Espinor

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Representación no grave del grupo de espina dorsal; representa férulas en la física

Una espina dorsal visualizada como vector apuntando a lo largo de la banda Möbius, mostrando una inversión de signos cuando el círculo (el "sistema físico") se gira continuamente a través de un giro completo de 360°.

En geometría y física, los espinores son elementos de un espacio vectorial complejo que se puede asociar con el espacio euclidiano. Al igual que los vectores geométricos y los tensores más generales, los espinores se transforman linealmente cuando el espacio euclidiano se somete a una rotación leve (infinitesimal). A diferencia de los vectores y los tensores, un espinor se transforma en su negativo cuando el espacio gira continuamente en un giro completo de 0° a 360° (ver imagen). Esta propiedad caracteriza a los espinores: los espinores se pueden ver como las "raíces cuadradas" de vectores (aunque esto es inexacto y puede ser engañoso; es mejor verlos como "raíces cuadradas" de secciones de paquetes vectoriales; en el caso del paquete de álgebra exterior del paquete cotangente, se convierten en &# 34;raíces cuadradas" de formas diferenciales).

También es posible asociar una noción sustancialmente similar de espinor al espacio de Minkowski, en cuyo caso las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial desempeñan el papel de rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913. En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el momento angular intrínseco, o 'espín', del electrón y otras partículas subatómicas.

Los espinores se caracterizan por la forma específica en que se comportan bajo rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino también de los detalles de cómo se logró esa rotación (mediante una ruta continua en el grupo de rotación). Hay dos clases distinguibles topológicamente (clases de homotopía) de caminos a través de rotaciones que dan como resultado la misma rotación general, como se ilustra en el rompecabezas del truco del cinturón. Estas dos clases no equivalentes producen transformaciones de espinor de signo opuesto. El grupo de giro es el grupo de todas las rotaciones que realizan un seguimiento de la clase. Cubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos maneras no equivalentes como el punto final de un camino. El espacio de espinores por definición está equipado con una representación lineal (compleja) del grupo de espín, lo que significa que los elementos del grupo de espín actúan como transformaciones lineales en el espacio de espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía. En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO(3).

Aunque los espinores se pueden definir simplemente como elementos de un espacio de representación del grupo de espín (o su álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales), normalmente se definen como elementos de un espacio vectorial que lleva una representación lineal del álgebra de Clifford. El álgebra de Clifford es un álgebra asociativa que se puede construir a partir del espacio euclidiano y su producto interno de forma independiente de la base. Tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie están incrustados dentro del álgebra de Clifford de forma natural y, en las aplicaciones, el álgebra de Clifford suele ser el más fácil de trabajar. Un espacio de Clifford opera en un espacio espinor, y los elementos de un espacio espinor son espinores. Después de elegir una base ortonormal del espacio euclidiano, se genera una representación del álgebra de Clifford mediante matrices gamma, matrices que satisfacen un conjunto de relaciones canónicas de anticonmutación. Los espinores son los vectores columna sobre los que actúan estas matrices. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, las matrices de espín de Pauli son un conjunto de matrices gamma, y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices son espinores. Sin embargo, la representación matricial particular del álgebra de Clifford, de ahí lo que constituye precisamente un "vector de columna" (o espinor), implica la elección de matrices base y gamma de manera esencial. Como una representación del grupo de espín, esta realización de espinores como vectores de columna (complejos) será irreducible si la dimensión es impar, o se descompondrá en un par de los llamados "semiespín" o representaciones de Weyl si la dimensión es par.

Introducción

Una rotación gradual se puede visualizar como una cinta en el espacio. Dos rotaciones graduales con diferentes clases, una a 360° y una a 720° se ilustran aquí en el rompecabezas de trucos del cinturón. Una solución del rompecabezas es una manipulación continua de la correa, fijando los endpoints, que lo desengancha. Esto es imposible con la rotación de 360°, pero posible con la rotación de 720°. Una solución, mostrada en la segunda animación, da una homotopia explícita en el grupo de rotación entre la rotación de 720° y la rotación de identidad de 0°.

Un objeto adherido a cinturones o cadenas puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después del cubo completa una rotación de 360°, la espiral se revierte de su configuración inicial. Los cinturones vuelven a su configuración original después de girar un 720° completo.

Un ejemplo más extremo que demuestra que esto funciona con cualquier número de cuerdas. En el límite, una pieza de espacio continuo sólido puede girar en su lugar sin romperse ni intersecarse.

Lo que caracteriza a los espinores y los distingue de los vectores geométricos y otros tensores es sutil. Considere aplicar una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto en el sistema en sí se ha movido, solo las coordenadas, por lo que siempre habrá un cambio compensatorio en esos valores de coordenadas cuando se apliquen a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que sufrirán la misma rotación que las coordenadas. En términos más generales, cualquier tensor asociado con el sistema (por ejemplo, la tensión de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el propio sistema de coordenadas.

Los espinores no aparecen en este nivel de la descripción de un sistema físico, cuando uno se preocupa únicamente por las propiedades de una única rotación aislada de las coordenadas. Más bien, los espinores aparecen cuando imaginamos que en lugar de una sola rotación, el sistema de coordenadas rota gradualmente (continuamente) entre alguna configuración inicial y final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas ("tensoriales") asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo las coordenadas llegaron a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace sensibles a cómo llegó allí la rotación gradual de las coordenadas: exhiben dependencia de la trayectoria. Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay dos ("topológicamente") rotaciones graduales (continuas) no equivalentes del sistema de coordenadas que dan como resultado esta misma configuración.. Esta ambigüedad se denomina clase de homotopía de la rotación gradual. El rompecabezas del truco del cinturón (que se muestra) demuestra dos rotaciones diferentes, una a través de un ángulo de 2 $π$ y la otra a través de un ángulo de 4 $π$ , teniendo las mismas configuraciones finales pero diferentes clases. Los espinores en realidad exhiben una inversión de signo que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales puede sentir la clase.

Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos utilizando una selección de coordenadas cartesianas. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, los espinores se pueden construir eligiendo las matrices de espín de Pauli correspondientes a (momentos angulares sobre) los tres ejes de coordenadas. Estas son matrices de 2 × 2 con entradas complejas, y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices por multiplicación de matrices son los espinores. En este caso, el grupo de espín es isomorfo al grupo de matrices unitarias de 2×2 con determinante uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación sobre el espacio vectorial real formado por las propias matrices de Pauli, realizándolo como un conjunto de rotaciones entre ellas, pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, los espinores).

Más generalmente, un álgebra Clifford se puede construir desde cualquier espacio vectorial V equipado con una forma cuadrática (nodegenerada), como el espacio Euclidean con su producto de punto estándar o el espacio Minkowski con su métrica Lorentz estándar. El espacio de las espinas es el espacio de vectores de columna con $2^{lfloor dim V/2rfloor }$ componentes. El álgebra de Lie ortogonal (es decir, las "rotaciones" infinitesimal) y el grupo de spin asociado a la forma cuadrática son ambos (canicamente) contenidas en el álgebra Clifford, por lo que cada representación de álgebra Clifford también define una representación del álgebra Lie y el grupo de spin. Dependiendo de la dimensión y la firma métrica, esta realización de espinas como vectores de columna puede ser irreducible o puede descomponerse en un par de llamadas representaciones "half-spin" o Weyl. Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra es descrito por las matrices gamma.

Definición matemática

El espacio de espinores se define formalmente como la representación fundamental del álgebra de Clifford. (Esto puede o no descomponerse en representaciones irreducibles). El espacio de espinores también puede definirse como una representación de espín del álgebra de Lie ortogonal. Estas representaciones de espín también se caracterizan como representaciones proyectivas de dimensión finita del grupo ortogonal especial que no se factorizan a través de representaciones lineales. De manera equivalente, un espinor es un elemento de una representación de grupo de dimensión finita del grupo de espín en el que el centro actúa de manera no trivial.

Resumen

Esencialmente, existen dos marcos para ver la noción de un espinor.

Desde el punto de vista teórico de la representación, se sabe de antemano que hay algunas representaciones del álgebra de Lie del grupo ortogonal que no pueden ser formadas por las construcciones de tensor habituales. Estas representaciones perdidas son entonces etiquetadas representaciones de la columna, y sus constituyentes espinas. Desde esta vista, una espina dorsal debe pertenecer a una representación de la doble cubierta del grupo de rotación $mathbb{R}$ , o más generalmente de una doble cubierta del grupo ortogonal especial generalizado $mathbb{R}$ en espacios con firma métrica $() p, q)$ . Estas dobles cubiertas son grupos de Lie, llamados grupos de spin $Spin(n)$ o $Spin(p, q)$ . Todas las propiedades de las espinas, y sus aplicaciones y objetos derivados, se manifiestan primero en el grupo de giro. Las representaciones de las dobles cubiertas de estos grupos ofrecen representaciones proyectivas de doble valor de los propios grupos. (Esto significa que la acción de una rotación particular en los vectores en el espacio cuántico Hilbert sólo se define hasta un signo.)

En resumen, dada una representación especificada por los datos ${displaystyle (V,{text{Spin}}(p,q),rho)}$ Donde $V$ es un espacio vectorial sobre $K=mathbb {R}$ o $mathbb {C}$ y $rho$ es un homomorfismo ${displaystyle rho:{text{Spin}}(p,q)rightarrow {text{GL}}(V)}$ , a spinor es un elemento del espacio vectorial $V$ .

Desde un punto de vista geométrico, uno puede construir explícitamente los espinores y luego examinar cómo se comportan bajo la acción de los grupos de Lie relevantes. Este último enfoque tiene la ventaja de proporcionar una descripción concreta y elemental de lo que es un espinor. Sin embargo, tal descripción se vuelve difícil de manejar cuando se necesitan propiedades complicadas de los espinores, como las identidades de Fierz.

Álgebras de Clifford

El lenguaje de las álgebras de Clifford (a veces llamadas álgebras geométricas) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espín y las diversas relaciones entre esas representaciones, a través de la clasificación de las álgebras de Clifford. Elimina en gran medida la necesidad de construcciones ad hoc.

En detalle, dejemos V ser un espacio vectorial complejo finito con forma bilineal nodegenerada g. El álgebra Clifford $Cl(V, g)$ es el álgebra generada por V junto con la relación anticommutación $xy + Yx = 2 g () x, Sí.)$ . Es una versión abstracta del álgebra generada por las matrices gamma o Pauli. Si V = ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ , con la forma estándar $g () x, Sí.) x T Sí. = x 1 Sí. 1 +... + x n Sí. n$ denotamos el álgebra Clifford por Cl_n() $mathbb{C}$ ). Puesto que por la elección de una base ortonormal cada espacio vectorial complejo con forma no degenerada es isomorfo a este ejemplo estándar, esta notación es abusada más generalmente si $mathbb{C}$ . Si $n = 2 k$ es incluso, $mathbb{C}$ es isomorfo como un álgebra (de una manera no única) al álgebra $mathbb{C}$ de $2 k \times 2 k$ matrices complejas (por el teorema Artin-Wedderburn y el hecho fácil de probar que el álgebra Clifford es simple central). Si $n = 2 k + 1$ Es extraño. $mathbb{C}$ es isomorfo al álgebra $mathbb{C}$ de dos copias $2 k \times 2 k$ matrices complejas. Por lo tanto, en cualquier caso $Cl(V, g)$ tiene una representación irreducible única (hasta isomorfismo) (también llamada simple módulo Clifford), comúnmente denotado por Δ, de dimensión 2^[n/2]. Desde el álgebra de Lie $Así que... () V, g)$ está incrustado como un Subalgebra de Lie en $Cl(V, g)$ equipado con el conmutador de álgebra Clifford como soporte Lie, el espacio Δ es también una representación de álgebra Lie $Así que... () V, g)$ llamada representación de giro. Si n es extraño, esta representación del álgebra de Lie es irreducible. Si n es incluso, se divide más en dos representaciones irreducibles $Δ = Δ + \oplus Δ -$ llamado Weyl o medias representaciones.

Las representaciones irreducibles sobre los reales en el caso de que V sea un espacio vectorial real son mucho más complejas, y se remite al lector al artículo de álgebra de Clifford para obtener más detalles.

Grupos giratorios

La representación de la columna Δ es un espacio vectorial equipado con una representación del grupo de giro que no tiene en cuenta a través de una representación del grupo ortogonal (especial). Las flechas verticales representan una breve secuencia exacta.

Los espinores forman un espacio vectorial, generalmente sobre números complejos, equipado con una representación de grupo lineal del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (ver diagrama). El grupo de espín es el grupo de rotaciones que realiza un seguimiento de la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones porque ese grupo no es simplemente conexo, sino que el grupo de espín simplemente conexo es su doble cubierta. Entonces, para cada rotación, hay dos elementos del grupo de espín que lo representan. Los vectores geométricos y otros tensores no pueden sentir la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos opuestos cuando afectan a cualquier espinor bajo la representación. Pensando en los elementos del grupo de espín como clases de homotopía de familias de rotaciones de un parámetro, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de caminos a la identidad. Si una familia de rotaciones de un parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, siendo el parámetro de longitud de arco de esa cinta el parámetro (su marco tangente, normal, binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases distintas de homotopía se visualizan en los dos estados del rompecabezas del truco del cinturón (arriba). El espacio de espinores es un espacio vectorial auxiliar que se puede construir explícitamente en coordenadas, pero en última instancia solo existe hasta el isomorfismo en el que no hay un espacio "natural" construcción de ellos que no dependa de elecciones arbitrarias tales como sistemas de coordenadas. Una noción de espinores se puede asociar, como tal objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial equipado con una forma cuadrática, como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar, o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz. En este último caso, las "rotaciones" incluyen los aumentos de Lorentz, pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar.

Campos de espinor en física

Se puede pensar que las construcciones anteriores, en términos del álgebra de Clifford o la teoría de la representación, definen a los espinores como objetos geométricos en un espacio-tiempo de dimensión cero. Para obtener los espinores de la física, como el espinor de Dirac, se extiende la construcción para obtener una estructura de espín en un espacio-tiempo de 4 dimensiones (espacio de Minkowski). Efectivamente, uno comienza con la variedad tangente del espacio-tiempo, cada punto del cual es un espacio vectorial de 4 dimensiones con simetría SO(3,1), y luego construye el grupo de espín en cada punto. Las vecindades de puntos están dotadas de conceptos de suavidad y diferenciabilidad: la construcción estándar es la de un haz de fibras, cuyas fibras son espacios afines que se transforman bajo el grupo de espín. Después de construir el haz de fibras, se pueden considerar ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Dirac o la ecuación de Weyl en el haz de fibras. Estas ecuaciones (Dirac o Weyl) tienen soluciones que son ondas planas, que tienen simetrías características de las fibras, es decir que tienen las simetrías de los espinores, como se obtiene de la teoría (de dimensión cero) del álgebra de Clifford/representación de espín descrito arriba. Tales soluciones de ondas planas (u otras soluciones) de las ecuaciones diferenciales pueden llamarse propiamente fermiones; Los fermiones tienen las cualidades algebraicas de los espinores. Por convención general, los términos "fermion" y "espinor" a menudo se usan indistintamente en física, como sinónimos entre sí.

Parece que todas las partículas fundamentales en la naturaleza que son spin-1/2 son descritas por la ecuación Dirac, con la posible excepción del neutrino. No parece haber ninguna a priori por qué este sería el caso. Una opción perfectamente válida para las espinas sería la versión no complicada $mathbb{R}$ La espina dorsal Majorana. Tampoco parece haber ninguna prohibición particular de que las espinas Weyl aparezcan en la naturaleza como partículas fundamentales.

Los espinores de Dirac, Weyl y Majorana están interrelacionados y su relación se puede dilucidar sobre la base del álgebra geométrica real. Los espinores de Dirac y Weyl son representaciones complejas, mientras que los espinores de Majorana son representaciones reales.

Los espinores de Weyl son insuficientes para describir partículas masivas, como los electrones, ya que las soluciones de onda plana de Weyl viajan necesariamente a la velocidad de la luz; para partículas masivas, se necesita la ecuación de Dirac. La construcción inicial del modelo estándar de física de partículas comienza con el electrón y el neutrino como espinores de Weyl sin masa; el mecanismo de Higgs da a los electrones una masa; el neutrino clásico permaneció sin masa y, por lo tanto, fue un ejemplo de un espinor de Weyl. Sin embargo, debido a la oscilación de neutrinos observada, ahora se cree que no son espinores de Weyl, sino quizás espinores de Majorana. No se sabe si las partículas fundamentales de Weyl spinor existen en la naturaleza.

La situación para la física de la materia condensada es diferente: uno puede construir "espaciotiempos" en una gran variedad de diferentes materiales físicos, desde semiconductores hasta materiales mucho más exóticos. En 2015, un equipo internacional dirigido por científicos de la Universidad de Princeton anunció que había encontrado una cuasipartícula que se comporta como un fermión de Weyl.

Spinors en la teoría de la representación

Una aplicación matemática importante de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de representaciones lineales de las álgebras de Lie de los grupos ortogonales especiales y, en consecuencia, representaciones de espinores de los propios grupos. En un nivel más profundo, se ha descubierto que los espinores están en el centro de los enfoques del teorema del índice de Atiyah-Singer y proporcionan construcciones en particular para representaciones de series discretas de grupos semisimples.

Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones de tensor dadas por la construcción de Weyl por los pesos. Mientras que los pesos de las representaciones de tensor son combinaciones lineales enteras de las raíces del álgebra de Lie, las de las representaciones de espín son combinaciones lineales semienteras de las mismas. Los detalles explícitos se pueden encontrar en el artículo de representación de giro.

Intentos de comprensión intuitiva

El espinor se puede describir, en términos simples, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de una manera particular con las rotaciones en el espacio físico". Dicho de otra manera:

Spinors... proporciona una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número $n$ de dimensiones, cada espina dorsal $2^{nu }$ componentes $n=2nu +1$ o $2nu$ .

Se han formulado varias formas de ilustrar las analogías cotidianas en términos del truco de las placas, los tanloides y otros ejemplos de entrelazamiento de orientación.

Sin embargo, el concepto generalmente se considera notoriamente difícil de entender, como lo ilustra la declaración de Michael Atiyah relatada por el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:

Nadie entiende completamente las espinas. Su álgebra se entiende formalmente pero su significado general es misterioso. En cierto sentido describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, al igual que la comprensión de la raíz cuadrada de −1 tomó siglos, lo mismo podría ser verdad de las espinas.

Historia

Élie Cartan descubrió la forma matemática más general de los espinores en 1913. La palabra "spinor" fue acuñado por Paul Ehrenfest en su trabajo sobre física cuántica.

Los espinores se aplicaron por primera vez a la física matemática por Wolfgang Pauli en 1927, cuando introdujo sus matrices de espín. Al año siguiente, Paul Dirac descubrió la teoría completamente relativista del espín del electrón al mostrar la conexión entre los espinores y el grupo de Lorentz. En la década de 1930, Dirac, Piet Hein y otros en el Instituto Niels Bohr (entonces conocido como el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Copenhague) crearon juguetes como Tangloids para enseñar y modelar el cálculo de espinores.

Los espacios Spinor fueron representados como ideales izquierdos de un álgebra matriz en 1930, por G. Juvet y por Fritz Sauter. Más específicamente, en lugar de representar a las espinas como vectores de columna 2D de valor complejo como lo había hecho Pauli, los representaron como matrices de 2 × 2 de valor complejo en las que sólo los elementos de la columna izquierda no son cero. De esta manera el espacio de la espina dorsal se convirtió en un ideal izquierdo mínimo $mathbb{C}$ .

En 1947 Marcel Riesz construyó los espacios espínicos como elementos de un ideal izquierdo mínimo de álgebras Clifford. En 1966/1967, David Hestenes reemplazó los espacios de espina dorsal por el subalgebra Cl⁰_1,3() $mathbb{R}$ ) del álgebra espacial Cl_1,3() $mathbb{R}$ ). A partir de la década de 1980, el grupo teórico de física en Birkbeck College alrededor de David Bohm y Basil Hiley ha estado desarrollando enfoques algebraicos a la teoría cuántica que se basan en la identificación de Sauter y Riesz de espinas con ideales izquierdos mínimos.

Ejemplos

Algunos ejemplos simples de espinas en las dimensiones bajas surgen de considerar los subalgebras de grado uniforme del álgebra Clifford $mathbb{R}$ . Este es un álgebra construida desde una base ortonormal de $n = p + q$ vectores mutuamente ortogonales bajo adición y multiplicación, p de los cuales tienen norma +1 y q de los cuales tienen norma -1, con la regla del producto para la base vectores

{displaystyle e_{i}e_{j}={begin{cases}+1&i=j,,iin (1,ldotsp)\-1&i=j,,iin (p+1,ldotsn)\-e_{j}e_{i}&ineq j.end{cases}}}

Dos dimensiones

El álgebra de Clifford Cl_2,0() $mathbb{R}$ ) se construye desde una base de un escalar de unidad, 1, dos vectores de unidad ortogonal, σ₁ y σ₂, y una unidad pseudoscalar $i = σ 1 σ 2$ . De las definiciones anteriores, es evidente que $() σ 1) 2 = σ 2) 2 = 1$ , y $() σ 1 σ 2) σ 1 σ 2) = - σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 = 1 -$ .

El incluso subalgebra Cl⁰_2,0() $mathbb{R}$ ), azotado por incluso de grado elementos de base de Cl_2,0() $mathbb{R}$ ), determina el espacio de las espinas a través de sus representaciones. Se compone de combinaciones lineales reales de 1 y σ₁σ₂. Como álgebra real, Cl⁰_2,0() $mathbb{R}$ ) es isomorfo al campo de números complejos $mathbb{C}$ . Como resultado, admite una operación de conjugación (analógica a la conjugación compleja), a veces llamada la inversión de un elemento Clifford, definido por

{displaystyle (a+bsigma _{1}sigma _{2})^{*}=a+bsigma _{2}sigma _{1}.}

{displaystyle (a+bsigma _{1}sigma _{2})^{*}=a+bsigma _{2}sigma _{1}=a-bsigma _{1}sigma _{2}.}

La acción de un elemento incluso Clifford $mathbb{R}$ sobre vectores, considerados como elementos de 1 grado de Cl_2,0() $mathbb{R}$ ), se determina mediante la asignación de un vector general $u = a 1 σ 1 + a 2 σ 2$ al vector

{displaystyle gamma (u)=gamma ugamma ^{*},}

gamma^*

gamma

spinor

gamma

phi

{displaystyle gamma (phi)=gamma phi.}

Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, manifestada en cómo los elementos de grado par actúan sobre cada uno de ellos de diferentes maneras. En general, una revisión rápida de las relaciones de Clifford revela que los elementos de grado par conjugan-conmutan con los vectores ordinarios:

{displaystyle gamma (u)=gamma ugamma ^{*}=gamma ^{2}u.}

Por otro lado, en comparación con su acción en las espinas $gamma (phi)=gamma phi$ , la acción de $gamma$ en vectores ordinarios aparece como cuadrado de su acción en las espinas.

Considere, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones de los planos. Rotar un vector a través de un ángulo de θ corresponde a $γ 2 = exp(θ σ 1 σ 2)$ , de modo que la acción correspondiente sobre los espinores se realiza a través de $γ = \pm exp(θ σ 1 σ 2 /2). En general, debido a la ramificación logarítmica, es imposible elegir un signo de manera consistente. Por lo tanto, la representación de las rotaciones planas en los espinores tiene dos valores.$

En aplicaciones de espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que el álgebra de elementos de grado par (que es solo el anillo de números complejos) es idéntico al espacio de espinores. Entonces, por abuso del lenguaje, los dos a menudo se combinan. Entonces se puede hablar de "la acción de un espinor sobre un vector". En un entorno general, tales declaraciones no tienen sentido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (aplicadas, por ejemplo, a gráficos por computadora) tienen sentido.

Ejemplos

El elemento de grado uniforme ${displaystyle gamma ={tfrac {1}{sqrt {2}}}(1-sigma _{1}sigma _{2})}$ corresponde a una rotación vectorial de 90° desde σ₁ alrededor σ₂, que se puede comprobar confirmando que ${displaystyle {tfrac {1}{2}}(1-sigma _{1}sigma _{2}){a_{1}sigma _{1}+a_{2}sigma _{2}}(1-sigma _{2}sigma _{1})=a_{1}sigma _{2}-a_{2}sigma _{1}}$ Corresponde a una rotación de sólo 45°, sin embargo: ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2}}}(1-sigma _{1}sigma _{2}){a_{1}+a_{2}sigma _{1}sigma _{2}}={frac {a_{1}+a_{2}}{sqrt {2}}}+{frac {-a_{1}+a_{2}}{sqrt {2}}}sigma _{1}sigma _{2}}$
Del mismo modo el elemento de grado uniforme $γ = σ 1 σ 2$ corresponde a una rotación vectorial de 180°: ${displaystyle (-sigma _{1}sigma _{2}){a_{1}sigma _{1}+a_{2}sigma _{2}}(-sigma _{2}sigma _{1})=-a_{1}sigma _{1}-a_{2}sigma _{2}}$ pero una rotación de la espina dorsal de sólo 90°: ${displaystyle (-sigma _{1}sigma _{2}){a_{1}+a_{2}sigma _{1}sigma _{2}}=a_{2}-a_{1}sigma _{1}sigma _{2}}$
Continuando, el elemento de grado uniforme $γ = 1 -$ corresponde a una rotación vectorial de 360°: ${displaystyle (-1){a_{1}sigma _{1}+a_{2}sigma _{2}},(-1)=a_{1}sigma _{1}+a_{2}sigma _{2}}$ pero una rotación de la espina dorsal de 180°.

Tres dimensiones

El álgebra de Clifford Cl_3,0() $mathbb{R}$ ) se construye desde una base de un escalar de unidad, 1, tres vectores de unidad ortogonal, σ1, σ2 y σ3, los tres bivectores de unidad σ₁σ₂, σ₂σ₃, σ₃σ₁ y el pseudoscalar $i = σ 1 σ 2 σ 3$ . Es sencillo mostrar que $() σ 1) 2 = σ 2) 2 = σ 3) 2 = 1$ , y $() σ 1 σ 2) 2 = σ 2 σ 3) 2 = σ 3 σ 1) 2 = σ 1 σ 2 σ 3) 2 = 1 -$ .

La subálgebra de los elementos de grado uniforme se compone de dilataciones escalares,

{displaystyle u'=rho ^{left({frac {1}{2}}right)}urho ^{left({frac {1}{2}}right)}=rho u,}

{displaystyle u'=gamma ugamma ^{*},}

{displaystyle left.{begin{aligned}gamma &=cos left({frac {theta }{2}}right)-{a_{1}sigma _{2}sigma _{3}+a_{2}sigma _{3}sigma _{1}+a_{3}sigma _{1}sigma _{2}}sin left({frac {theta }{2}}right)\&=cos left({frac {theta }{2}}right)-i{a_{1}sigma _{1}+a_{2}sigma _{2}+a_{3}sigma _{3}}sin left({frac {theta }{2}}right)\&=cos left({frac {theta }{2}}right)-ivsin left({frac {theta }{2}}right)end{aligned}}right}}

()1)

corresponde a un vector de rotación de un ángulo θ alrededor de un eje definido por un vector unitario $v = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 + a 3 σ 3$ .

Como caso especial, es fácil ver que, si $v = σ 3$ , esto reproduce la rotación σ₁σ₂ considerada en el apartado anterior; y que dicha rotación deja invariantes los coeficientes de los vectores en la dirección σ₃, ya que

{displaystyle left[cos left({frac {theta }{2}}right)-isigma _{3}sin left({frac {theta }{2}}right)right]sigma _{3}left[cos left({frac {theta }{2}}right)+isigma _{3}sin left({frac {theta }{2}}right)right]=left[cos ^{2}left({frac {theta }{2}}right)+sin ^{2}left({frac {theta }{2}}right)right]sigma _{3}=sigma _{3}.}

Los bivectores σ₂σ₃, σ₃σ₁ y σ₁σ₂ son de hecho los cuaterniones i, j y k de Hamilton, descubiertos en 1843:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {i} &=-sigma _{2}sigma _{3}=-isigma _{1}\mathbf {j} &=-sigma _{3}sigma _{1}=-isigma _{2}\mathbf {k} &=-sigma _{1}sigma _{2}=-isigma _{3}end{aligned}}}

Con la identificación de los elementos de grado uniforme con el álgebra $mathbb {H}$ de las cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones la única representación del álgebra de elementos de grado uniforme está en sí misma. Así, las espinas (real) en tres-dimensiones son cuaternones, y la acción de un elemento de grado uniforme en una espina dorsal es dada por la multiplicación cuaternión ordinaria.

Tenga en cuenta que la expresión (1) para un vector de rotación a través de un ángulo $θ$ , el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad. Por lo tanto, la rotación del espinor $γ (ψ) = γψ$ (multiplicación cuaterniónica ordinaria) rotará el espinor $ψ$ a través de un ángulo de la mitad de la medida del ángulo del vector de rotación correspondiente. Una vez más, el problema de elevar una rotación vectorial a una rotación espinora tiene dos valores: la expresión (1) con $(180° + θ /2)$ en lugar de θ/2 producirá el mismo vector de rotación, pero el negativo de la rotación del espinor.

La representación espinor/cuaternión de las rotaciones en 3D es cada vez más frecuente en la geometría informática y otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espín correspondiente y la simplicidad con la que se pueden multiplicar para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes.

Construcciones explícitas

Un espacio de espinores se puede construir explícitamente con construcciones concretas y abstractas. Él la equivalencia de estas construcciones es consecuencia de la unicidad de la representación espinora del álgebra de Clifford compleja. Para ver un ejemplo completo en dimensión 3, consulte espinores en tres dimensiones.

Componente espinores

Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g una representación de matriz explícita del álgebra Clifford $Cl(V, g)$ puede definirse como sigue. Elija una base ortonormal $e 1 ... e n$ para V i.e. $g () e μ e .) . μ$ Donde $. μ = \pm1$ y $. μ = 0$ para $μ ل .$ . Vamos $k = n /2⌋$ . Arregla un conjunto de $2 k \times 2 k$ matrices $γ 1 ... γ n$ tales que $γ μ γ . + γ . γ μ = 2 . μ 1$ (es decir, fijar una convención para las matrices gamma). Entonces la asignación $e μ \to γ μ$ se extiende singularmente a un homomorfismo álgebra $mathbb{C}$ enviando el monomial $e μ 1 \cdot\cdot e μ k$ en el álgebra Clifford al producto $γ μ 1 \cdot\cdot γ μ k$ de matrices y extender linealmente. El espacio ${displaystyle Delta =mathbb {C} ^{2^{k}}}$ en el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinas. Sin embargo, hay que construir esas matrices explícitamente. En la dimensión 3, la definición de las matrices gamma para ser las matrices de sigma Pauli da lugar a las dos columnas componentes conocidas utilizadas en la mecánica cuántica no relativista. Asimismo, usando el $4 \times 4$ Dirac gamma matrices da lugar a los 4 componentes Dirac spinors usados en 3+1 dimensional relativistic quantum field theory. En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se puede utilizar las matrices Weyl-Brauer.

En esta construcción la representación del álgebra de Clifford $Cℓ(V, g)$ , el álgebra de Lie $so (V, g)$ , y el grupo Spin $Spin(V, g)$ , todo depende de la elección de la base ortonormal y de la elección de las matrices gamma. Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero las invariantes como las trazas son independientes de las elecciones. En particular, todas las cantidades observables físicamente deben ser independientes de tales elecciones. En esta construcción, un espinor se puede representar como un vector de 2^k números complejos y se denota con índices de espinor (normalmente α, β, γ). En la literatura de física, tales índices se usan a menudo para denotar espinores incluso cuando se usa una construcción de espinores abstracta.

Espinores abstractos

Hay al menos dos formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir los espinores de forma abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción izquierda de $Cℓ(V, g)$ sobre sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma $Cℓ(V, g) ω$ , admitiendo la acción evidente de $Cℓ(V, g)$ por multiplicación por la izquierda: $c : xω \to cxω$ . Hay dos variaciones sobre este tema: uno puede encontrar un elemento primitivo $ω$ que es un elemento nilpotente del álgebra de Clifford, o uno que es un idempotente La construcción a través de elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que a partir de ella se puede producir un idempotente. De esta forma, las representaciones espinoriales se identifican con ciertos subespacios del propio álgebra de Clifford. El segundo enfoque es construir un espacio vectorial utilizando un subespacio distinguido de $V$ , y luego especificar la acción del álgebra de Clifford externamente a ese espacio vectorial.

En cualquier enfoque, la noción fundamental es la de un subespacio isotrópico $W$ . Cada construcción depende de una libertad inicial en la elección de este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no existe un protocolo de medición que pueda especificar una base del espacio de espín, incluso si una base preferida de $V$ se da.

Como arriba, dejamos que $() V, g)$ ser un $n$ -dimensional complejo espacio vectorial equipado con una forma bilineal nondegenerada. Si $V$ es un espacio vectorial real, entonces reemplazamos $V$ por su complejidad ${displaystyle Votimes _{mathbb {R} }mathbb {C} }$ y dejar $g$ denota la forma bilineal inducida ${displaystyle Votimes _{mathbb {R} }mathbb {C} }$ . Vamos $W$ ser un subespacio isotrópico maximal, es decir, un subespacio maximal $V$ tales que $g Silencio W = 0$ . Si $n = 2 k$ es incluso, entonces deja $W .$ ser un subespacio isotrópico complementario $W$ . Si $n = 2 k + 1$ es extraño, vamos $W .$ ser un subespacio isotrópico maximal $W \cap W . = 0$ , y dejar $U$ ser el complemento ortogonal de $W \oplus W .$ . En los casos, incluso y extradimensional $W$ y $W .$ dimensión $k$ . En el caso extraño, $U$ es una dimensión, abarcada por un vector de unidad $u$ .

Ideales mínimos

Dado que W′ es isótropo, la multiplicación de elementos de W′ dentro de $Cℓ(V, g)$ está sesgado. Por lo tanto, los vectores en W′ anticonmutación y $Cℓ(W', g | W') = Cℓ(W', 0)$ es solo el álgebra exterior Λ^∗W′. En consecuencia, el producto k-fold de W′ consigo mismo, W′^k, es uno -dimensional. Sea ω un generador de W′^k. En términos de una base $w' 1,..., w' k$ de en W′, una posibilidad es establecer

{displaystyle omega =w'_{1}w'_{2}cdots w'_{k}.}

Tenga en cuenta que $ω 2 = 0$ (es decir, ω es nilpotente de orden 2), y además, $w' ω = 0$ para todos los $w' \in W'$ . Los siguientes hechos pueden probarse fácilmente:

Si $n = 2 k$ , entonces el ideal izquierdo $Δ = Cl(V, g) \cdot$ es un ideal izquierdo mínimo. Además, esto se divide en los dos espacios de giro $Δ + = Cl incluso \cdot$ y $Δ - = Cl extraño \cdot$ sobre restricción a la acción del álgebra incluso Clifford.
Si $n = 2 k + 1$ , entonces la acción de la unidad vector u en el ideal izquierdo $Cl(V, g) \cdot$ descompone el espacio en un par de eigenes irreducibles isomorfos (ambos denotados por Δ), correspondientes a los eigenvalues respectivos +1 y −1.

En detalle, supongamos por ejemplo que n es par. Suponga que I es un ideal izquierdo distinto de cero contenido en $Cℓ(V, g) ω$ . Mostraremos que I debe ser igual a $Cℓ(V, g) ω$ demostrando que contiene un múltiplo escalar distinto de cero de ω.

Fijar una base w_i de W y una base complementaria w _i′ de W′ entonces eso

w_iw_j′ +w_j.w_i = δ_ij, y

()w_i)² = 0, (w_i′)² = 0.

Tenga en cuenta que cualquier elemento de I debe tener la forma αω, en virtud de nuestra suposición de que $I \subset Cℓ(V, g) ω$ . Sea $αω \in I$ cualquiera de esos elementos. Usando la base elegida, podemos escribir

<math alttext="{displaystyle alpha =sum _{i_{1}<i_{2}<cdots α α =.. i1.i2.⋯ ⋯ .ipai1...... ipwi1⋯ ⋯ wip+.. jBjwj.{displaystyle alpha =sum - ¿Qué? ♪♪ {p}a_{i_{1}dots ¿Qué? w_{i_{p}+sum ¿Qué?<img alt="{displaystyle alpha =sum _{i_{1}<i_{2}<cdots

a_{i₁...i_p}B_j $<math alttext="{displaystyle alpha omega =sum _{i_{1}<i_{2}<cdots α α ⋅ ⋅ =.. i1.i2.⋯ ⋯ .ipai1...... ipwi1⋯ ⋯ wip⋅ ⋅ .{displaystyle alpha omega = - ¿Qué? ♪♪ {p}a_{i_{1}dots ¿Qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle alpha omega =sum _{i_{1}<i_{2}<cdots$ aαw_i ${displaystyle a=a_{i_{1}dots i_{text{max}}}w_{i_{1}}dots w_{i_{text{max}}}}$ ${displaystyle w'_{i_{text{max}}}cdots w'_{i_{1}}alpha omega =a_{i_{1}dots i_{text{max}}}omega }$ ⋅
Tenga en cuenta que incluso para n, este cálculo también muestra que
${displaystyle Delta =mathrm {C} ell (W)omega =left(Lambda ^{*}Wright)omega }$ WW⋅
Construcción de álgebra exterior
Los cálculos con la construcción ideal mínima sugieren que una representación del espinor puede también puede definirse directamente usando el álgebra exterior $Λ * W = \oplus j Λ j W$ del subespacio isótropo W. Deje que $Δ = Λ * W$ denote el álgebra exterior de W considerado solo como espacio vectorial. Esta será la representación de espín, y sus elementos se denominarán espinores.
La acción del álgebra de Clifford sobre Δ se define primero dando la acción de un elemento de V sobre Δ, y luego mostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y, por lo tanto, se extiende a un homomorfismo de el álgebra de Clifford completa en el anillo de endomorfismo End(Δ) por la propiedad universal de las álgebras de Clifford. Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.
Cuando dim( $V$ ) es par, $V = W \oplus W'$ donde W′ es el complemento isotrópico elegido. Por lo tanto, cualquier $v \in V$ se descompone únicamente como $v = w + w'$ con $w \in W$ y $w' \in W'$ . La acción de $v$ sobre un espinor está dada por
${displaystyle c(v)w_{1}wedge cdots wedge w_{n}=left(epsilon (w)+ileft(w'right)right)left(w_{1}wedge cdots wedge w_{n}right)}$ iw.w.VV^AlternativaεwProducto Clifford ${displaystyle c(u),c(v)+c(v),c(u)=2,g(u,v),,}$ $c$
La representación de espín Δ se descompone aún más en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo de espín (las representaciones de medio espín o espinores de Weyl) a través de
${displaystyle Delta _{+}=Lambda ^{text{even}}W,,Delta _{-}=Lambda ^{text{odd}}W.}$
Cuando dim(V) es impar, $V = W \oplus U \oplus W'$ , donde U es atravesado por un vector unitario u ortogonal a W. La acción de Clifford c se define como antes en $W \oplus W'$ , mientras que la acción de Clifford la acción de (múltiplos de) u está definida por
${displaystyle c(u)alpha ={begin{cases}alpha &{hbox{if }}alpha in Lambda ^{text{even}}W\-alpha &{hbox{if }}alpha in Lambda ^{text{odd}}Wend{cases}}}$ c
Espacio vectorial hermitiano y espinores
Si el espacio vectorial V tiene una estructura adicional que proporciona una descomposición de su complejidad en dos subespacios isotrópicos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquier método) se vuelve natural.
El ejemplo principal es el caso de que el espacio vectorial real V es un espacio vectorial hermitiano $() V, h)$ , es decir, V está equipado con una estructura compleja J que es una transformación ortogonal con respecto al producto interior g on V. Entonces... ${displaystyle Votimes _{mathbb {R} }mathbb {C} }$ divisiones en las $\pm i$ eigenspaces of J. Estos eigenspaces son isotrópicos para la complejidad de g y se puede identificar con el complejo espacio vectorial $() V, J)$ y su complejo conjugado $() V, - J)$ . Por lo tanto, para un espacio vectorial hermitiano $() V, h)$ el espacio vectorial ${displaystyle Lambda _{mathbb {C} }^{cdot }{bar {V}}}$ (así como su complejo conjugado ${displaystyle Lambda _{mathbb {C} }^{cdot }V}$ es un espacio espinal para el espacio vectorial euclidiano real subyacente.
Con la acción de Clifford como la anterior pero con la contracción usando la forma hermítica, esta construcción da un espacio spinor en cada punto de una variedad casi hermítica y es la razón por la cual cada variedad casi compleja (en particular cada variedad simpléctica) tiene un Spinc estructura. Del mismo modo, todo paquete vectorial complejo en una variedad tiene una estructura Spin^c.
Descomposición de Clebsch-Gordan
Varias descomposiciones de Clebsch-Gordan son posibles en el producto tensorial de una representación de espín con otra. Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.
Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son
$. r = r V$ , la representación del grupo ortogonal en tensores de punta r.
Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres caracteres (representaciones unidimensionales)
σ₊Op,q) → {−1, +1} dado por $σ + (R) = -1$ , si R invierte la orientación espacial de V, +1, si R preserva la orientación espacial V. ()El carácter espacial.)
σ₋Op,q) → {−1, +1} dado por $σ - (R) = -1$ , si R revierte la orientación temporal V, +1, si R preserva la orientación temporal V. ()El carácter temporal.)
σ = σ₊σ₋. (El carácter de orientación.)
La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas:
Una acción de espinas en vectores.
Una métrica hermitiana sobre las representaciones complejas de los grupos de giro reales.
Un operador de Dirac en cada representación de giro.
Dimensiones pares
Si $n = 2 k$ es par, entonces el producto tensorial de Δ con la representación contragrediente se descompone como
${displaystyle Delta otimes Delta ^{*}cong bigoplus _{p=0}^{n}Gamma _{p}cong bigoplus _{p=0}^{k-1}left(Gamma _{p}oplus sigma Gamma _{p}right)oplus Gamma _{k}}$ $αω \otimes βω .$ $. p \oplus σ . p$
Existe una identificación natural de Δ con su representación contragrediente a través de la conjugación en el álgebra de Clifford:
${displaystyle (alpha omega)^{*}=omega left(alpha ^{*}right).}$ $Δ \otimes Δ$ ${displaystyle {begin{aligned}Delta _{+}otimes Delta _{+}^{*}cong Delta _{-}otimes Delta _{-}^{*}&cong bigoplus _{p=0}^{k}Gamma _{2p}\Delta _{+}otimes Delta _{-}^{*}cong Delta _{-}otimes Delta _{+}^{*}&cong bigoplus _{p=0}^{k-1}Gamma _{2p+1}end{aligned}}}$
Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la estructura de realidad asociada en el álgebra de Clifford compleja desciende al espacio de espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta forma, obtenemos el conjugado complejo Δ de la representación Δ, y se ve que se cumple el siguiente isomorfismo:
${displaystyle {bar {Delta }}cong sigma _{-}Delta ^{*}}$
En particular, tenga en cuenta que la representación Δ del grupo de espín ortocrónico es una representación unitaria. En general, hay descomposiciones de Clebsch-Gordan
${displaystyle Delta otimes {bar {Delta }}cong bigoplus _{p=0}^{k}left(sigma _{-}Gamma _{p}oplus sigma _{+}Gamma _{p}right).}$
En la firma métrica $(p, q)$ , los siguientes isomorfismos son válidos para las representaciones conjugadas de medio giro
Si q es incluso, entonces ${displaystyle {bar {Delta }}_{+}cong sigma _{-}otimes Delta _{+}^{*}}$ y ${displaystyle {bar {Delta }}_{-}cong sigma _{-}otimes Delta _{-}^{*}.}$
Si q es extraño, entonces ${displaystyle {bar {Delta }}_{+}cong sigma _{-}otimes Delta _{-}^{*}}$ y ${displaystyle {bar {Delta }}_{-}cong sigma _{-}otimes Delta _{+}^{*}.}$
Usando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio espín $Δ \pm \otimes Δ \pm$ .
Dimensiones impares
Si $n = 2 k + 1$ es impar, entonces
${displaystyle Delta otimes Delta ^{*}cong bigoplus _{p=0}^{k}Gamma _{2p}.}$ ${displaystyle {bar {Delta }}cong sigma _{-}Delta ^{*}.}$ ${displaystyle Delta otimes {bar {Delta }}cong sigma _{-}Gamma _{0}oplus sigma _{+}Gamma _{1}oplus dots oplus sigma _{pm }Gamma _{k}}$
Consecuencias
Hay muchas consecuencias de largo alcance de las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios espinores. Los más fundamentales pertenecen a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran
Una manera de ver el producto de dos espinas φ↑ como un cuero cabelludo. En términos físicos, una espina dorsal debe determinar una amplitud de probabilidad para el estado cuántico.
A manner of regarding the product ↑φ como vector. Esta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo de la espina dorsal a la geometría del espacio físico.
Una manera de considerar una espina dorsal como actuando en un vector, por una expresión como Descubriv↑. En términos físicos, esto representa una corriente eléctrica de la teoría electromagnética de Maxwell, o más generalmente una corriente de probabilidad.
Resumen en dimensiones bajas
En 1 dimensión (un ejemplo trivial), la representación de una sola espina dorsal es formalmente Majorana, una representación real de 1 dimensión que no se transforma.
En 2 dimensiones euclidianas, la columna izquierda y la columna derecha de Weyl son representaciones complejas de un componente, es decir, números complejos que se multiplican por e^±iφ/2 bajo una rotación por ángulo φ.
En 3 dimensiones euclidianas, la representación de una sola espina dorsal es 2-dimensional y cuaterniónica. La existencia de espinas en 3 dimensiones se deriva del isomorfismo de los grupos $SU(2) beneficie Spin(3)$ que nos permite definir la acción de Spin(3) en una compleja columna de 2 componentes (una espina dorsal); los generadores de SU(2) pueden ser escritos como matrices Pauli.
En 4 dimensiones euclidianas, el isomorfismo correspondiente es $Spin(4) Г SU(2) \times SU(2)$ . Hay dos espinas cuaternónicas inequivalentes de 2 componentes y cada uno de ellos se transforma bajo uno de los factores SU(2) solamente.
En 5 dimensiones euclidianas, el isomorfismo relevante es $Spin(5) Alternativa USp(4)$ que implica que la representación de una sola espina dorsal es 4-dimensional y quaternionica.
En 6 dimensiones euclidianas, el isomorfismo $Spin(6) Г SU(4)$ garantías de que hay dos complejos dimensionales Representaciones de Weyl que son conjugados complejos unos de otros.
En 7 dimensiones euroclidianas, la representación de una sola espina dorsal es 8-dimensional y real; no hay isomorfismos a un álgebra Lie de otra serie (A o C) existen desde esta dimensión en.
En 8 dimensiones euclidianas, hay dos representaciones reales Weyl-Majorana de 8 dimensiones que están relacionadas con la representación vectorial real de 8 dimensiones por una propiedad especial de Spin(8) llamada trialidad.
In $d + 8$ dimensiones, el número de representaciones irreducibles y su realidad (si son reales, seudoreales o complejas) imita la estructura en d dimensiones, pero sus dimensiones son 16 veces mayores; esto permite comprender todos los casos restantes. Véase la periodicidad Bott.
En tiempo espacial con p espacial y q direcciones similares al tiempo, las dimensiones vistas como dimensiones sobre los números complejos coinciden con el caso del $() p + q)$ -dimensional Espacio euclidiano, pero las proyecciones de la realidad imitan la estructura en $Silencio p - q Silencio$ Dimensiones euclidianas. Por ejemplo, en $3 + 1$ hay dos dimensiones no equivalentes Complejo Weyl (como en 2 dimensiones) Espinas 2-componentes (como en 4 dimensiones) que se derivan del isomorfismo $mathbb{C}$ .
Firma métrica Weyl, complex Conjugación Dirac,
complejo Majorana-Weyl, real Majorana,
real
Mano izquierda Mano derecha Mano izquierda Mano derecha
(2,0) 1 1 Mutual 2 – – 2
(1,1) 1 1 Yo 2 1 1 2
(3,0) – – – 2 – – –
(2,1) – – – 2 – – 2
(4,0) 2 2 Yo 4 – – –
(3,1) 2 2 Mutual 4 – – 4
(5,0) – – – 4 – – –
(4,1) – – – 4 – – –
(6,0) 4 4 Mutual 8 – – 8
(5,1) 4 4 Yo 8 – – –
(7,0) – – – 8 – – 8
(6,1) – – – 8 – – –
(8,0) 8 8 Yo 16 8 8 16
(7,1) 8 8 Mutual 16 – – 16
(9.0) – – – 16 – – 16
(8,1) – – – 16 – – 16

Firma métrica	Weyl, complex	Conjugación	Dirac, complejo	Majorana-Weyl, real	Majorana, real
Mano izquierda	Mano derecha	Mano izquierda	Mano derecha
(2,0)	1	1	Mutual	2	–	–	2
(1,1)	1	1	Yo	2	1	1	2
(3,0)	–	–	–	2	–	–	–
(2,1)	–	–	–	2	–	–	2
(4,0)	2	2	Yo	4	–	–	–
(3,1)	2	2	Mutual	4	–	–	4
(5,0)	–	–	–	4	–	–	–
(4,1)	–	–	–	4	–	–	–
(6,0)	4	4	Mutual	8	–	–	8
(5,1)	4	4	Yo	8	–	–	–
(7,0)	–	–	–	8	–	–	8
(6,1)	–	–	–	8	–	–	–
(8,0)	8	8	Yo	16	8	8	16
(7,1)	8	8	Mutual	16	–	–	16
(9.0)	–	–	–	16	–	–	16
(8,1)	–	–	–	16	–	–	16

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