Estabilidad marginal

En la teoría de sistemas dinámicos y teoría del control, un sistema lineal invariante en el tiempo es marginalmente estable si no es ni asintóticamente estable ni inestable. En términos generales, un sistema es estable si siempre regresa y permanece cerca de un estado particular (llamado estado estacionario), y es inestable si se aleja cada vez más de cualquier estado, sin estar acotado. Un sistema marginal, al que a veces se hace referencia como de estabilidad neutral, se encuentra entre estos dos tipos: cuando se desplaza, no regresa a un estado estacionario cercano a un común, ni se aleja de donde comenzó sin límite.

La estabilidad marginal, como la inestabilidad, es una característica que la teoría del control busca evitar; deseamos que, cuando se perturbe por alguna fuerza externa, un sistema vuelva a un estado deseado. Esto requiere el uso de algoritmos de control debidamente diseñados.

En econometría, la presencia de una raíz de unidad en la serie de tiempo observada, haciéndolos marginalmente estables, puede conducir a resultados de regresión inválidos respecto de los efectos de las variables independientes sobre una variable dependiente, a menos que se utilicen técnicas adecuadas para convertir el sistema a un sistema estable.

Tiempo continuo

Un sistema lineal continuo homogéneo invariante en el tiempo es marginalmente estable si y sólo si la parte real de cada polo (valor propio) en la función de transferencia del sistema no es positiva, uno o más polos tienen parte real cero , y todos los polos con parte real cero son raíces simples (es decir, los polos en el eje imaginario son todos distintos entre sí). Por el contrario, si todos los polos tienen partes reales estrictamente negativas, el sistema es asintóticamente estable. Si el sistema no es ni estable ni marginalmente estable, es inestable.

Si el sistema está en representación del espacio de estados, la estabilidad marginal se puede analizar derivando la forma normal de Jordan: si y sólo si los bloques de Jordan correspondientes a polos con parte real cero son escalares, el sistema es marginalmente estable.

Tiempo discreto

Un sistema homogéneo, discreto, lineal e invariante en el tiempo es marginalmente estable si y sólo si la mayor magnitud de cualquiera de los polos (valores propios) de la función de transferencia es 1, y los polos con magnitud igual a 1 son todos distintos. Es decir, el radio espectral de la función de transferencia es 1. Si el radio espectral es menor que 1, el sistema es asintóticamente estable.

Un ejemplo simple involucra una única ecuación en diferencias lineales de primer orden: supongamos que una variable de estado x evoluciona de acuerdo con

xt=axt− − 1{displaystyle x_{t}=ax_{t-1}

con parámetro a ■ 0. Si el sistema se perturbe al valor x0,{displaystyle x_{0},} su secuencia subsiguiente de valores es ax0,a2x0,a3x0,... ... .{displaystyle ax_{0},,a^{2}x_{0},,a^{3}x_{0},,dots.} Si a ■ 1, estos números se acercan más y más a 0 independientemente del valor inicial x0,{displaystyle x_{0},} mientras a 1 los números se hacen más grandes y más grandes sin límites. Pero si a = 1, los números no hacen ninguno de estos: en cambio, todos los valores futuros de x igual al valor x0.{displaystyle x_{0} Así es el caso a = 1 muestra estabilidad marginal.

Respuesta del sistema

Un sistema marginalmente estable es aquel que, si se le da un impulso de magnitud finita como entrada, no "explotará" y dará una salida ilimitada, pero tampoco la salida volverá a cero. Un desplazamiento u oscilaciones acotadas en la producción persistirán indefinidamente, por lo que en general no habrá una producción final en estado estacionario. Si a un sistema continuo se le da una entrada a una frecuencia igual a la frecuencia de un polo con parte real cero, la salida del sistema aumentará indefinidamente (esto se conoce como resonancia pura). Esto explica por qué para que un sistema sea BIBO estable, las partes reales de los polos tienen que ser estrictamente negativas (y no sólo no positivas).

Un sistema continuo que tiene polos imaginarios, es decir, que tiene una parte real cero en los polos, producirá oscilaciones sostenidas en la salida. Por ejemplo, un sistema de segundo orden no amortiguado, como el sistema de suspensión de un automóvil (un sistema masa-resorte-amortiguador), al que se le ha quitado el amortiguador y el resorte es ideal, es decir, donde no hay fricción, en teoría oscilará eternamente. una vez perturbado. Otro ejemplo es un péndulo sin fricción. Un sistema con un polo en el origen también es marginalmente estable pero en este caso no habrá oscilación en la respuesta ya que la parte imaginaria también es cero (jw = 0 significa w = 0 rad/seg). Un ejemplo de tal sistema es una masa sobre una superficie con fricción. Cuando se aplica un impulso lateral, la masa se moverá y nunca volverá a cero. Sin embargo, la masa quedará en reposo debido a la fricción y el movimiento lateral permanecerá limitado.

Dado que las ubicaciones de los polos marginales deben estar exactamente en el eje imaginario o círculo unitario (para sistemas de tiempo continuo y de tiempo discreto respectivamente) para que un sistema sea marginalmente estable, es poco probable que esta situación se produzca. ocurrir en la práctica a menos que la estabilidad marginal sea una característica teórica inherente al sistema.

Dinámica estocástica

La estabilidad marginal también es un concepto importante en el contexto de la dinámica estocástica. Por ejemplo, algunos procesos pueden seguir un recorrido aleatorio, dado en tiempo discreto como

xt=xt− − 1+et,{displaystyle x_{t}=x_{t-1}+e_{t}}

Donde et{displaystyle E_{t} es un término de error de i.i.d. Esta ecuación tiene una raíz de unidad (un valor de 1 para el valor eigenvalue de su ecuación característica), y por lo tanto exhibe estabilidad marginal, por lo que las técnicas especiales de la serie de tiempo deben ser utilizadas en modelar empíricamente un sistema que contiene tal ecuación.

Los procesos de Markov marginalmente estables son aquellos que poseen clases recurrentes nulas.