Espacio vectorial

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Espacio vectorial (o espacio lineal) es el conjunto formado por todos los elementos producto de una operación escalar (suma o multiplicación) entre dos conjuntos previos de vectores, y que satisfacen ciertos requisitos llamados axiomas vectoriales. En otras palabras, el espacio vectorial es el conjunto creado al escalar x en y.

Las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales. Suele denominarse a uno de los dos conjuntos que dan origen al espacio vectorial: vectores, y al otro conjunto que permite sumarlos y multiplicarlos ("escalarlos") se les denomina: escalares. Los escalares suelen ser números reales, pero pueden ser números complejos o, de manera más general, elementos de cualquier campo. Los términos espacio vectorial real y espacio vectorial complejo se utilizan a menudo para especificar la naturaleza de los escalares.

HSD

Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos, que permiten modelar cantidades físicas, como fuerzas y velocidades, que no solo tienen una magnitud, sino también una dirección. El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal, junto con el concepto de matriz, que permite calcular en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética para manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión, que, en términos generales, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales con la misma dimensión, las propiedades que dependen únicamente de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente, los espacios vectoriales son isomorfos). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural. De lo contrario, es de dimensión infinita y su dimensión es un cardinal infinito. Los espacios vectoriales de dimensión finita ocurren naturalmente en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales de dimensión infinita ocurren en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinómicos son espacios vectoriales numerables de dimensión infinita, y muchos espacios de funciones tienen la cardinalidad del continuo como dimensión.

Muchos espacios vectoriales que se consideran en matemáticas también están dotados de otras estructuras. Este es el caso de las álgebras, que incluyen extensiones de campos, anillos de polinomios, álgebras asociativas y álgebras de Lie. Este también es el caso de los espacios vectoriales topológicos, que incluyen espacios de funciones, espacios de productos internos, espacios normados, espacios de Hilbert y espacios de Banach.

Definición y propiedades básicas

De forma sencilla, un espacio vectorial representa un conjunto de elementos dentro del rango formado por dos vectores, es decir, a todos los elementos posibles entre cada uno de dichos vectores representados en un plano cartesiano.
Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V junto con dos operaciones binarias que satisfacen los ocho axiomas enumerados a continuación. En este contexto, los elementos de V se denominan comúnmente vectores y los elementos de F se denominan escalares.

La primera operación, llamada suma de vectores o simplemente suma, asigna a dos vectores cualesquiera v y w en V un tercer vector en V que se escribe comúnmente como v + w y se llama la suma de estos dos vectores.
La segunda operación, llamada multiplicación escalar, asigna a cualquier escalar a en F ya cualquier vector v en V otro vector en V, que se denota como v.

Para tener un espacio vectorial estas dos operaciones deben satisfacer los ocho axiomas siguientes que deben cumplirse para todo u, v y w en V, y a y b en F.

Espacio vectorial en w y 2w, representando la adición de espacio vectorial

Cuando el campo escalar son los números reales, el espacio vectorial se denomina espacio vectorial real. Cuando el campo escalar son los números complejos, el espacio vectorial se denomina espacio vectorial complejo. Estos dos casos son los más comunes, pero también se consideran comúnmente espacios vectoriales con escalares en un campo arbitrario F. Este espacio vectorial se denomina espacio vectorial F o espacio vectorial sobre F.

Se puede dar una definición equivalente de un espacio vectorial, que es mucho más concisa pero menos elemental: los primeros cuatro axiomas dicen que un espacio vectorial es un grupo abeliano bajo suma, y los cuatro axiomas restantes dicen que la multiplicación escalar define un homomorfismo de anillos. del campo F al anillo de endomorfismo de este grupo.

Conceptos y propiedades relacionados

Combinación linealDado un conjunto G de elementos de un F -espacio vectorial V, una combinación lineal de elementos de G es un elemento de V de la forma

{displaystyle a_{1}mathbf {g}_{1}+a_{2}mathbf {g}_{2}+cdots +a_{k}mathbf {g}_{k},}

donde ${displaystyle a_{1},ldots,a_{k}in F}$ y ${displaystyle mathbf {g} _{1},ldots,mathbf {g} _{k}en V.}$ Los escalares $a_{1},ldots,a_{k}$ se denominan coeficientes de la combinación lineal.Independencia linealSe dice que el elemento de un subconjunto G de un espacio vectorial F V es linealmente independiente, si ningún elemento de G puede escribirse como una combinación lineal de los otros elementos de G. De manera equivalente, son linealmente independientes si dos combinaciones lineales de elementos de G definen el mismo elemento de V si y solo si tienen los mismos coeficientes. De manera equivalente también, son linealmente independientes si una combinación lineal da como resultado el vector cero si y solo si todos sus coeficientes son cero.subespacio linealUn subespacio lineal o subespacio vectorial W de un espacio vectorial V es un subconjunto no vacío de V que se cierra bajo la suma vectorial y la multiplicación escalar; es decir, la suma de dos elementos de W y el producto de un elemento de V por un escalar pertenecen a W. Esto implica que toda combinación lineal de elementos de W pertenece a W. Un subespacio lineal es un espacio vectorial para la suma inducida y la multiplicación escalar; esto significa que la propiedad de clausura implica que se satisfacen los axiomas de un espacio vectorial.La propiedad de clausura implica también quecada intersección de subespacios lineales es un subespacio lineal.Tramo linealDado un subconjunto G de un espacio vectorial V, el tramo lineal o simplemente el tramo de G es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a G, en el sentido de que es la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a G. El lapso de G es también el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de G.Si W es la amplitud de G, se dice que G genera o genera W, y que G es un conjunto generador o unconjunto generador de W.Base y dimensiónUn subconjunto de un espacio vectorial es una base si sus elementos son linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. Cada espacio vectorial tiene al menos una base, generalmente muchas (ver Base (álgebra lineal) § Prueba de que todo espacio vectorial tiene una base). Además, todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, lo que se denomina dimensión del espacio vectorial (ver Teorema de la dimensión para espacios vectoriales). Esta es una propiedad fundamental de los espacios vectoriales, que se detalla en el resto de la sección.

Las bases son una herramienta fundamental para el estudio de espacios vectoriales, especialmente cuando la dimensión es finita. En el caso de dimensión infinita, la existencia de bases infinitas, a menudo llamadas bases de Hamel, depende del axioma de elección. De ello se deduce que, en general, ninguna base puede describirse explícitamente. Por ejemplo, los números reales forman un espacio vectorial de dimensión infinita sobre los números racionales, para el cual no se conoce una base específica.

Consideremos una base ${displaystyle (mathbf {b}_{1},mathbf {b}_{2},ldots,mathbf {b}_{n})}$ de un espacio vectorial V de dimensión n sobre un campo F. La definición de una base implica que todo ${ estilo de visualización mathbf {v} en V}$ puede escribirse ${displaystyle mathbf {v} =a_{1}mathbf {b} _{1}+cdots +a_{n}mathbf {b} _{n},}$

con ${displaystyle a_{1},puntos,a_{n}}$ en F, y que esta descomposición es única. Los escalares $a_1, ldots, a_n$ se llaman las coordenadas de v sobre la base. También se dice que son los coeficientes de la descomposición de v sobre la base. Se dice también que la n -tupla de las coordenadas es el vector de coordenadas de v sobre la base, ya que el conjunto $F^{n}$ de las n -tuplas de elementos de F es un espacio vectorial de suma por componentes y multiplicación escalar, cuya dimensión es n.

La correspondencia uno a uno entre los vectores y sus vectores de coordenadas asigna la suma de vectores a la suma de vectores y la multiplicación escalar a la multiplicación escalar. Se trata pues de un isomorfismo de espacio vectorial, que permite traducir razonamientos y cálculos sobre vectores en razonamientos y cálculos sobre sus coordenadas. A su vez, si estas coordenadas se ordenan como matrices, estos razonamientos y cálculos sobre coordenadas pueden expresarse de manera concisa como razonamientos y cálculos sobre matrices. Además, una ecuación lineal que relaciona matrices se puede expandir en un sistema de ecuaciones lineales y, a la inversa, cada uno de estos sistemas se puede compactar en una ecuación lineal en matrices.

Entonces, en resumen, el álgebra lineal de dimensión finita se puede expresar en tres lenguajes equivalentes:

Espacios vectoriales, que proporcionan declaraciones concisas y sin coordenadas,
Matrices, que son convenientes para expresar cálculos explícitos concisos,
Sistemas de ecuaciones lineales, que proporcionan formulaciones más elementales.

Historia

Los espacios vectoriales parten de la geometría afín, mediante la introducción de coordenadas en el plano o espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses René Descartes y Pierre de Fermat fundaron la geometría analítica identificando soluciones a una ecuación de dos variables con puntos en una curva plana. Para lograr soluciones geométricas sin usar coordenadas, Bolzano introdujo, en 1804, ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Möbius (1827) introdujo la noción de coordenadas baricéntricas. Bellavitis (1833) introdujo la noción de bipunto, es decir, un segmento orientado uno de cuyos extremos es el origen y el otro un destino.Los vectores fueron reconsiderados con la presentación de los números complejos por parte de Argand y Hamilton y el inicio de los cuaterniones por parte de este último. Son elementos en R y R; tratarlos mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite armonizar y simplificar los mapas lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Imaginó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su obra están presentes los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como los productos escalares. En realidad, el trabajo de Grassmann de 1844 excede el marco de los espacios vectoriales, ya que su consideración de la multiplicación también lo llevó a lo que hoy se llama álgebras. El matemático italiano Peano fue el primero en dar la definición moderna de espacios vectoriales y mapas lineales en 1888.

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de espacios funcionales por Henri Lebesgue. Esto fue posteriormente formalizado por Banach y Hilbert, alrededor de 1920. En ese momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional comenzaron a interactuar, en particular con conceptos clave como espacios de p -funciones integrables y espacios de Hilbert. También en este momento se realizaron los primeros estudios sobre espacios vectoriales de dimensión infinita.

Ejemplos

Flechas en el avión

El primer ejemplo de un espacio vectorial consta de flechas en un plano fijo, comenzando en un punto fijo. Esto se usa en física para describir fuerzas o velocidades. Dadas dos flechas de este tipo, v y w, el paralelogramo recorrido por estas dos flechas contiene una flecha diagonal que también comienza en el origen. Esta nueva flecha se llama la suma de las dos flechas y se denota como v + w. En el caso especial de dos flechas en la misma línea, su suma es la flecha en esta línea cuya longitud es la suma o la diferencia de las longitudes, según las flechas tengan la misma dirección. Otra operación que se puede hacer con flechas es escalar: dado cualquier número real positivo a, la flecha que tiene la misma dirección que v, pero se dilata o se encoge al multiplicar su longitud por a, se llama multiplicación de v por a. Se denota una v. Cuando a es negativo, una v se define como la flecha que apunta en la dirección opuesta.

A continuación se muestran algunos ejemplos: si a = 2, el vector resultante a w tiene la misma dirección que w, pero se estira al doble de la longitud de w (imagen de la derecha a continuación). De manera equivalente, 2 w es la suma w + w. Además, (−1) v = − v tiene la dirección opuesta y la misma longitud que v (vector azul que apunta hacia abajo en la imagen de la derecha).

Segundo ejemplo: pares ordenados de números

Un segundo ejemplo clave de un espacio vectorial lo proporcionan los pares de números reales x e y. (El orden de los componentes x e y es significativo, por lo que ese par también se llama par ordenado). Tal par se escribe como (x, y). La suma de dos de estos pares y la multiplicación de un par con un número se define de la siguiente manera: ${displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

y ${ estilo de visualización a (x, y) = (ax, ay).}$

El primer ejemplo anterior se reduce a este ejemplo, si una flecha está representada por un par de coordenadas cartesianas de su punto final.

Espacio de coordenadas

El ejemplo más simple de un espacio vectorial sobre un campo F es el propio campo F (ya que es un grupo abeliano para la suma, una parte de los requisitos para ser un campo), equipado con su suma (Se convierte en suma vectorial) y multiplicación (Se convierte en multiplicación escalar). De manera más general, todas las n -tuplas (secuencias de longitud n)(un ₁, un ₂,..., un _n)

de elementos a _i de F forman un espacio vectorial que generalmente se denota F y se llama espacio de coordenadas. El caso n = 1 es el ejemplo más simple mencionado anteriormente, en el que el campo F también se considera como un espacio vectorial sobre sí mismo. El caso F = R y n = 2 (entonces R) se discutió en la introducción anterior.

La resta de dos vectores se puede definir como ${displaystyle mathbf {v} -mathbf {w} =mathbf {v} +(-mathbf {w})}$

Las consecuencias directas de los axiomas incluyen que, para todos ${ estilo de visualización s en F}$ y ${ estilo de visualización mathbf {v} en V,}$ uno tiene

${displaystyle 0mathbf {v} =mathbf {0},}$
${displaystyle smathbf {0} =mathbf {0},}$
${displaystyle (-1)mathbf {v} =-mathbf {v},}$
${displaystyle smathbf {v} =0}$ implica $s=0$ o ${ estilo de visualización mathbf {v} = 0.}$

Axioma	Significado
Asociatividad de la suma de vectores	tu + (v + w) = (tu + v) + w
Conmutatividad de la suma de vectores	tu + v = v + tu
Elemento de identidad de la suma de vectores	Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero, tal que v + 0 = v para todo v ∈ V.
Elementos inversos de la suma de vectores	Para todo v ∈ V, existe un elemento − v ∈ V, llamado inverso aditivo de v, tal que v + (− v) = 0.
Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campo	un (segundo v) = (ab) v
Elemento de identidad de la multiplicación escalar	1 v = v, donde 1 denota la identidad multiplicativa en F.
Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma vectorial	una (tu + v) = una tu + una v
Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de campos	(un + segundo) v = un v + segundo v

Números complejos y otras extensiones de campo

El conjunto de los números complejos C, es decir, los números que se pueden escribir en la forma x + iy para los números reales x e y donde i es la unidad imaginaria, forman un espacio vectorial sobre los reales con las sumas y multiplicaciones habituales: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + yo (y + b) y c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) +i (c ⋅ y) para números reales x, y, a, b y c. Los diversos axiomas de un espacio vectorial se derivan del hecho de que las mismas reglas se aplican a la aritmética de números complejos.

De hecho, el ejemplo de los números complejos es esencialmente el mismo que (es decir, es isomorfo) el espacio vectorial de pares ordenados de números reales mencionado anteriormente: si pensamos que el número complejo x + i y representa el par ordenado (x, y) en el plano complejo, entonces vemos que las reglas para la suma y la multiplicación escalar corresponden exactamente a las del ejemplo anterior.

De manera más general, las extensiones de campo proporcionan otra clase de ejemplos de espacios vectoriales, particularmente en álgebra y teoría algebraica de números: un campo F que contiene un campo más pequeño E es un espacio vectorial E, por las operaciones de multiplicación y suma dadas de F. Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R y la extensión del campo es $mathbf {Q} (i{sqrt {5}})$ un espacio vectorial sobre Q.

Espacios de funciones

Las funciones de cualquier conjunto fijo Ω a un campo F también forman espacios vectoriales, realizando sumas y multiplicaciones escalares por puntos. Es decir, la suma de dos funciones f y g es la función (f + g) dada por(F + gramo)(w) = f (w) + gramo (w),

y lo mismo para la multiplicación. Dichos espacios de funciones ocurren en muchas situaciones geométricas, cuando Ω es la línea real o un intervalo, u otros subconjuntos de R. Muchas nociones en topología y análisis, como la continuidad, la integrabilidad o la diferenciabilidad, se comportan bien con respecto a la linealidad: las sumas y los múltiplos escalares de funciones que poseen tal propiedad todavía la tienen. Por tanto, el conjunto de tales funciones son espacios vectoriales, cuyo estudio pertenece al análisis funcional.

Ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas están estrechamente ligados a los espacios vectoriales. Por ejemplo, las soluciones de

un	+	3b _	+	C	= 0
4 un	+	2b _	+	2c _	= 0

están dadas por ternas con arbitrarias a, b = a /2 yc = −5 a / 2. Forman un espacio vectorial: las sumas y los múltiplos escalares de tales triples aún satisfacen las mismas proporciones de las tres variables; por lo tanto, también son soluciones. Las matrices se pueden usar para condensar múltiples ecuaciones lineales como las anteriores en una ecuación vectorial, a saberA x = 0,

donde ${displaystyle A={begin{bmatrix}1&3&1\4&2&2end{bmatrix}}}$ es la matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones dadas, x es el vector (a, b, c), A x denota el producto de matriz y 0 = (0, 0) es el vector cero. De manera similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo,f ′′ (x) + 2 f ′ (x) + f (x) = 0

da como resultado f (x) = a e + bx e, donde a y b son constantes arbitrarias y e es la función exponencial natural.

Matrices y mapas lineales

La relación de dos espacios vectoriales se puede expresar mediante un mapa lineal o una transformación lineal. Son funciones que reflejan la estructura del espacio vectorial, es decir, conservan sumas y multiplicaciones escalares: ${displaystyle f(mathbf {v} +mathbf {w})=f(mathbf {v})+f(mathbf {w})}$ y f (a · v) = a · f (v) para todo vyw en V, todo a en F.

Un isomorfismo es una función lineal f: V → W tal que existe una función inversa g: W → V, que es una función tal que las dos composiciones posibles f ∘ g: W → W y g ∘ f: V → V son mapas de identidad. De manera equivalente, f es uno a uno (inyectivo) y sobre (sobreyectivo). Si existe un isomorfismo entre V y W, se dice que los dos espacios sonisomorfo; entonces son esencialmente idénticos como espacios vectoriales, ya que todas las identidades que se mantienen en V son, a través de f, transportadas a otras similares en W, y viceversa a través de g.

Por ejemplo, los espacios vectoriales de "flechas en el plano" y "pares ordenados de números" en la introducción son isomorfos: una flecha plana v que parte del origen de algún sistema de coordenadas (fijo) se puede expresar como un par ordenado considerando el componente x e y de la flecha, como se muestra en la imagen de la derecha. Por el contrario, dado un par (x, y), la flecha que va por x hacia la derecha (o hacia la izquierda, si x es negativa), y y hacia arriba (hacia abajo, si y es negativa) hace retroceder la flecha v.

Aplicaciones lineales V → W entre dos espacios vectoriales forman un espacio vectorial Hom _F (V, W), también denotado L(V, W), o ?(V, W). El espacio de mapas lineales de V a F se denomina espacio vectorial dual, denotado V. A través de la aplicación natural inyectiva V → V, cualquier espacio vectorial se puede incrustar en su bidual; el mapa es un isomorfismo si y solo si el espacio es de dimensión finita.

Una vez que se elige una base de V, los mapas lineales f: V → W están completamente determinados especificando las imágenes de los vectores base, porque cualquier elemento de V se expresa únicamente como una combinación lineal de ellos. Si dim V = dim W, una correspondencia 1 a 1 entre las bases fijas de V y W da lugar a un mapa lineal que asigna cualquier elemento base de V al elemento base correspondiente de W. Es un isomorfismo, por su propia definición.Por tanto, dos espacios vectoriales son isomorfos si sus dimensiones concuerdan y viceversa. Otra forma de expresar esto es que cualquier espacio vectorial se clasifica completamente (hasta el isomorfismo) por su dimensión, un solo número. En particular, cualquier espacio vectorial V de F n -dimensional es isomorfo a F. Sin embargo, no hay isomorfismo "canónico" o preferido; en realidad un isomorfismo φ: F → V es equivalente a la elección de una base de V, mapeando la base estándar de F a V, a través de φ. La libertad de elegir una base conveniente es particularmente útil en el contexto de dimensión infinita; vea abajo.

Matrices

Las matrices son una noción útil para codificar mapas lineales. Están escritos como una matriz rectangular de escalares como en la imagen de la derecha. Cualquier m -por- n matriz A da lugar a un mapa lineal de F a F, por la siguiente ${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})mapsto left(sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_ {j},sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},ldots,sum_{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}right)}$ , donde $suma$ denota suma,

o, usando la multiplicación matricial de la matriz A con el vector coordenado x:x ↦ A x.

Además, después de elegir las bases de V y W, cualquier aplicación lineal f: V → W se representa de forma única mediante una matriz a través de esta asignación.

El determinante det (A) de una matriz cuadrada A es un escalar que indica si la aplicación asociada es un isomorfismo o no: para serlo es suficiente y necesario que el determinante sea distinto de cero. La transformación lineal de R correspondiente a una matriz real n por n conserva la orientación si y sólo si su determinante es positivo.

Valores propios y vectores propios

Los endomorfismos, mapas lineales f: V → V, son particularmente importantes ya que en este caso los vectores v pueden compararse con su imagen bajo f, f (v). Cualquier vector v distinto de cero que satisfaga λ v = f (v), donde λ es un escalar, se denomina vector propio de f con valor propio λ. De manera equivalente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ· Id (donde Id es el mapa de identidad V → V). Si V es de dimensión finita, esto se puede reformular usando determinantes: f que tiene un valor propio λ es equivalente adet (F - λ · Id) = 0.

Al deletrear la definición del determinante, se puede ver que la expresión del lado izquierdo es una función polinomial en λ, llamada el polinomio característico de f. Si el campo F es lo suficientemente grande como para contener un cero de este polinomio (lo que sucede automáticamente para F algebraicamente cerrado, como F = C), cualquier mapa lineal tiene al menos un vector propio. El espacio vectorial V puede poseer o no una base propia, una base que consta de vectores propios. Este fenómeno se rige por la forma canónica del mapa de Jordan. El conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio particular de fforma un espacio vectorial conocido como espacio propio correspondiente al valor propio (y f) en cuestión. Para lograr el teorema espectral, la declaración correspondiente en el caso de dimensión infinita, se necesita la maquinaria del análisis funcional, ver más abajo.

Construcciones básicas

Además de los ejemplos concretos anteriores, hay una serie de construcciones algebraicas lineales estándar que producen espacios vectoriales relacionados con los dados. Además de las definiciones dadas a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determinan un objeto X especificando los mapas lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

Subespacios y espacios cocientes

Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V que se cierra bajo la suma y la multiplicación escalar (y por lo tanto contiene el vector 0 de V) se denomina subespacio lineal de V, o simplemente subespacio de V, cuando el espacio ambiental es inequívocamente un espacio vectorial Los subespacios de V son espacios vectoriales (sobre el mismo campo) por derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado S de vectores se llama su lapso, y es el subespacio más pequeño de V que contiene el conjunto S. Expresado en términos de elementos, el lapso es el subespacio que consta de todas las combinaciones lineales de elementos de S.

Un subespacio lineal de dimensión 1 es una línea vectorial. Un subespacio lineal de dimensión 2 es un plano vectorial. Un subespacio lineal que contiene todos los elementos excepto uno de una base del espacio ambiental es un hiperplano vectorial. En un espacio vectorial de dimensión finita n, un hiperplano vectorial es, por tanto, un subespacio de dimensión n – 1.

La contraparte de los subespacios son los espacios vectoriales cocientes. Dado cualquier subespacio W ⊂ V, el espacio cociente V / W (" V módulo W ") se define de la siguiente manera: como conjunto, consta de v + W = { v + w: w ∈ W }, donde v es un vector arbitrario en V. La suma de dos de estos elementos v ₁ + W y v ₂ + W es (v ₁ + v ₂) + W, y la multiplicación escalar viene dada por a · (v + W) = (a · v) + W. El punto clave en esta definición es que v ₁ + W = v ₂ + W si y sólo si la diferencia de v ₁ y v ₂ está en W. De esta forma, el espacio cociente "olvida" la información contenida en el subespacio W.

El núcleo ker(f) de un mapa lineal f: V → W consta de vectores v que se asignan a 0 en W. El kernel y la imagen im(f) = { f (v): v ∈ V } son subespacios de V y W, respectivamente. La existencia de núcleos e imágenes es parte de la afirmación de que la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo F) es una categoría abeliana, es decir, un corpus de objetos matemáticos y mapas que preservan la estructura entre ellos (una categoría) que se comporta de manera muy similar a la categoría de grupos abelianos. Debido a esto, muchas afirmaciones como el primer teorema de isomorfismo (también llamado teorema de nulidad de rango en términos relacionados con matrices)V / ker(f) ≡ im(f).

y el segundo y tercer teorema de isomorfismo se pueden formular y probar de una manera muy similar a las declaraciones correspondientes para grupos.

Un ejemplo importante es el núcleo de un mapa lineal x ↦ A x para alguna matriz fija A, como arriba. El núcleo de este mapa es el subespacio de vectores x tal que A x = 0, que es precisamente el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas perteneciente a A. Este concepto también se extiende a las ecuaciones diferenciales lineales. $a_{0}f+a_{1}{frac {df}{dx}}+a_{2}{frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+cdots +a_{ n}{frac{d^{n}f}{dx^{n}}}=0$ , donde los coeficientes a _i también son funciones en x.

En el mapa correspondiente $fmapsto D(f)=sum _{i=0}^{n}a_{i}{frac {d^{i}f}{dx^{i}}}$ ,

las derivadas de la función f aparecen linealmente (a diferencia de f ′′(x), por ejemplo). Dado que la diferenciación es un procedimiento lineal (es decir, (f + g)′ = f ′ + g ′ y (c · f)′ = c · f ′ para una constante c), esta asignación es lineal y se denomina operador diferencial lineal. En particular, las soluciones de la ecuación diferencial D (f) = 0 forman un espacio vectorial (sobre R o C).

Producto directo y suma directa

El producto directo de espacios vectoriales y la suma directa de espacios vectoriales son dos formas de combinar una familia indexada de espacios vectoriales en un nuevo espacio vectorial.

El producto directo $textstyle {prod _{iin I}V_{i}}$ de una familia de espacios vectoriales V _i consiste en el conjunto de todas las tuplas (v _i) _{i ∈ I}, que especifican para cada índice i en algún conjunto de índices I un elemento v _i de V _i. La suma y la multiplicación escalar se realizan por componentes. Una variante de esta construcción es la suma directa ${ estilo de texto bigoplus _ {i en I} V_ {i}}$ (también llamada coproducto y denotada como ${ estilo de texto coprod _ {i en I} V_ {i}}$ ), donde solo se permiten tuplas con un número finito de vectores distintos de cero. Si el conjunto de índices I es finito, las dos construcciones concuerdan, pero en general son diferentes.

Producto tensorial

El producto tensorial V ⊗ _F W, o simplemente V ⊗ W, de dos espacios vectoriales V y W es una de las nociones centrales del álgebra multilineal que se ocupa de extender nociones como mapas lineales a varias variables. Un mapa g: V × W → X se llama bilineal si g es lineal en ambas variables vy w. Es decir, para w fijo el morfismo v ↦ g (v, w)es lineal en el sentido anterior e igualmente para v fija.

El producto tensorial es un espacio vectorial particular que es un receptor universal de mapas bilineales g, como sigue. Se define como el espacio vectorial que consta de sumas finitas (formales) de símbolos llamados tensores.v ₁ ⊗ w ₁ + v ₂ ⊗ w ₂ + ⋯ + v _norte_⊗ w norte,

sujeto a las reglasa · (v ⊗ w) = (a · v) ⊗ w = v ⊗ (a · w), donde a es un escalar,(v ₁ + v ₂) ⊗ w = v ₁ ⊗ w + v ₂ ⊗ w, yv ⊗ (w ₁ + w ₂) = v ⊗ w ₁ + v ⊗ w ₂.

Estas reglas aseguran que el mapa f de V × W a V ⊗ W que mapea una tupla (v, w) a v ⊗ w es bilineal. La universalidad establece que dado cualquier espacio vectorial X y cualquier aplicación bilineal g: V × W → X, existe una aplicación única u, que se muestra en el diagrama con una flecha punteada, cuya composición con f es igual a g: u(v ⊗ w) = gramo (v, w). Esto se denomina propiedad universal del producto tensorial, una instancia del método, muy utilizado en álgebra abstracta avanzada, para definir objetos indirectamente especificando mapas desde o hacia este objeto.

Espacios vectoriales con estructura adicional

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se entienden completamente en la medida en que todo espacio vectorial se caracteriza, hasta el isomorfismo, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales per se no ofrecen un marco para tratar la cuestión, crucial para el análisis, de si una secuencia de funciones converge en otra función. Del mismo modo, el álgebra lineal no está adaptada para tratar con series infinitas, ya que la operación de suma permite sumar solo un número finito de términos. Por lo tanto, las necesidades del análisis funcional requieren considerar estructuras adicionales.

A un espacio vectorial se le puede dar un orden parcial ≤, bajo el cual se pueden comparar algunos vectores. Por ejemplo, el espacio real R de n dimensiones se puede ordenar comparando sus vectores por componentes. Los espacios vectoriales ordenados, por ejemplo, los espacios de Riesz, son fundamentales para la integración de Lebesgue, que se basa en la capacidad de expresar una función como diferencia de dos funciones positivas. ${displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$ ,

donde ${ estilo de visualización f ^ {+}}$ denota la parte positiva de $F$ y ${ estilo de visualización f ^ {-}}$ la parte negativa.

Expresión de un mismo vector a partir de dos bases diferentes

Espacios vectoriales normados y espacios de productos internos

La "medición" de vectores se realiza especificando una norma, un dato que mide longitudes de vectores, o un producto interno, que mide ángulos entre vectores. Las normas y los productos internos se denotan $|mathbf {v} |$ y $langle mathbf {v},mathbf {w} rangle$ , respectivamente. El dato de un producto interior implica que también se pueden definir longitudes de vectores, definiendo la norma asociada ${textstyle |mathbf {v} |:={sqrt {langle mathbf {v},mathbf {v} rangle }}}$ . Los espacios vectoriales dotados de dichos datos se conocen como espacios vectoriales normados y espacios de productos internos, respectivamente.

El espacio de coordenadas F se puede equipar con el producto escalar estándar: $langle mathbf {x},mathbf {y} rangle =mathbf {x} cdot mathbf {y} =x_{1}y_{1}+cdots +x_{n}y_{n}.$

En R, esto refleja la noción común del ángulo entre dos vectores x e y, por la ley de los cosenos: $mathbf {x} cdot mathbf {y} =cos left(angle (mathbf {x},mathbf {y})right)cdot |mathbf {x} |cdot |mathbf {y} |.$

Debido a esto, dos vectores que satisfacen $langle mathbf {x},mathbf {y} rangle =0$ se llaman ortogonales. En el espacio de Minkowski se utiliza una variante importante del producto escalar estándar: R dotado del producto de Lorentz $langle mathbf {x} |mathbf {y} rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4 }.$

A diferencia del producto escalar estándar, no es definido positivo: $langle mathbf {x} |mathbf {x} rangle$ también toma valores negativos, por ejemplo, para $mathbf {x} =(0,0,0,1)$ . Destacar la cuarta coordenada, que corresponde al tiempo, a diferencia de las tres dimensiones del espacio, lo hace útil para el tratamiento matemático de la relatividad especial.

Espacios vectoriales topológicos

Las cuestiones de convergencia se tratan considerando espacios vectoriales V que tienen una topología compatible, una estructura que permite hablar de elementos que están cerca unos de otros. Compatible aquí significa que la suma y la multiplicación escalar tienen que ser mapas continuos. Aproximadamente, si x e y en V y a en F varían en una cantidad acotada, entonces también lo hacen x + y y a x. Para que tenga sentido especificar la cantidad de cambios de un escalar, el campo F también tiene que tener una topología en este contexto; una opción común son los reales o los números complejos.

En tales espacios vectoriales topológicos se pueden considerar series de vectores. la suma infinita $sum _{i=0}^{infty}f_{i}$

denota el límite de las correspondientes sumas parciales finitas de la secuencia (f _i) _{i ∈ N} de elementos de V. Por ejemplo, las fi podrían ser funciones (reales o complejas) pertenecientes a algún espacio de funciones V, en cuyo caso la serie es una serie de funciones. El modo de convergencia de la serie depende de la topología impuesta al espacio de funciones. En tales casos, la convergencia puntual y la convergencia uniforme son dos ejemplos destacados.

Una forma de asegurar la existencia de límites de ciertas series infinitas es restringir la atención a los espacios donde cualquier sucesión de Cauchy tiene un límite; tal espacio vectorial se llama completo. Aproximadamente, un espacio vectorial está completo siempre que contenga todos los límites necesarios. Por ejemplo, el espacio vectorial de polinomios en el intervalo unitario [0,1], equipado con la topología de convergencia uniforme, no es completo porque cualquier función continua en [0,1] puede aproximarse uniformemente por una secuencia de polinomios, por la Teorema de aproximación de Weierstrass. Por el contrario, el espacio de todas las funciones continuas en [0,1] con la misma topología es completo. Una norma da lugar a una topología al definir que una secuencia de vectores v _n converge a vsi y solo si ${displaystyle lim _{nto infty }|mathbf {v} _{n}-mathbf {v} |=0.}$

Los espacios de Banach y Hilbert son espacios vectoriales topológicos completos cuyas topologías vienen dadas, respectivamente, por una norma y un producto interno. Su estudio, una pieza clave del análisis funcional, se centra en espacios vectoriales de dimensión infinita, ya que todas las normas sobre espacios vectoriales topológicos de dimensión finita dan lugar a la misma noción de convergencia. La imagen de la derecha muestra la equivalencia de la norma 1 y la norma ∞ en R: como las "bolas" unitarias se encierran entre sí, una secuencia converge a cero en una norma si y solo si lo hace en la otra norma. Sin embargo, en el caso de dimensión infinita, generalmente habrá topologías no equivalentes, lo que hace que el estudio de espacios vectoriales topológicos sea más rico que el de espacios vectoriales sin datos adicionales.

Desde un punto de vista conceptual, todas las nociones relacionadas con los espacios vectoriales topológicos deben coincidir con la topología. Por ejemplo, en lugar de considerar todos los mapas lineales (también llamados funcionales) V → W, se requiere que los mapas entre espacios vectoriales topológicos sean continuos. En particular, el espacio dual (topológico) V consta de funcionales continuos V → R (o a C). El teorema fundamental de Hahn-Banach se ocupa de separar subespacios de espacios vectoriales topológicos apropiados mediante funcionales continuos.

Espacios de Banach

Los espacios de Banach, introducidos por Stefan Banach, son espacios vectoriales normados completos.

Un primer ejemplo es el espacio vectorial $ell ^{p}$ formado por infinitos vectores con elementos reales ${displaystyle mathbf {x} =left(x_{1},x_{2},ldots,x_{n},ldots right)}$ cuya $pag$ -norma ${displaystyle (1leq {p}leq infty)}$ dada por ${displaystyle left|mathbf {x} right|_{p}:=left(sum _{i}leftvert x_{i}rightvert ^{p}right) ^{frac{1}{p}}}$ para <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded01e00d96bc3f0a04d23df325fdff72ac41e85" alt="{displaystyle p y ${displaystyle left|mathbf {x} right|_{infty}:=sup _{i}left|x_{i}right|}$ .

Las topologías en el espacio de dimensión infinita no $ell ^{p}$ son equivalentes para diferentes $pag$ . Por ejemplo, la sucesión de vectores ${displaystyle mathbf {x} _{n}=left(2^{-n},2^{-n},ldots, 2^{-n},0,0,ldots right)}$ , en la que las primeras $2^{n}$ componentes son $2^{-n}$ y las siguientes son ${ estilo de visualización 0}$ , converge al vector cero para ${displaystyle p=infty}$ , pero no para $p = 1$ : ${displaystyle leftVert mathbf {x} _{n}rightVert _{_{infty}}=sup(2^{-n},0)=2^{-n}rightarrow 0}$ , pero ${displaystyle leftVert mathbf {x} _{n}rightVert _{1}=sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^ {n}cdot 2^{-n}=1.}$

Más generalmente que las sucesiones de números reales, las funciones ${displaystyle fcolon Omega to mathbb {R} }$ están dotadas de una norma que reemplaza la suma anterior por la integral de Lebesgue ${displaystyle leftVert {f}rightVert _{p}:=left(int _{Omega }leftvert {f}left(xright)rightvert ^{ p},{dmu left(xright)}right)^{frac {1}{p}}.}$

El espacio de funciones integrables en un dominio dado $Omega$ (por ejemplo, un intervalo) que satisface <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77ee619caf1c2e5b9967b9631e4d0b063512053" alt="{displaystyle leftVert {f}rightVert _{p}, y equipado con esta norma se denominan espacios de Lebesgue, denotados ${displaystyle L^{;!p}left(Omega right)}$ .

Estos espacios están completos. (Si se usa la integral de Riemann en su lugar, el espacio no es completo, lo que puede verse como una justificación para la teoría de integración de Lebesgue). Concretamente, esto significa que para cualquier secuencia de funciones integrables de Lebesgue ${displaystyle f_{1},f_{2},ldots,f_{n},ldots}$ con <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339b5ae8f960dc0f0e46df79fdaaa2dc37e5de6c" alt="{displaystyle leftVert {f}_{n}rightVert _{p}, que satisface la condición ${displaystyle lim_{k, nto infty}int_{Omega}leftvert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)right vert^{p},{dmu left(xright)}=0}$

existe una función ${ estilo de visualización {f} izquierda (x derecha)}$ perteneciente al espacio vectorial ${displaystyle L^{;!p}left(Omega right)}$ tal que ${displaystyle lim_{kto infty}int_{Omega}leftvert {f}left(xright)-{f}_{k}left(xright) derechavert ^{p},{dmu left(xright)}=0.}$

Imponer condiciones de acotación no solo a la función, sino también a sus derivadas conduce a los espacios de Sobolev.

Espacios de Hilbert

Los espacios de productos internos completos se conocen como espacios de Hilbert, en honor a David Hilbert. El espacio de Hilbert L (Ω), con producto interior dado por ${displaystyle langle f, grangle =int _{Omega }f(x){overline {g(x)}},dx,}$

donde ${sobrelínea {g(x)}}$ denota el complejo conjugado de g (x), es un caso clave.

Por definición, en un espacio de Hilbert cualquier secuencia de Cauchy converge a un límite. Por el contrario, encontrar una secuencia de funciones f _n con propiedades deseables que se aproxime a una función límite dada es igualmente crucial. Los primeros análisis, bajo la apariencia de la aproximación de Taylor, establecieron una aproximación de funciones diferenciables f por polinomios. Por el teorema de Stone-Weierstrass, cada función continua en [ a, b ] puede aproximarse tanto como se desee mediante un polinomio. Una técnica de aproximación similar mediante funciones trigonométricas se denomina comúnmente expansión de Fourier y se aplica mucho en ingeniería, consulte a continuación.Más generalmente, y más conceptualmente, el teorema produce una descripción simple de qué "funciones básicas", o, en espacios de Hilbert abstractos, qué vectores básicos son suficientes para generar un espacio de Hilbert H, en el sentido de que el cierre de su tramo (es decir,, combinaciones lineales finitas y límites de las mismas) es todo el espacio. Tal conjunto de funciones se llama base de H, su cardinalidad se conoce como la dimensión del espacio de Hilbert. El teorema no solo exhibe funciones de base adecuadas como suficientes para fines de aproximación, sino que, junto con el proceso de Gram-Schmidt, permite construir una base de vectores ortogonales.Tales bases ortogonales son la generalización del espacio de Hilbert de los ejes de coordenadas en el espacio euclidiano de dimensión finita.

Las soluciones a varias ecuaciones diferenciales se pueden interpretar en términos de espacios de Hilbert. Por ejemplo, muchos campos de la física y la ingeniería conducen a este tipo de ecuaciones y, con frecuencia, se utilizan soluciones con propiedades físicas particulares como funciones base, a menudo ortogonales. Como ejemplo de la física, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en la mecánica cuántica describe el cambio de las propiedades físicas en el tiempo por medio de una ecuación diferencial parcial, cuyas soluciones se denominan funciones de onda. Los valores definidos de las propiedades físicas, como la energía o el momento, corresponden a los valores propios de un determinado operador diferencial (lineal) y las funciones de onda asociadas se denominan estados propios. ÉlEl teorema espectral descompone un operador compacto lineal que actúa sobre funciones en términos de estas funciones propias y sus valores propios.

Álgebras sobre campos

Los espacios vectoriales generales no poseen una multiplicación entre vectores. Un espacio vectorial equipado con un operador bilineal adicional que define la multiplicación de dos vectores es un álgebra sobre un campo. Muchas álgebras se derivan de funciones en algún objeto geométrico: dado que las funciones con valores en un campo dado se pueden multiplicar por puntos, estas entidades forman álgebras. El teorema de Stone-Weierstrass, por ejemplo, se basa en álgebras de Banach que son tanto espacios de Banach como álgebras.

El álgebra conmutativa hace un gran uso de anillos de polinomios en una o varias variables, presentados anteriormente. Su multiplicación es tanto conmutativa como asociativa. Estos anillos y sus cocientes forman la base de la geometría algebraica, porque son anillos de funciones de objetos geométricos algebraicos.

Otro ejemplo crucial son las álgebras de Lie, que no son ni conmutativas ni asociativas, pero el hecho de no serlo está limitado por las restricciones ([ x, y ] denota el producto de x e y):

[ x, y ] = −[ y, x ] (anticonmutatividad), y
[ x, [ y, z ]] + [ y, [ z, x ]] + [ z, [ x, y ]] = 0 (identidad de Jacobi).

Los ejemplos incluyen el espacio vectorial de n -por- n matrices, con [ x, y ] = xy − yx, el conmutador de dos matrices, y R, dotado del producto vectorial.

El álgebra tensorial T(V) es una forma formal de sumar productos a cualquier espacio vectorial V para obtener un álgebra. Como espacio vectorial, está dividido por símbolos, llamados tensores simples.v ₁ ⊗ v ₂ ⊗ ⋯ ⊗ v _n, donde el grado n varía.

La multiplicación se obtiene concatenando dichos símbolos, imponiendo la ley distributiva bajo la suma y requiriendo que la multiplicación escalar conmute con el producto tensorial ⊗, de la misma manera que con el producto tensorial de dos espacios vectoriales presentado anteriormente. En general, no hay relaciones entre v ₁ ⊗ v ₂ y v ₂ ⊗ v ₁. Obligar a dos de estos elementos a ser iguales conduce al álgebra simétrica, mientras que forzar v ₁ ⊗ v ₂ = − v ₂ ⊗ v ₁ produce el álgebra exterior.

Cuando un campo, F se establece explícitamente, un término común utilizado es F -álgebra.

Estructuras relacionadas

Espacios vectoriales tridimensionales en r1, r2 y r3

Paquetes de vectores

Un fibrado vectorial es una familia de espacios vectoriales parametrizados continuamente por un espacio topológico X. Más precisamente, un paquete vectorial sobre X es un espacio topológico E equipado con un mapa continuoπ: E → X

tal que para cada x en X, la fibra π (x) es un espacio vectorial. El caso dim V = 1 se llama haz de líneas. Para cualquier espacio vectorial V, la proyección X × V → X convierte al producto X × V en un paquete vectorial "trivial". Se requiere que los paquetes de vectores sobre X sean localmente un producto de X y algún espacio vectorial (fijo) V: para cada x en X, hay una vecindad U de xtal que la restricción de π a π (U) es isomorfa al paquete trivial U × V → U. A pesar de su carácter localmente trivial, los paquetes vectoriales pueden (dependiendo de la forma del espacio X subyacente) "torcerse" en grande (es decir, el paquete no necesita ser (globalmente isomorfo) al paquete trivial X × V). Por ejemplo, la cinta de Möbius puede verse como un haz de líneas sobre el círculo S (identificando los intervalos abiertos con la línea real). Sin embargo, es diferente del cilindro S × R, porque este último es orientable mientras que el primero no lo es.

Las propiedades de ciertos paquetes de vectores proporcionan información sobre el espacio topológico subyacente. Por ejemplo, el paquete tangente consiste en la colección de espacios tangentes parametrizados por los puntos de una variedad diferenciable. El fibrado tangente del círculo S es globalmente isomorfo a S × R, ya que existe un campo vectorial global distinto de cero en S. En contraste, por el teorema de la bola peluda, no hay un campo vectorial (tangente) en el S de 2 esferas que sea distinto de cero en todas partes. La teoría K estudia las clases de isomorfismo de todos los paquetes de vectores en algún espacio topológico.Además de profundizar en la comprensión topológica y geométrica, tiene consecuencias puramente algebraicas, como la clasificación de álgebras de división real de dimensión finita: R, C, los cuaterniones H y los octoniones O.

El haz cotangente de una variedad diferenciable consiste, en cada punto de la variedad, en el dual del espacio tangente, el espacio cotangente. Las secciones de ese paquete se conocen como diferenciales de una forma.

Módulos

Los módulos son a los anillos lo que los espacios vectoriales son a los campos: los mismos axiomas, aplicados a un anillo R en lugar de a un campo F, producen módulos. La teoría de los módulos, comparada con la de los espacios vectoriales, se complica por la presencia de elementos anulares que no tienen inversos multiplicativos. Por ejemplo, los módulos no necesitan tener bases, como muestra Z -módulo (es decir, grupo abeliano) Z /2 Z; aquellos módulos que lo hacen (incluidos todos los espacios vectoriales) se conocen como módulos libres. Sin embargo, un espacio vectorial se puede definir de manera compacta como un módulo sobre un anillo que es un campo, y los elementos se denominan vectores. Algunos autores utilizan el término espacio vectorial para referirse a módulos sobre un anillo de división. La interpretación algebro-geométrica de los anillos conmutativos a través de su espectro permite el desarrollo de conceptos tales como módulos libres localmente, la contrapartida algebraica de los haces vectoriales.

Espacios afines y proyectivos

Aproximadamente, los espacios afines son espacios vectoriales cuyos orígenes no se especifican. Más precisamente, un espacio afín es un conjunto con una acción espacial vectorial transitiva libre. En particular, un espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo, por el mapaV × V → V, (v, un) ↦ un + v.

Si W es un espacio vectorial, entonces un subespacio afín es un subconjunto de W obtenido al trasladar un subespacio lineal V por un vector fijo x ∈ W; este espacio se denota por x + V (es una clase lateral de V en W) y consta de todos los vectores de la forma x + v para v ∈ V. Un ejemplo importante es el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneasA x = segundo

generalizando el caso homogéneo anterior, que se puede encontrar estableciendo b = 0 en esta ecuación. El espacio de soluciones es el subespacio afín x + V donde x es una solución particular de la ecuación, y V es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea (el espacio nulo de A).

El conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial fijo de dimensión finita V se conoce como espacio proyectivo; puede usarse para formalizar la idea de líneas paralelas que se cruzan en el infinito. Los grassmannianos y las variedades de banderas generalizan esto al parametrizar subespacios lineales de dimensión fija k y banderas de subespacios, respectivamente.

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