Factorial doble

En matemáticas, el factorial doble de un número n, denotado por n‼, es el producto de todos los números enteros positivos hasta n que tienen la misma paridad (par o impar) que n. Eso es,

$${displaystyle n!=prod _{k=0}{leftlceil {frac {n}rightrceil} -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)cdots.}$$

Reformulado, esto dice que incluso para n, el factorial doble es

$${displaystyle n!=prod _{k=1}{frac {n} {2 k)=n(n-2)(n-4)cdots 4cdot 2,}$$

$${displaystyle n!=prod _{k=1}{frac {n+1}{2} {2k-1)=n(n-2)(n-4)cdots 3cdot 1,}$$

La secuencia de factoriales dobles para n = 0, 2, 4, 6, 8,... comienza como

La secuencia de factoriales dobles para n = 1, 3, 5, 7 impares, 9,... comienza como

El término factorial impar se utiliza a veces para el factorial doble de un número impar.

Historial y uso

En un artículo de 1902, el físico Arthur Schuster escribió:

La representación simbólica de los resultados de este documento está muy facilitada por la introducción de un símbolo separado para el producto de factores alternativos, ${displaystyle ncdot n-2cdot n-4cdots 1}$, si ${displaystyle n}$ ser extraño, o ${displaystyle ncdot n-2cdots 2}$ si ${displaystyle n}$ ser extraño. Propongo escribir ${displaystyle n!}$ para tales productos, y si se requiere un nombre para que el producto lo llame el "factorial alternativo" o el "doble factorial".

Meserve (1948) afirma que el factorial doble se introdujo originalmente para simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas que surgen en la derivación del producto de Wallis. Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera y tienen muchas aplicaciones en combinatoria enumerativa. Ocurren en la distribución t de Student (1908), aunque Gosset no utilizó la notación de doble signo de exclamación.

Relación con el factorial

Debido a que el factorial doble solo involucra aproximadamente la mitad de los factores del factorial ordinario, su valor no es sustancialmente mayor que la raíz cuadrada del factorial n!, y es mucho más pequeño que el factorial iterado (n!)!.

El factorial de un n positivo se puede escribir como el producto de dos factoriales dobles:

$${displaystyle ¡No!$$

$${displaystyle n!!={frac {n-1)}={frac {(n+1)!}{(n+1)!}},,, }$$

Para un entero par no negativo n = 2k con < i>k ≥ 0, el factorial doble se puede expresar como

$${displaystyle (2k)!=2^{k}k!,}$$

Para n impar = 2k − 1 con k ≥ 1, combinando las dos fórmulas anteriores se obtiene

$${displaystyle (2k-1)!={frac {(2k)! {2}{2^{k}}={frac {(2k-1)}{2^{k-1}(k-1)}},.}$$

Para un entero positivo impar n = 2k − 1 con < i>k ≥ 1, el factorial doble se puede expresar en términos de k-permutaciones de 2k o un factorial descendente como

$${displaystyle (2k-1)!={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}} {fnK} {fnK}}} {fnMicroc}}}}}}} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}fnKf}fnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKf}}}}fn {k}} {2}},}$$

Aplicaciones en combinatoria enumerativa

Los factoriales dobles están motivados por el hecho de que ocurren con frecuencia en combinatoria enumerativa y otros entornos. Por ejemplo, n‼ para valores impares de n cuenta

• Combinaciones perfectas del gráfico completo K_{n + 1} por extraño n. En tal gráfico, cualquier vértice v tiene n posibles opciones de vértice que se puede igualar, y una vez que esta elección se hace el problema restante es uno de seleccionar una combinación perfecta en un gráfico completo con dos vertices menos. Por ejemplo, un gráfico completo con cuatro vértices a, b, c, y d tiene tres coincidencias perfectas: ab y cd, ac y bd, y ad y bc. Las coincidencias perfectas pueden describirse de varias otras maneras equivalentes, incluyendo involuciones sin puntos fijos en un conjunto de n + 1 ítems (permutaciones en las que cada ciclo es un par) o diagramas de acordes (conjuntos de acordes de un conjunto de n + 1 puntos distribuidos equitativamente en un círculo tal que cada punto es el punto final de exactamente un acorde, también llamado diagramas Brauer. Los números de emparejamientos en gráficos completos, sin limitar los emparejamientos a ser perfectos, son dados por los números de teléfono, que pueden ser expresados como una suma que implica doble factorial.
• Permutaciones estrechas, permutaciones del multiconjunto de números 1, 2, 2,... k, k en el que cada par de números iguales se separa sólo por números mayores, donde k = n + 1/2. Las dos copias de k debe ser adyacente; eliminarlos de la permutación deja una permutación en la que el elemento máximo es k − 1, con n posiciones en las cuales el par adyacente k se pueden colocar valores. De esta construcción recursiva, una prueba de que las permutaciones Stirling son contados por las permutaciones dobles sigue por inducción. Alternativamente, en lugar de la restricción de que los valores entre un par pueden ser más grandes que él, también se puede considerar las permutaciones de este multiset en el que aparecen las primeras copias de cada par en orden determinado; tal permutación define una coincidencia en el 2k posiciones de la permutación, así que de nuevo el número de permutaciones puede ser contado por las dobles permutaciones.
• Árboles ordenados por montones, árboles k + 1 nodos etiquetados 0, 1, 2,... k, tal que la raíz del árbol tiene la etiqueta 0, el otro nodo tiene una etiqueta más grande que su padre, y tal que los hijos de cada nodo tienen un orden fijo. Un recorrido por Euler del árbol (con bordes doblados) da una permutación de Stirling, y cada permutación de Stirling representa un árbol de esta manera.
• Árboles binarios desarraigados n + 5/2 hojas etiquetadas. Cada árbol puede formarse de un árbol con una hoja menos, subdividiendo uno de los n bordes de árboles y hacer el nuevo vértice sea el padre de una nueva hoja.
• Árboles binarios rotos con n + 3/2 hojas etiquetadas. Este caso es similar al caso no arraigado, pero el número de bordes que se pueden subdividir es incluso, y además de subdividir un borde es posible añadir un nodo a un árbol con una hoja menos añadiendo una nueva raíz cuyos dos hijos son el árbol más pequeño y la hoja nueva.

Callan (2009) y Dale & Moon (1993) enumera varios objetos adicionales con la misma secuencia de conteo, incluidas "palabras trapezoidales" (números en un sistema de bases mixtas con bases impares crecientes), caminos de Dyck con etiquetas de altura, árboles ordenados con etiquetas de altura, "caminos salientes" y ciertos vectores que describen la hoja descendiente con el número más bajo de cada nodo en un árbol binario enraizado. Para pruebas biyectivas de que algunos de estos objetos son equinumeros, véase Rubey (2008) y Marsh & Martín (2011).

Los factoriales pares dobles dan el número de elementos de los grupos hiperoctaédricos (permutaciones con signo o simetrías de un hipercubo)

Asintóticas

La aproximación de Stirling para el factorial se puede utilizar para derivar un equivalente asintotico para el doble factorial. En particular, desde ${displaystyle n!sim {2sqrt}left({frac {n}right)}{n}}} {n}}$ uno tiene como ${displaystyle n}$ tiende a infinito que

$${displaystyle n!!sim {begin{cases}displaystyle {fn} {fn} {fn} {fn} {fnfn}} {fn} {fn} {fn} {fn}fnfn}fn9}fn9}fn}fn}fn9}fnfnKfnK} {fnfnfn}fnfn}fnKfnfnfn9}fnfnKfnKfnfnKfnKfnKfn9}fn}fnKf}fnKfnfnKfnKfn9}fn}fn}fn}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH009}cH00}fn$$

Extensiones

Argumentos negativos

El factorial ordinario, cuando se extiende a la función gamma, tiene un polo en cada entero negativo, lo que impide que el factorial se defina en estos números. Sin embargo, el doble factorial de números impares se puede extender a cualquier argumento de entero impar negativo invirtiendo su relación de recurrencia.

$${displaystyle n!!=ntimes (n-2)}!$$

$${displaystyle n!!={frac {(n+2)!}{n+2},}$$

$${displaystyle (-n)!times n!=(-1)^{frac {n-1} {2}times n,}$$

Argumentos complejos

Sin tener en cuenta la definición anterior de n!!! para valores pares de n, el factorial doble para enteros impares se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos z observando que cuando z es un entero impar positivo entonces

$${displaystyle {begin{aligned}z!! {Z-1}{2}}left({frac {z}{2}right)left({frac {frac}}}left)left {z-2}{2}right)cdots left({frac {5}{2}right)left({frac {3}{2}right)[5mu] {z-1}{2}{frac} {Gamma left({tfrac {Z}{2}+1right)}{ Gamma left ({tfrac {1}{2}}+1right)}[5mu] }2^{frac {Z}{2} Gamma left ({tfrac {z}{2}}+1right),end{aligned}}}$$

${displaystyle Gamma (z)}$

La expresión final se define para todos los números complejos, excepto los números negativos incluso enteros y satisfies ()z + 2)! =z + 2) z! en todas partes se define. Como con la función gamma que extiende la función factorial ordinaria, esta doble función factorial es convexa logarítmicamente en el sentido del teorema Bohr-Mollerup. Asintoticamente, ${textstyle n!! {2n^{n+1}e^{-n},}$

La fórmula generalizada ${fnK} {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicroc}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {f}fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}f}} {f}f}}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnf}f}f}f}fnfnfnfnfnf}fnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnKfnfnKf}fnfnh}f}fn }2^{frac {Z}{2} Gamma left({tfrac {z}{2}+1right)}$ no está de acuerdo con la fórmula de producto anterior para z! no negativo incluso valores enteros dez. En cambio, esta fórmula generalizada implica la siguiente alternativa:

$${displaystyle (2k)! {fnMicroc {2}}prod _{i=1}{k}(2i), }$$

Usando esta fórmula generalizada como definición, el volumen de una hiperesfera n-dimensional de radio R se puede expresar como

$${displaystyle V_{n}={frac {2left(2piright)^{frac ¡No! R^{n},}$$

Identidades adicionales

Para valores enteros de n,

$${displaystyle int _{0}{frac {pi } {2}sin ^{n}x,dx=int ¿Qué? ¡No! {begin{cases}1 {text{if}n{ is odd}\{frac {pi}{2}} {text{if}n{text{ is even.}end{cases}}}} {fnMicroel}}} {fncipes {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}fnun}}fnun}}fnun}}}}fnun}fnun}fnun}fnunfnun}fnun}fnun}fnun}}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun} {fnun}fnunfnun}fnun}fnun}fn$$

$${displaystyle int _{0}{frac {pi } {2}sin ^{n}x,dx=int ¿Qué? ¡No! } {2}},.}$$

Los factoriales dobles también se pueden utilizar para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicados.

Los factoriales dobles de números impares están relacionados con la función gamma por la identidad:

$${displaystyle (2n-1)!=2^{n}cdot {frac {fnfn} {cH00}} {cH00}} {cdot}cdot}cdot} {cdot}}cdot} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicrosoft {fn {\fnMicroc {\fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {\cHFF}cccHFF}fn\cHFF}fnfnfnfncHFF}fncHFF}cHcHcH\cHcHcHcHcHccHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHccHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHFF}cHcHFF}cHFFFF}cHcHFF}cHcH {fnMicrosoft Sans Serif},}$$

Algunas identidades adicionales que involucran factoriales dobles de números impares son:

$${displaystyle {begin{aligned}(2n-1)! ¿Qué? ¡2k-1! (2n-2k-3)! ¿Qué? {n} {k}(2k-3)!(2(n-k)-1)! ¿Qué? {2n-k-1}{k-1}{frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1} {2n-2k-3)!\\\c=sum _{k=1}{n}{n}frac {(n-1)}{(k-1)}}} k(2k-3)!$$

Una aproximación a la razón del doble factorial de dos números enteros consecutivos es

$${displaystyle {frac {(2n)}{(2n-1)}approx! {cHFF} No.$$

Generalizaciones

Definiciones

Del mismo modo que el doble factorial generaliza la noción del factorial único, la siguiente definición de las funciones factoriales múltiples valoradas por entero (multifactoriales), o α- funciones factoriales, extiende la noción de la doble función factorial para números enteros positivos ${displaystyle alpha }$:

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}s}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}s}s}fnMinMinMinMinMis}fnMicrosoft}fnMis}fnMis}fnMis}fnMis}fnMis}nnMin}nfnMis {fns}fnMinnnMinMinMinnMinMinnnnMinMinMinMinMinnnnnnnnMin$$

Extensión alternativa del multifactorial

Alternativamente, el método multifactorial z!_(α) se puede extender a la mayoría números reales y complejos z observando que cuando z es uno más que un múltiplo positivo del entero positivo α entonces

$${displaystyle {begin{aligned}z!_{(alpha)} {z(z-alpha)cdots (alpha +1)\\\\alpha ^{frac {lpha }left({frac {alpha }}}derecho)left({frazfraz {fraz {fraz}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMientras, mientras! {fnMicrosoft Sans Serif}cdots left({frac {alpha +1}{alpha }derecha)=alpha ^{frac {z-1}{alpha }{frac {Gammaleft {frac}}}+1derecha)}{Gamma left({frac {1}{alpha - Bien.$$

Esta última expresión se define de manera mucho más amplia que la original. De la misma manera que z! no está definido para enteros negativos, y z ‼ no está definido para enteros pares negativos, z!_(α) no está definido para múltiplos negativos de α. Sin embargo, está definido y satisface (z+α)!_{(α)< /sub> = (z+α)·z!(α)} para todos los demás números complejos z. Esta definición es coherente con la definición anterior solo para aquellos números enteros z que satisfacen z ≡ 1 mod α.

Además de extender z!_(α) a los números más complejos < span class="texhtml">z, esta definición tiene la característica de funcionar para todos los valores reales positivos de α< /lapso>. Además, cuando α = 1, esta definición es matemáticamente equivalente a Π(z) función, descrita anteriormente. Además, cuando α = 2, esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa del doble factorial.

Números de Stirling generalizados que amplían las funciones multifactoriales

Se define una clase de números de Stirling generalizados del primer tipo para α > 0 por la siguiente relación de recurrencia triangular:

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnfnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}f}fnMicros}fnMicrox}}fnMientras estaba en un momento. }+left[{begin{matrix}n-1k-1end{matrix}right]_{alpha }+ delta _{n,0}delta - ¿Qué?$$

Estos αcoeficientes factoriales generalizados generan los distintos productos polinomiales simbólicos que definen el factorial múltiple., o α-funciones factoriales, (x − 1) !_(α), como

$${displaystyle {begin{aligned}(x-1 sometidaalpha)}{compline {n} âTMa âTMa ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? }(-1)^{n-k}x^{k-1},end{aligned}}$$

Las distintas expansiones polinomiales en las ecuaciones anteriores en realidad definen los productos factoriales α para múltiples casos distintos de los residuos mínimos < span class="texhtml">x ≡ n₀ mod α para n₀ ∈ {0, 1, 2,..., α − 1}.

Los polinomios factoriales α, σ< span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left">^(α)
_n(x) donde σ⁽¹⁾
_n(x) ≡ σ_n(x), que generalizan los polinomios de convolución de Stirling desde el caso factorial único a los casos multifactoriales. por

$${displaystyle sigma _{(alpha)}(x):=left[{begin{matrix}xx-nend{matrix}}right]_{alpha)}{frac {(x-n-1)}{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

para 0 ≤ n ≤ x. Estos polinomios tienen una función generadora ordinaria de forma cerrada particularmente agradable dada por

$${displaystyle sum _{ngeq 0}xcdot sigma _{n}{(alpha)}(x)z^{n}=e^{(1-alpha)z}left({frac {alpha ze^{alpha Bien.$$

En Schmidt (2010) se consideran otras propiedades combinatorias y expansiones de estos α-triángulos factoriales y secuencias polinómicas generalizadas.

Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales

Supongamos que n ≥ 1 y α ≥ 2 son de valor entero. Luego podemos expandir las siguientes sumas finitas individuales que involucran las funciones multifactoriales o α-factoriales, (αn − 1)!_(α), en términos del símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales generalizados y de valores racionales como

$${displaystyle {begin{aligned}(alpha n-1)!_{(alpha)} ¿Qué? {n-1}{k+1} {-1)}times left({frac {1}{alpha }right)_{-(k+1)}left({frac {1}{alpha {bigl {bigl}alpha (k+1)-1{bigr)}}{(alpha)}{bigl (}alpha (n-k-1)-1{bigr)}}} {alpha)}\\=sum ¿Qué? {fn1} {fnMicrosoft Sans Serif} {binom {fnMicrosoft Sans Serif} {1}{alpha - ¿Qué? {fnK} {fnMicroc} {fnK} {fnMicroc} {cHFF} {fn}} {fnMicroc} {f}} {fn}} {fnK}} {f}} {fnMicroc {f}} {fnKf}}}} {f}}} {f}}}}} {\f}}} {\f}fnfnf}}}f}f}f}}}f}f}f}\fn\fnfnf}\fnf}fn\fnHFF}}fnfnfnh\fnfn\fnfnfnfn\fnfnfnfnh00fn\fnHFF}}}}fnh}}}}}fn {fnMicrosoft Sans Serif}} {bigl (}alpha (k+1)-1{bigr)}}_{(alpha)}{bigl (}alpha (n-k-1)-1{bigr)}}_{(alpha)},end{aligned}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {m} {m}}}}} {m}}}} {c}}}}}} {c}}}} {cccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccccc$$

y además, de manera similar tenemos expansiones de doble suma de estas funciones dadas por

$${displaystyle {begin{aligned}(alpha n-1)!_{(alpha)} ¿Por qué? ##{i=0} {k+1}{binom {n-1}{k+1}{binom {k+1}{i}(-1)^{k}alpha ^{k+1-i}(alpha i-1)!_{bigl (}alpha (n-1-k)-1 {bigr)}_{(alpha)}times (n-1-k)_{k+1-i}=sum==dud] ¿Por qué? ##{i=0} {k+1}{binom {n-1}{k+1}{binom {k+1}{i}{binom} {n-1-i}{k+1-i}(-1)^{k}alpha ^{k+1-i}(alpha i-1)!_{(alpha)}{bigl (}alpha (n-1-k)-1{bigr)}_{(alpha)}}times (k+1-i)}end{aligned}{aligned}{aligned} {i)} {i)}{k}{k+1-i)}{aligned} {i)} {i)}{k}{k+1-i)}{k+1-i)} {i}{k}{k}{k} {i} {i}{k}{k} {i)}{k}{k} {k+1-i} {k+1-i} {k}}}} {i)}}{k} {i}} {i}} {k}{k}{k} {k}{k}$$

Las dos primeras sumas anteriores son similares en forma a una identidad combinatoria no redonda conocida para la función factorial doble cuando α: = 2 dado por Callan (2009).

$${displaystyle (2n-1)!=sum ¿Qué? ¡2k-1! (2n-2k-3)!$$

Se pueden obtener identidades similares mediante gramáticas libres de contexto. Expansiones adicionales de suma finita de congruencias para las funciones factoriales α, (αn − d)!_(α), módulo cualquier entero prescrito h ≥ 2 para cualquier 0 ≤ d < α están dados por Schmidt (2018).