Eventos colectivamente exhaustivos

En teoría y lógica de las probabilidades, un conjunto de eventos es conjunta o colectivamente exhaustivo si al menos uno de los eventos debe ocurrir. Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, los eventos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 bolas de un solo resultado son colectivamente exhaustivos, porque abarcan todo el rango de resultados posibles.

Otra forma de describir eventos colectivamente exhaustivos es que su unión debe cubrir todos los eventos dentro de todo el espacio muestral. Por ejemplo, se dice que los eventos A y B son colectivamente exhaustivos si

donde S es el espacio muestral.

Compare esto con el concepto de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes. En tal conjunto no puede ocurrir más de un evento en un momento dado. (En algunas formas de exclusión mutua, solo puede ocurrir un evento). El conjunto de todas las tiradas de dados posibles es mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo (es decir, "MECE"). Los eventos 1 y 6 son mutuamente excluyentes pero no exhaustivos colectivamente. Los eventos "par" (2, 4 o 6) y "no-6" (1, 2, 3, 4 o 5) también son colectivamente exhaustivos pero no mutuamente excluyentes. En algunas formas de exclusión mutua, solo puede ocurrir un evento, ya sea colectivamente exhaustivo o no. Por ejemplo, no se puede repetir el lanzamiento de una galleta en particular para un grupo de varios perros, sin importar qué perro la atrape.

Un ejemplo de un evento que es tanto colectivamente exhaustivo como mutuamente excluyente es lanzar una moneda. El resultado debe ser cara o cruz, o p (cara o cruz) = 1, por lo que los resultados son colectivamente exhaustivos. Cuando ocurre cara, no puede ocurrir cruz, o p (cara y cruz) = 0, por lo que los resultados también son mutuamente excluyentes.

Historia

El término "exhaustivo" se ha utilizado en la literatura desde al menos 1914. Aquí hay algunos ejemplos:

Lo siguiente aparece como nota a pie de página en la página 23 del texto de Couturat, The Algebra of Logic (1914):"Como acertadamente ha señalado la Sra. LADD·FRANKLlN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artículo "Laws of Thought"), el principio de contradicción no es suficiente para definir los contradictorios, hay que añadir el principio de tercero excluido que igualmente merece el nombre de principio de contradicción, por lo que la Sra. LADD-FRANKLIN propone llamarlos respectivamente principio de exclusión y principio de agotamiento, por cuanto, según el primero, dos términos contradictorios son excluyentes (el uno del otro); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso) ”. (cursivas añadidas para enfatizar)

En la discusión de Stephen Kleene sobre los números cardinales, en Introducción a las metamatemáticas (1952), utiliza el término "mutuamente excluyentes" junto con "exhaustivo":"Por lo tanto, para cualesquiera dos cardinales M y N, las tres relaciones M < N, M = N y M > N son 'mutuamente excluyentes', es decir, no más de uno de ellos puede sostenerse. ¶ No aparece hasta una etapa avanzada de la teoría... si son 'exhaustivas', es decir, si al menos una de las tres debe cumplirse". (cursivas añadidas para enfatizar, Kleene 1952:11; el original tiene barras dobles sobre los símbolos M y N).