Evento complementario

En la teoría de la probabilidad, el complemento de cualquier evento A es el evento [no A ], es decir, el evento de que A no ocurre. El evento A y su complemento [no A ] son ​​mutuamente excluyentes y exhaustivos. Generalmente, solo hay un evento B tal que A y B son mutuamente excluyentes y exhaustivos; ese evento es el complemento de A. El complemento de un evento A generalmente se denota como A′, A, A o A. Dado un evento, el evento y su evento complementario definen un juicio de Bernoulli: ¿ocurrió o no el evento?

Por ejemplo, si se lanza una moneda típica y se supone que no puede caer sobre su borde, entonces puede caer mostrando "cara" o "cruz". Debido a que estos dos resultados son mutuamente excluyentes (es decir, la moneda no puede mostrar simultáneamente cara y cruz) y colectivamente exhaustivos (es decir, no hay otros resultados posibles que no estén representados entre estos dos), por lo tanto, son complementarios entre sí. Esto significa que [cara] es lógicamente equivalente a [no cruz], y [cruz] es equivalente a [no cara].

Regla del complemento

En un experimento aleatorio, las probabilidades de todos los eventos posibles (el espacio muestral) deben sumar 1, es decir, debe ocurrir algún resultado en cada prueba. Para que dos eventos sean complementarios, deben ser colectivamente exhaustivos, llenando juntos todo el espacio muestral. Por lo tanto, la probabilidad del complemento de un evento debe ser la unidad menos la probabilidad del evento. Es decir, para un evento A,

De manera equivalente, las probabilidades de un evento y su complemento siempre deben sumar 1. Sin embargo, esto no significa que dos eventos cuyas probabilidades sumen 1 sean complementarios entre sí; los eventos complementarios también deben cumplir la condición de exclusividad mutua.

Ejemplo de la utilidad de este concepto

Supongamos que uno lanza ocho veces un dado ordinario de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que uno vea un "1" al menos una vez?

Puede ser tentador decir quePr(["1" en la primera prueba] o ["1" en la segunda prueba] o... o ["1" en la octava prueba])= Pr("1" en la primera prueba) + Pr("1" en la segunda prueba) +... + P("1" en la octava prueba)= 1/6 + 1/6 +... + 1/6= 8/6= 1.3333...

Este resultado no puede ser correcto porque una probabilidad no puede ser mayor que 1. La técnica es incorrecta porque los ocho eventos cuyas probabilidades se sumaron no son mutuamente excluyentes.

Uno puede resolver esta superposición por el principio de inclusión-exclusión o, en este caso, simplemente encontrando la probabilidad del evento complementario y restándola de 1, así:Pr(al menos un "1") = 1 − Pr(sin "1")= 1 − Pr([sin "1" en el primer intento] y [sin "1" en el segundo intento] y... y [sin "1" en el octavo intento])= 1 − Pr(sin "1" en el primer intento) × Pr(sin "1" en el segundo intento) ×... × Pr(sin "1" en el octavo intento)= 1 −(5/6) × (5/6) ×... × (5/6)= 1 − (5/6)= 0.7674...