo, para un sinusoide, una opción conveniente es cualquier $t$ donde el valor de la función cambia de cero a positivo.

La fórmula anterior da la fase como un ángulo en los radios entre 0 y $2pi$ . Para conseguir la fase como ángulo entre $-pi$ y ${displaystyle +pi }$ , uno utiliza en su lugar

{displaystyle phi (t)=2pi left(left[!!left[{frac {t-t_{0}}{T}}+{frac {1}{2}}right]!!right]-{frac {1}{2}}right)}

La fase expresada en grados (de 0° a 360°, o de −180° a +180°) se define de la misma manera, excepto con "360°" en lugar de "2π".

Consecuencias

Con cualquiera de las definiciones anteriores, la fase $phi (t)$ de una señal periódica también es periódica, con el mismo período $T$ :

{displaystyle phi (t+T)=phi (t)quad quad {}}

para todos

t

La fase es cero al comienzo de cada período; es decir

{displaystyle phi (t_{0}+kT)=0quad quad {}}

para cualquier entero

k

Además, para cualquier elección dada del origen $t_{0}$ , el valor de la señal $F$ para cualquier argumento $t$ depende sólo de su fase en $t$ . Es decir, uno puede escribir ${displaystyle F(t)=f(phi (t))}$ , donde $f$ es una función de un ángulo, definido sólo para un solo giro completo, que describe la variación de $F$ como $t$ rangos durante un solo período.

De hecho, cada señal periódica $F$ con una forma de onda específica se puede expresar como

{displaystyle F(t)=A,w(phi (t))}

Donde $w$ es una función "canónica" de un ángulo de fase en 0 a 2π, que describe sólo un ciclo de esa forma de onda; y $A$ es un factor de escalada para la amplitud. (Esta afirmación supone que el tiempo de inicio $t_{0}$ elegido para calcular la fase $F$ corresponde al argumento 0 de $w$ .)

Agregar y comparar fases

Dado que las fases son ángulos, por lo general se deben ignorar los giros completos cuando se realizan operaciones aritméticas con ellos. Es decir, la suma y la diferencia de dos fases (en grados) deben calcularse mediante las fórmulas

{displaystyle 360,left[!!left[{frac {alpha +beta }{360}}right]!!right]quad quad }

{displaystyle quad quad 360,left[!!left[{frac {alpha -beta }{360}}right]!!right]}

respectivamente. Así, por ejemplo, la suma de los ángulos de fase 190° + 200° es 30° (190 + 200 = 390, menos una vuelta completa), y restando 50° de 30° se obtiene una fase de 340° (30 - 50 = −20, más una vuelta completa).

fórmulas similares sostienen para los radianos, con $2pi$ en lugar de 360.

Cambio de fase

Ilustración del cambio de fase. El eje horizontal representa un ángulo (fase) que aumenta con el tiempo.

Desplazador de fase usando modulador IQ

La diferencia ${displaystyle varphi (t)=phi _{G}(t)-phi _{F}(t)}$ entre las fases de dos señales periódicas $F$ y $G$ se llama diferencia de fase o Cambio de fase de $G$ relativa a $F$ . A valores de $t$ cuando la diferencia es cero, se dice que las dos señales en fase, de lo contrario son fuera de la fase entre sí.

En la analogía del reloj, cada señal está representada por una manecilla (o puntero) del mismo reloj, ambos girando a velocidades constantes pero posiblemente diferentes. La diferencia de fase es entonces el ángulo entre las dos manecillas, medido en el sentido de las agujas del reloj.

La diferencia de fase es particularmente importante cuando dos señales se suman mediante un proceso físico, como dos ondas de sonido periódicas emitidas por dos fuentes y grabadas juntas por un micrófono. Este suele ser el caso en los sistemas lineales, cuando se cumple el principio de superposición.

Para argumentos $t$ cuando la diferencia de fase es cero, las dos señales tendrán la misma señal y se reforzarán mutuamente. Uno dice que está ocurriendo una interferencia constructiva. Argumentos $t$ cuando las fases son diferentes, el valor de la suma depende de la forma de onda.

Para sinusoides

Para las señales sinusoidales, cuando la diferencia de fase $varphi (t)$ es 180° ( $pi$ radians), uno dice que las fases son opuesto, y que las señales son en el antifase. Entonces las señales tienen signos opuestos, y la interferencia destructiva ocurre. Por el contrario, un reversión de la fase o inversión de fase implica un cambio de fase de 180 grados.

Cuando la diferencia de fase $varphi (t)$ es un cuarto de giro (un ángulo recto, +90° = π/2 o −90° = 270° = −π/2 = 3π/2), las señales sinusoidales a veces se dice que están en cuadratura (por ejemplo, componentes en fase y cuadratura).

Si las frecuencias son diferentes, la diferencia de fase $varphi (t)$ aumenta linealmente con el argumento $t$ . Los cambios periódicos del refuerzo y la oposición causan un fenómeno llamado palizas.

Para señales desplazadas

La diferencia de fase es especialmente importante al comparar una señal periódica $F$ con una versión cambiada y posiblemente escalada $G$ de ella. Eso es, supongamos que ${displaystyle G(t)=alpha ,F(t+tau)}$ para algunas constantes ${displaystyle alphatau }$ y todos $t$ . Suponga también que el origen para la computación de la fase $G$ ha sido cambiado también. En ese caso, la diferencia de fase $varphi$ es una constante (independiente de $t$ ), llamado el 'plazamiento de la fase' o 'de compensación de la fase' $G$ relativa a $F$ . En la analogía del reloj, esta situación corresponde a las dos manos girando a la misma velocidad, de modo que el ángulo entre ellas es constante.

En este caso, el cambio de fase es simplemente el cambio de argumento $tau$ , expresada como una fracción del período común $T$ (en términos de la operación modulo) de las dos señales y luego escalada a un giro completo:

{displaystyle varphi =2pi left[!!left[{frac {tau }{T}}right]!!right].}

Si $F$ es un representante "canónico" para una clase de señales, como $sin(t)$ es para todas las señales sinusoidales, luego el cambio de fase $varphi$ llamada simplemente fase inicial de $G$ .

Por lo tanto, cuando dos señales periódicas tienen la misma frecuencia, siempre están en fase o siempre desfasadas. Físicamente, esta situación ocurre comúnmente, por muchas razones. Por ejemplo, las dos señales pueden ser una onda de sonido periódica grabada por dos micrófonos en ubicaciones separadas. O, por el contrario, pueden ser ondas de sonido periódicas creadas por dos altavoces separados a partir de la misma señal eléctrica y grabadas por un solo micrófono. Pueden ser una señal de radio que llega a la antena receptora en línea recta y una copia de la misma que se reflejó en un gran edificio cercano.

Un ejemplo bien conocido de diferencia de fase es la longitud de las sombras vistas en diferentes puntos de la Tierra. A una primera aproximación, si $F(t)$ es la longitud vista a la vez $t$ en un lugar, y $G$ es la longitud vista al mismo tiempo a una longitud 30° oeste de ese punto, entonces la diferencia de fase entre las dos señales será de 30° (asumiendo que, en cada señal, cada período comienza cuando la sombra es más corta).

Para sinusoides con la misma frecuencia

Para señales sinusoidales (y algunas otras formas de onda, como triangular cuadrada o simétrica), un cambio de fase de 180° equivale a un cambio de fase de 0° con negación de la amplitud. Cuando se agregan dos señales con estas ondas, el mismo período y fases opuestas, la suma $F+G$ es idénticamente cero, o es una señal sinusoidal con el mismo período y fase, cuya amplitud es la diferencia de las amplitudes originales.

El cambio de fase de la función co-sina relativa a la función sine es +90°. De ahí que, por dos señales sinusoidales $F$ y $G$ con misma frecuencia y amplitudes $A$ y $B$ , y $G$ tiene cambio de fase +90° relativo a $F$ , la suma $F+G$ es una señal sinusoidal con la misma frecuencia, con amplitud $C$ y cambio de fase $<math alttext="{displaystyle -90^{circ }<varphi − − 90∘ ∘ .φ φ .+90∘ ∘ {displaystyle -90^{circ - No.<img alt="{displaystyle -90^{circ }<varphi$ desde $F$ , tal que

{displaystyle C={sqrt {A^{2}+B^{2}}}quad quad {}}

{displaystyle {}quad quad sin(varphi)=B/C}

In-phase signals

Señales fuera de fase

Representación de la comparación de fases.

Izquierda: la parte real de una ola de avión que se mueve de arriba a abajo. Derecha: la misma onda después de una sección central sufrió un cambio de fase, por ejemplo, pasando por un vaso de diferentes espesores que las otras partes.

Fuera de la fase AE

Un ejemplo del mundo real de una diferencia de fase sónica ocurre en el trino de una flauta nativa americana. La amplitud de los diferentes componentes armónicos de la misma nota de larga duración en la flauta domina en diferentes puntos del ciclo de fase. La diferencia de fase entre los diferentes armónicos se puede observar en un espectrograma del sonido de una flauta trino.

Comparación de fase

Comparación de fase es una comparación de la fase de dos formas de onda, generalmente de la misma frecuencia nominal. En tiempo y frecuencia, el propósito de una comparación de fase es generalmente determinar el desplazamiento de frecuencia (diferencia entre ciclos de señal) con respecto a una referencia.

Se puede realizar una comparación de fase conectando dos señales a un osciloscopio de dos canales. El osciloscopio mostrará dos señales sinusoidales, como se muestra en el gráfico de la derecha. En la imagen adyacente, la señal sinusoidal superior es la frecuencia de prueba y la señal sinusoidal inferior representa una señal de la referencia.

Si las dos frecuencias fueran exactamente iguales, su relación de fase no cambiaría y ambas parecerían estar estacionarias en la pantalla del osciloscopio. Dado que las dos frecuencias no son exactamente iguales, la referencia parece estar estacionaria y la señal de prueba se mueve. Al medir la velocidad de movimiento de la señal de prueba, se puede determinar el desplazamiento entre frecuencias.

Se han dibujado líneas verticales a través de los puntos donde cada señal sinusoidal pasa por cero. La parte inferior de la figura muestra barras cuyo ancho representa la diferencia de fase entre las señales. En este caso, la diferencia de fase aumenta, lo que indica que la señal de prueba tiene una frecuencia más baja que la de referencia.

Fórmula para la fase de una oscilación o una señal periódica

La fase de una oscilación o señal se refiere a una función sinusoidal como la siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}x(t)&=Acdot cos(2pi ft+varphi)\y(t)&=Acdot sin(2pi ft+varphi)=Acdot cos left(2pi ft+varphi -{tfrac {pi }{2}}right)end{aligned}}}

Donde $textstyle A$ , $textstyle f$ , y ${displaystyle textstyle varphi }$ son parámetros constantes llamados amplitud, frecuencia, y fase del sinusoide. Estas señales son periódicas con el período ${displaystyle textstyle T={frac {1}{f}}}$ , y son idénticos excepto por un desplazamiento de ${displaystyle textstyle {frac {T}{4}}}$ a lo largo de la $textstyle t$ Axis. El término fase puede referirse a varias cosas diferentes:

Puede referirse a una referencia especificada, como ${displaystyle textstyle cos(2pi ft)}$ , en cuyo caso diríamos fase de ${displaystyle textstyle x(t)}$ es ${displaystyle textstyle varphi }$ , y el fase de $textstyle y(t)$ es ${displaystyle textstyle varphi -{frac {pi }{2}}}$ .
Puede referirse a ${displaystyle textstyle varphi }$ , en cuyo caso diríamos ${displaystyle textstyle x(t)}$ y $textstyle y(t)$ tienen el mismo fase pero son relativos a sus propias referencias específicas.
En el contexto de las formas de comunicación, el ángulo de tiempo-variante ${displaystyle textstyle 2pi ft+varphi }$ , o su valor principal, se conoce como fase instantánea, a menudo sólo fase.

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