Euclides

Euclides (griego: Εὐκλείδης; fl. 300 aC) fue un antiguo matemático griego activo como geómetra y lógico. Considerado el "padre de la geometría", es conocido principalmente por el tratado Elementos, que estableció las bases de la geometría que dominó en gran medida el campo hasta principios del siglo XIX. Su sistema, ahora conocido como geometría euclidiana, involucró nuevas innovaciones en combinación con una síntesis de teorías de matemáticos griegos anteriores, incluidos Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quíos, Tales y Teeteto. Con Arquímedes y Apolonio de Perge, Euclides es generalmente considerado uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad y uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas.

Se sabe muy poco de la vida de Euclides y la mayor parte de la información proviene de los filósofos Proclo y Pappus de Alejandría muchos siglos después. Hasta principios del Renacimiento, a menudo se lo confundía con el filósofo anterior Euclides de Megara, lo que provocó que su biografía se revisara sustancialmente. En general, se acepta que pasó su carrera bajo Ptolomeo I en Alejandría y vivió alrededor del 300 a. C., después de Platón y antes de Arquímedes. Existe cierta especulación de que Euclides fue estudiante de la Academia Platónica y luego enseñó en el Musaeum. A menudo se considera que Euclides une la tradición platónica anterior en Atenas con la tradición posterior de Alejandría.

En los Elementos, Euclides dedujo los teoremas de un pequeño conjunto de axiomas. También escribió obras sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica, teoría de números y rigor matemático. Además de los Elementos, Euclides escribió un texto temprano central en el campo de la óptica, Optics, y obras menos conocidas que incluyen Data y Fenómenos. Se ha cuestionado la autoría de Euclides de otros dos textos: Sobre las divisiones de figuras, Catoptrics. Se cree que escribió muchas obras ahora perdidas.

Vida

Narrativa tradicional

Detalle de la impresión de Rafael de Euclid, enseñando estudiantes en La Escuela de Atenas (1509–1511)

El nombre en inglés 'Euclid' es la versión inglesa del nombre griego antiguo Εὐκλείδης. Se deriva de 'eu-' (εὖ; 'bien') y 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que significa "renombrado, glorioso". La palabra 'Euclides' menos comúnmente también significa "una copia de lo mismo", y a veces es sinónimo de 'geometría'.

Al igual que muchos matemáticos de la antigua Grecia, la vida de Euclides es mayormente desconocida. Se le acepta como autor de cuatro tratados en su mayoría existentes: los Elementos, Óptica, Datos, Fenómenos, pero además de esto, no se sabe nada con certeza de él. El historiador Carl Benjamin Boyer ha señalado la ironía de que "considerando la fama del autor y de su best seller [los Elementos], se sabe muy poco de Euclides". La narrativa tradicional sigue principalmente el relato del siglo V d.C. de Proclo en su Comentario sobre el primer libro de los elementos de Euclides, así como algunas anécdotas de Pappus de Alejandría a principios del siglo IV. Según Proclo, Euclides vivió después del filósofo Platón (d. 347 AC) y antes que el matemático Arquímedes (c. 287 – c. 212 BC); específicamente, Proclo colocó a Euclides durante el gobierno de Ptolomeo I (r. 305/304–282 BC). En su Colección, Pappus indica que Euclides estuvo activo en Alejandría, donde fundó una tradición matemática. Así, el esquema tradicional, descrito por el historiador Michalis Sialaros como la "visión dominante", sostiene que Euclides vivió alrededor del año 300 a. C. en Alejandría mientras Ptolomeo I reinaba.

Se desconoce la fecha de nacimiento de Euclid; algunos eruditos estiman alrededor del 330 o 325 a. C., pero otras fuentes evitan especular una fecha por completo. Se presume que era de ascendencia griega, pero se desconoce su lugar de nacimiento. Proclo sostuvo que Euclides siguió la tradición platónica, pero no hay una confirmación definitiva de esto. Es poco probable que fuera contemporáneo de Platón, por lo que a menudo se supone que fue educado por los discípulos de Platón en la Academia Platónica de Atenas. El historiador Thomas Heath apoyó esta teoría al señalar que los geómetras más capaces vivían en Atenas, que incluía a muchos de los matemáticos cuyo trabajo Euclides desarrolló más tarde. La exactitud de estas afirmaciones ha sido cuestionada por Sialaros, quien afirmó que la teoría de Heath 'debe ser tratada simplemente como una conjetura'. Independientemente de su asistencia real a la academia platónica, el contenido de su trabajo posterior ciertamente sugiere que estaba familiarizado con la tradición de la geometría platónica, aunque tampoco demuestran una influencia observable de Aristóteles.

Alejandro Magno fundó Alejandría en el año 331 a. C., donde Euclides más tarde estaría activo alrededor del año 300 a. El gobierno de Ptolomeo I desde el 306 a. C. en adelante le dio a la ciudad una estabilidad relativamente única en el Mediterráneo, en medio de las caóticas guerras por la división del imperio de Alejandro. Ptolomeo inició un proceso de helenización y encargó numerosas construcciones, construyendo la enorme institución Musaeum, que fue un importante centro de educación. Sobre la base de anécdotas posteriores, se cree que Euclides estuvo entre los primeros eruditos del Musaeum y que fundó allí la escuela de matemáticas de Alejandría. Según Pappus, los alumnos de Euclides enseñaron allí al matemático posterior Apolonio de Perge. Se desconoce la fecha de la muerte de Euclid; se ha estimado que murió c. 270 aC, presumiblemente en Alejandría.

Identidad e historicidad

Una pintura de los años 1650 de Domenico Maroli, que representa al filósofo Euclid de Megara. En ese momento, Euclid el filósofo y Euclid el matemático se consideraron erróneamente la misma persona, por lo que esta pintura incluye objetos matemáticos en la mesa.

A menudo se hace referencia a Euclides como 'Euclides de Alejandría' para diferenciarlo del anterior filósofo Euclides de Megara, discípulo de Sócrates que fue incluido en los diálogos de Platón. Históricamente, los eruditos medievales confundían con frecuencia al matemático y al filósofo, refiriéndose erróneamente al primero en latín como 'Megarensis' (lit. 'de Megara&# 39;). Como resultado, la información biográfica sobre el matemático Euclides se combinó durante mucho tiempo con las vidas de Euclides de Alejandría y Euclides de Megara. El único erudito de la antigüedad que se sabe que confundió al matemático y al filósofo fue Valerio Máximo. Sin embargo, esta identificación errónea fue transmitida por muchas fuentes bizantinas anónimas y los eruditos del Renacimiento Campanus de Novara y Theodore Metochites, que se incluyó en una traducción de 1482 de este último por Erhard Ratdolt. Después de que el matemático Bartolomeo Zamberti [fr] (1473–1539) afirmara esta presunción en su traducción de 1505, todas las publicaciones posteriores pasaron con esta identificación. Los eruditos del Renacimiento posteriores, en particular Peter Ramus, reevaluaron esta afirmación, demostrando que era falsa a través de problemas de cronología y contradicciones en fuentes tempranas.

Las fuentes árabes escritas muchos siglos después de su muerte brindan una gran cantidad de información sobre la vida de Euclides, pero no se pueden verificar en absoluto. La mayoría de los eruditos los consideran de dudosa autenticidad; Heath, en particular, sostiene que la ficción se hizo para fortalecer la conexión entre un matemático venerado y el mundo árabe. También hay numerosas historias anecdóticas sobre Euclides, todas de historicidad incierta, que "lo describen como un anciano amable y gentil". El más conocido de estos es Proclus' historia sobre Ptolomeo preguntando a Euclides si había un camino más rápido para aprender geometría que leyendo sus Elementos, a lo que Euclides respondió con "no hay un camino real hacia la geometría". Esta anécdota es cuestionable ya que Stobaeus registra una interacción muy similar entre Menaechmus y Alexander the Great. Ambos relatos fueron escritos en el siglo V d. C., ninguno indica su fuente y ninguna historia aparece en la literatura griega antigua.

La narrativa tradicional de la actividad de Euclides c. 300 no es complicada por ningún matemático del siglo IV aC indicando su existencia. Matemáticos del siglo III como Arquímedes y Apolonio "asumen que una parte de su obra es conocida"; sin embargo, Arquímedes extrañamente usa una teoría más antigua de las proporciones, en lugar de la de Euclides. Los Elementos están fechados para haber estado al menos parcialmente en circulación en el siglo III a.C. Algunos matemáticos griegos antiguos lo mencionan por su nombre, pero generalmente se lo conoce como "ὁ στοιχειώτης" ("el autor de Elements"). En la Edad Media, algunos eruditos sostuvieron que Euclides no era un personaje histórico y que su nombre surgió de una corrupción de los términos matemáticos griegos.

Obras

Elementos

Un fragmento de papiro de Euclid Elementos fecha c.75–125 AD. Encontrado en Oxyrhynchus, el diagrama acompaña Libro II, Proposición 5.

Euclides es mejor conocido por su tratado de trece libros, los Elementos (griego: Στοιχεῖα; Stoicheia), considerado su obra magna. Gran parte de su contenido se origina en matemáticos anteriores, incluidos Eudoxo, Hipócrates de Quíos, Tales y Teeteto, mientras que Platón y Aristóteles mencionan otros teoremas. Es difícil diferenciar el trabajo de Euclides del de sus predecesores, especialmente porque los Elementos esencialmente reemplazaron a las matemáticas griegas mucho más antiguas y ahora perdidas. El clasicista Markus Asper concluye que "aparentemente, el logro de Euclides consiste en ensamblar el conocimiento matemático aceptado en un orden convincente y agregar nuevas pruebas para llenar los vacíos". y la matemática Serafina Cuomo lo describió como un "reservorio de resultados". A pesar de esto, Sialaros añade que "la estructura notablemente estrecha de los Elementos revela un control autoral más allá del límites de un mero editor".

Los Elementos no tratan exclusivamente de geometría como a veces se cree. Tradicionalmente se divide en tres temas: geometría plana (libros 1 a 6), aritmética básica (libros 7 a 10) y geometría sólida (libros 11 a 13), aunque el libro 5 (sobre proporciones) y 10 (sobre líneas irracionales) no se ajustan exactamente a este esquema. El corazón del texto son los teoremas dispersos por todas partes. Usando la terminología de Aristóteles, estos pueden ser generalmente separados en dos categorías: "primeros principios" y "segundos principios". El primer grupo incluye declaraciones etiquetadas como "definición" (Griego: ὅρος o Griego: ὁρισμός), "postulado" (Griego: αἴτημα‎), o una "noción común" (Griego: κοινὴ ἔννοια); solo el primer libro incluye postulados, más tarde conocidos como axiomas, y nociones comunes. El segundo grupo consta de proposiciones, presentadas junto con demostraciones matemáticas y diagramas. Se desconoce si Euclid pretendía que los Elementos fueran un libro de texto, pero su método de presentación hace que encaje perfectamente. En su conjunto, la voz del autor sigue siendo general e impersonal.

Contenido

El Libro 1 de los Elementos es fundamental para todo el texto. Comienza con una serie de 20 definiciones de conceptos básicos conceptos geométricos como líneas, ángulos y varios polígonos regulares. Euclides luego presenta 10 supuestos (ver tabla, a la derecha), agrupados en cinco postulados (axiomas) y cinco nociones comunes. Estas suposiciones están destinadas a proporcionar la base lógica para cada teorema subsiguiente, es decir, servir como un sistema axiomático. Las nociones comunes se refieren exclusivamente a la comparación de magnitudes. Si bien los postulados del 1 al 4 son relativamente sencillos, el quinto se conoce como el postulado paralelo y es particularmente famoso. El Libro 1 también incluye 48 proposiciones, que se pueden dividir libremente en aquellas relacionadas con los teoremas básicos de la geometría plana (1–26); teorías sobre líneas paralelas (27–32); teorías sobre paralelogramos (33–45); y el teorema de Pitágoras (46–48). El último de ellos incluye la demostración más antigua que se conserva del teorema de Pitágoras, descrito por Sialaros como "notablemente delicado".

Tradicionalmente se entiende que el Libro 2 se relaciona con el álgebra geométrica, aunque esta interpretación ha sido muy debatida desde la década de 1970; los críticos describen la caracterización como anacrónica, ya que los fundamentos del álgebra incluso naciente se produjeron muchos siglos después. El segundo libro tiene un alcance más centrado y en su mayoría proporciona teoremas algebraicos para acompañar varias formas geométricas. El libro 3 se enfoca en los círculos, mientras que el cuarto trata sobre los polígonos regulares, especialmente el pentágono. El libro 5 se encuentra entre las secciones más importantes de la obra y presenta lo que suele denominarse como la "teoría general de la proporción". El libro 6 utiliza la "teoría de las proporciones" en el contexto de la geometría plana. Está construido casi en su totalidad a partir de su primera proposición: "Los triángulos y los paralelogramos que están bajo la misma altura son entre sí como sus bases".

Desde el Libro 7 en adelante, el matemático Benno Artmann [de] señala que " Euclides comienza de nuevo. No se utiliza nada de los libros anteriores. La teoría de números está cubierta por los libros 7 a 10, el primero comienza con un conjunto de 22 definiciones de paridad, números primos y otros conceptos relacionados con la aritmética. El libro 7 incluye el algoritmo de Euclides, un método para encontrar el máximo común divisor de dos números. El libro 8 trata sobre las progresiones geométricas, mientras que el libro 9 incluye una prueba de que hay una cantidad infinita de números primos.

De los Elementos, el libro 10 es, con mucho, el más grande y complejo, y trata con números irracionales en el contexto de magnitudes.

Los libros 11 a 13 tratan principalmente de geometría sólida.

Otros trabajos

La construcción de Euclid de un dodecaedro regular.

Además de los Elementos, al menos cinco obras de Euclides han sobrevivido hasta nuestros días. Siguen la misma estructura lógica que Elements, con definiciones y proposiciones probadas.

• Catótricas se refiere a la teoría matemática de los espejos, particularmente las imágenes formadas en los espejos planos y concave esféricos, aunque la atribución es cuestionada a veces.
• El Datos (Greek: Δεδομ), es un texto algo corto que trata de la naturaleza y las implicaciones de la información "dada" en problemas geométricos.
• On Divisions (Greek: Alternativamente) sobrevive sólo parcialmente en la traducción árabe, y se refiere a la división de figuras geométricas en dos o más partes iguales o en partes en proporciones dadas. Incluye treinta y seis proposiciones y es similar a Apolonio Conics.
• El Óptica (Greek: πτικλ) es el primer tratado griego sobre la perspectiva. Incluye una discusión introductoria de óptica geométrica y reglas básicas de perspectiva.
• El Phaenomena (Greek: Governingαινόμενα) es un tratado sobre la astronomía esférica, sobrevive en griego; es similar a Sobre la esfera en movimiento por Autolycus de Pitane, que floreció alrededor de 310 A.C.

Obras perdidas

Otras cuatro obras se atribuyen de manera creíble a Euclides, pero se han perdido.

• El Conics (Greek: Î) fue una encuesta de cuatro libros sobre secciones cónicas, que posteriormente fue superada por el tratamiento más completo de Apolonio del mismo nombre. La existencia de la obra es conocida principalmente por Pappus, quien afirma que los primeros cuatro libros de Apolonio Conics se basan principalmente en el trabajo anterior de Euclid. Doubt ha sido lanzado sobre esta afirmación por el historiador Alexander Jones[de], debido a la escasa evidencia y ninguna otra corroboración de la cuenta de Pappus.
• El Pseudaria (Greek: Ψεyouδιρρα; iluminado.'Fallacies'), era —según Proclus en (70.1-18)— un texto en razonamiento geométrico, escrito para aconsejar a los principiantes en evitar falacias comunes. Muy poco se conoce de su contenido específico aparte de su alcance y algunas líneas extantes.
• El Porisms (Greek: Alternativamente,.; iluminado.'Corollarios') fue, basado en cuentas de Pappus y Proclus, probablemente un tratado de tres libros con aproximadamente 200 propuestas. El término 'porismo' en este contexto no se refiere a un corolario, sino a "un tercer tipo de proposición —un intermediario entre un teorema y un problema— cuyo objetivo es descubrir una característica de una entidad geométrica existente, por ejemplo, encontrar el centro de un círculo". El matemático Michel Chasles especulaba que estas proposiciones ya perdidas incluían contenidos relacionados con las teorías modernas de la geometría transversal y proyectiva.
• El Surface Loci (Greek: فاررر ممم ممπ) es de contenidos prácticamente desconocidos, aparte de la especulación basada en el título del trabajo. Conjetura basada en cuentas posteriores ha sugerido que discutió conos y cilindros, entre otros temas.

Legado

La portada de la edición de color 1847 de Oliver Byrne Elementos

Euclides es generalmente considerado como uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, junto con Arquímedes y Apolonio de Perge. Muchos comentaristas lo citan como una de las figuras más influyentes en la historia de las matemáticas. El sistema geométrico establecido por los Elementos dominó durante mucho tiempo el campo; sin embargo, hoy en día ese sistema se suele denominar 'geometría euclidiana' para distinguirlo de otras geometrías no euclidianas descubiertas a principios del siglo XIX. Entre los muchos homónimos de Euclid se encuentran la nave espacial Euclid de la Agencia Espacial Europea (ESA), el cráter lunar Euclides y el planeta menor 4354 Euclides.

Los Elementos a menudo se consideran, después de la Biblia, como el libro más traducido, publicado y estudiado en la historia del mundo occidental. Con la Metafísica de Aristóteles, los Elementos es quizás el texto griego antiguo más exitoso, y fue el libro de texto matemático dominante en los mundos árabe medieval y latino.

La primera edición en inglés de los Elementos fue publicada en 1570 por Henry Billingsley y John Dee. El matemático Oliver Byrne publicó una conocida versión de los Elementos en 1847 titulada Los primeros seis libros de los elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos de colores en lugar de letras para mayor facilidad. of Learners, que incluía diagramas de colores destinados a aumentar su efecto pedagógico. David Hilbert fue autor de una axiomatización moderna de los Elementos.