Factor de Lorentz

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Cantidad en física relativista

Definición del factor Lorentz γ

El factor de Lorentz o término de Lorentz (también conocido como factor gamma) es una cantidad que expresa cuánto varían las medidas de tiempo, La longitud y otras propiedades físicas cambian para un objeto mientras ese objeto se mueve. La expresión aparece en varias ecuaciones de la relatividad especial y surge en derivaciones de las transformaciones de Lorentz. El nombre proviene de su aparición anterior en la electrodinámica lorentziana, en honor al físico holandés Hendrik Lorentz.

Generalmente se denota $γ$ (la letra minúscula griega gamma). A veces (especialmente en la discusión sobre el movimiento superluminal) el factor se escribe como $Γ$ (griego gamma mayúscula) en lugar de $γ</i.$ .

Definición

El factor de Lorentz $γ$ se define como

{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={sqrt {frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={frac {c}{sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={frac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}}={frac {dt}{dtau }},}

$v$ es la velocidad relativa entre marcos de referencia inercial,
$c$ es la velocidad de la luz en vacío,
$β$ es la relación de $v$ a $c$ ,
$t$ es tiempo de coordenadas,
$τ$ es el momento adecuado para un observador (mediante intervalos de tiempo en el propio marco del observador).

Esta es la forma más utilizada en la práctica, aunque no la única (ver abajo para formas alternativas).

Para complementar la definición, algunos autores definen el recíproco

{displaystyle alpha ={frac {1}{gamma }}={sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}} ={sqrt {1-{beta }^{2}}};}

Ocurrencia

A continuación se muestra una lista de fórmulas de la relatividad especial que utilizan $γ$ como abreviatura:

El Transformación de Lorentz: El caso más simple es un impulso en el $x$ -dirección (formas más generales, incluyendo direcciones arbitrarias y rotaciones no enumeradas aquí), que describe cómo las coordenadas espaciales cambian de un marco inercial utilizando coordenadas $() x, Sí., z, t)$ a otro $() x ., Sí. ., z ., t .)$ con velocidad relativa $v$ : ${displaystyle {begin{aligned}t'&=gamma left(t-{tfrac {vx}{c^{2}}}right),\[1ex]x'&=gamma left(x-vtright).end{aligned}}}$

Corollarios de las transformaciones anteriores son los resultados:

Dilatación del tiempo: El tiempo ( $▪ t .$ ) entre dos garrapatas medida en el marco en el que el reloj se mueve, es más largo que el tiempo ( $▪ t$ ) entre estas garrapatas medida en el marco de descanso del reloj: ${displaystyle Delta t'=gamma Delta t.}$
Contracción de longitud: La longitud ( $▪ x .$ ) de un objeto medido en el marco en el que se mueve, es más corto que su longitud ( $▪ x$ ) en su propio marco de descanso: ${displaystyle Delta x'=Delta x/gamma.}$

Aplicar la conservación del impulso y la energía conduce a estos resultados:

Masa relativa: La masa $m$ de un objeto en movimiento depende de ${displaystyle gamma }$ y la masa del resto $m 0$ : ${displaystyle m=gamma m_{0}.}$
Momento relativo: La relación del impulso relativista toma la misma forma que para el impulso clásico, pero utilizando la masa relativista anterior: ${displaystyle {vec {p}}=m{vec {v}}=gamma m_{0}{vec {v}}.}$
Energía cinética relativa: La relación relativista de energía cinética toma la forma ligeramente modificada: ${displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(gamma -1)m_{0}c^{2}}$ As ${displaystyle gamma }$ es una función ${displaystyle {tfrac {v}{c}}}$ , el límite no relativista da ${textstyle lim _{v/cto 0}E_{k}={tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ , como se esperaba de consideraciones de Newtonian.

Valores numéricos

En la tabla de abajo, la columna izquierda muestra velocidades como diferentes fracciones de la velocidad de la luz (es decir, en unidades de $c$ ). La columna media muestra el factor Lorentz correspondiente, el final es el recíproco. Los valores en negrita son exactos.

Velocidad (unidades de $c$ ), $β = v / c$	Factor de Lorentz, $γ$	Recíproco, $1/ γ$
0	1	1
0,050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0,200	1.021	0.980
0,250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0,50	1.155	0.866
0.600	1.25	0,8
0,7500	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.6
0.866	2	0.5
0,90	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0,045
0.99995	100.00	0,010

Representaciones alternativas

Hay otras formas de escribir el factor. Arriba, se utilizó la velocidad $v$ , pero también pueden ser convenientes variables relacionadas como el impulso y la rapidez.

Impulso

Resolver la ecuación de impulso relativista anterior para $γ$ conduce a

{displaystyle gamma ={sqrt {1+left({frac {p}{m_{0}c}}right)^{2}}},.}

Rapidez

Aplicar la definición de rapidez como ángulo hiperbólico ${displaystyle varphi }$ :

{displaystyle tanh varphi =beta }

$γ$ ${displaystyle gamma =cosh varphi ={frac {1}{sqrt {1-tanh ^{2}varphi }}}={frac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}}.}$
Usando la propiedad de la transformación de Lorentz, se puede demostrar que la rapidez es aditiva, una propiedad útil que la velocidad no tiene. Por tanto, el parámetro de rapidez forma un grupo de un solo parámetro, una base para los modelos físicos.
Función de Bessel
La identidad de Bunney representa el factor de Lorentz en términos de una serie infinita de funciones de Bessel:
${displaystyle sum _{m=1}^{infty }left(J_{m-1}^{2}(mbeta)+J_{m+1}^{2}(mbeta)right)={frac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}}.}$
Expansión en serie (velocidad)
El factor de Lorentz tiene la serie de Maclaurin:
${displaystyle {begin{aligned}gamma &={dfrac {1}{sqrt {1-beta ^{2}}}}\[1ex]&=sum _{n=0}^{infty }beta ^{2n}prod _{k=1}^{n}left({dfrac {2k-1}{2k}}right)\[1ex]&=1+{tfrac {1}{2}}beta ^{2}+{tfrac {3}{8}}beta ^{4}+{tfrac {5}{16}}beta ^{6}+{tfrac {35}{128}}beta ^{8}+{tfrac {63}{256}}beta ^{10}+cdotsend{aligned}}}$
La aproximación ${textstyle gamma approx 1+{frac {1}{2}}beta ^{2}}$ se puede utilizar para calcular los efectos relativistas a bajas velocidades. Se mantiene dentro de un 1% error para $v$ ▪ 0,4 $c$ () $v$ 120.000 km/s) y hasta un 0,1% de error $v$ 0,22 $c$ () $v$ 66.000 km/s).
Las versiones truncadas de esta serie también permiten a los físicos probar que la relatividad especial reduce a la mecánica Newtoniana a bajas velocidades. Por ejemplo, en la relatividad especial, las dos ecuaciones siguientes sostienen:
${displaystyle {begin{aligned}mathbf {p} &=gamma mmathbf {v}\E&=gamma mc^{2}.end{aligned}}}$
Para ${displaystyle gamma approx 1}$ y ${textstyle gamma approx 1+{frac {1}{2}}beta ^{2}}$ , respectivamente, estos reducen a sus equivalentes de Newtonian:
${displaystyle {begin{aligned}mathbf {p} &=mmathbf {v}\E&=mc^{2}+{tfrac {1}{2}}mv^{2}.end{aligned}}}$
La ecuación del factor de Lorentz también se puede invertir para obtener
${displaystyle beta ={sqrt {1-{frac {1}{gamma ^{2}}}}}.}$ ${displaystyle beta =1-{tfrac {1}{2}}gamma ^{-2}-{tfrac {1}{8}}gamma ^{-4}-{tfrac {1}{16}}gamma ^{-6}-{tfrac {5}{128}}gamma ^{-8}+cdots ,.}$
Los dos primeros términos se utilizan ocasionalmente para calcular rápidamente velocidades de grandes $γ$ valores. La aproximación ${textstyle beta approx 1-{frac {1}{2}}gamma ^{-2}}$ mantiene dentro de la tolerancia del 1% $γ ■ 2$ , y al 0,1% de la tolerancia $γ ■ 3.5$ .
Aplicaciones en astronomía
El modelo estándar de ráfagas de rayos gamma de larga duración (GRB) sostiene que estas explosiones son ultra-relativistas (inicial $γ$ más de aproximadamente 100), que se invoca para explicar el llamado " compactación " Problema: en ausencia de esta expansión ultra relativista, la eyección sería ópticamente gruesa para emparejarse la producción a energías espectrales pico típicas de unos pocos 100 keV, mientras que la emisión rápida se observa como no térmica.
muones, una partícula subatómica, viajan a una velocidad tal que tienen un factor Lorentz relativamente alto y, por lo tanto, experimentan una dilatación en el tiempo extremo. Dado que los muones tienen una vida útil media de solo 2.2 μs, los muones generados a partir de colisiones de rayos cósmicos de 10 km (6.2 millas) en la atmósfera de la Tierra deben ser no detectables en el terreno debido a su tasa de descomposición. Sin embargo, aproximadamente el 10% de los muones de estas colisiones todavía son detectables en la superficie, lo que demuestra los efectos de la dilatación del tiempo en su tasa de descomposición.

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