Espacio muestral

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En la teoría de la probabilidad, el espacio muestral (también llamado espacio de descripción muestral o espacio de posibilidades) de un experimento o ensayo aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados de ese experimento. Un espacio muestral generalmente se denota mediante la notación de conjuntos, y los posibles resultados ordenados, o puntos muestrales, se enumeran como elementos del conjunto. Es común referirse a un espacio muestral con las etiquetas S, Ω o U (para "conjunto universal"). Los elementos de un espacio muestral pueden ser números, palabras, letras o símbolos. También pueden ser finitos, contablemente infinitos o incontablemente infinitos.

Un subconjunto del espacio muestral es un evento, denotado por $mi$ . Si el resultado de un experimento está incluido en $mi$ , entonces $mi$ ha ocurrido un evento.

Por ejemplo, si el experimento es lanzar una sola moneda, el espacio muestral es el conjunto ${ estilo de visualización {H, T }}$ , donde el resultado $H$ significa que la moneda fue cara y el resultado $T$ significa que la moneda fue cruz. Los eventos posibles son ${displaystyle E={H}}$ y ${displaystyle E={T}}$ . Para lanzar dos monedas, el espacio muestral es ${displaystyle {HH,HT,TH,TT}}$ , donde el resultado es ${ estilo de visualización HH}$ si ambas monedas son cara, ${ estilo de visualización HT}$ si la primera moneda es cara y la segunda es cruz, ${ estilo de visualización TH}$ si la primera moneda es cruz y la segunda es cara, y ${ estilo de visualización TT}$ si ambas monedas son cruz.

Para lanzar un solo dado de seis caras, donde el resultado de interés es el número de puntos hacia arriba, el espacio muestral es ${1,2,3,4,5,6}$ .

Un espacio muestral bien definido y no vacío $S$ es uno de los tres componentes de un modelo probabilístico (un espacio de probabilidad). Los otros dos elementos básicos son: un conjunto bien definido de posibles eventos (un espacio de eventos), que suele ser el conjunto potencia de $S$ si $S$ es discreto o un álgebra σ $S$ si es continuo, y una probabilidad asignada a cada evento (una función de medida de probabilidad).

Un espacio muestral se puede representar visualmente mediante un rectángulo, con los resultados del espacio muestral indicados por puntos dentro del rectángulo. Los eventos pueden estar representados por óvalos, donde los puntos encerrados dentro del óvalo forman el evento.

Condiciones de un espacio muestral

Un conjunto $Omega$ con resultados ${displaystyle s_{1},s_{2},ldots,s_{n}}$ (es decir ${displaystyle Omega ={s_{1},s_{2},ldots,s_{n}}}$ ,) debe cumplir algunas condiciones para ser un espacio muestral:

Los resultados deben ser mutuamente excluyentes, es decir, si $s_{j}$ ocurre, entonces no $si}$ ocurrirá ningún otro ${displaystyle forall i,j=1,2,ldots,nquad ineq j}$ .
Los resultados deben ser colectivamente exhaustivos, es decir, en cada experimento (o prueba aleatoria) siempre tendrá lugar algún resultado ${displaystyle s_{i}en Omega}$ para ${displaystyle iin {1,2,ldots,n}}$ .
El espacio muestral ( $Omega$ ) debe tener la granularidad correcta según lo que le interese al experimentador. La información irrelevante debe eliminarse del espacio muestral y debe elegirse la abstracción correcta.

Por ejemplo, en la prueba de lanzar una moneda, un posible espacio muestral es ${displaystyleOmega_{1}={H,T}}$ , donde $H$ es el resultado donde la moneda cae cara y $T$ cruz. Otro posible espacio muestral podría ser ${displaystyle Omega _{2}={(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)}}$ . Aquí, $R$ denota un día lluvioso y $NR$ es un día en el que no llueve. Para la mayoría de los experimentos, $Omega _{1}$ sería una mejor opción que $Omega _{2}$ , ya que es probable que al experimentador no le importe cómo el clima afecta el lanzamiento de la moneda.

Múltiples espacios muestrales

Para muchos experimentos, puede haber más de un espacio de muestra plausible disponible, según el resultado que sea de interés para el experimentador. Por ejemplo, al sacar una carta de una baraja estándar de cincuenta y dos naipes, una posibilidad para el espacio de muestra podría ser los distintos rangos (del as al rey), mientras que otra podría ser los palos (tréboles, diamantes, corazones o picas).). Sin embargo, una descripción más completa de los resultados podría especificar tanto la denominación como el palo, y se puede construir un espacio de muestra que describa cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestra mencionados anteriormente (este espacio contendría cincuenta y dos cartas igualmente probables). resultados). Todavía son posibles otros espacios de muestra, como boca arriba o boca abajo, si se han volteado algunas cartas al barajar.

Resultados igualmente probables

Algunos tratamientos de la probabilidad suponen que los diversos resultados de un experimento siempre se definen para que sean igualmente probables. Para cualquier espacio muestral con $norte$ resultados igualmente probables, a cada resultado se le asigna la probabilidad ${ fracción {1}{N}}$ . Sin embargo, hay experimentos que no se describen fácilmente mediante un espacio muestral de resultados igualmente probables; por ejemplo, si uno lanzara una tachuela muchas veces y observara si aterriza con la punta hacia arriba o hacia abajo, no hay simetría física para sugieren que los dos resultados deberían ser igualmente probables.

Aunque la mayoría de los fenómenos aleatorios no tienen resultados igualmente probables, puede ser útil definir un espacio de muestra de tal manera que los resultados sean al menos aproximadamente igualmente probables, ya que esta condición simplifica significativamente el cálculo de probabilidades de eventos dentro del espacio de muestra. Si cada resultado individual ocurre con la misma probabilidad, entonces la probabilidad de cualquier evento se convierte simplemente en: ${displaystyle mathrm {P} ({text{evento}})={frac {text{número de resultados en el evento}}{text{número de resultados en el espacio muestral}}}}$

Por ejemplo, si se lanzan dos dados justos de seis caras para generar dos enteros uniformemente distribuidos, $D_{1}$ y $D_{2}$ , cada uno en el rango de 1 a 6, inclusive, los 36 pares ordenados posibles de resultados ${ estilo de visualización (D_{1},D_{2})}$ constituyen un espacio muestral de eventos igualmente probables. En este caso, se aplica la fórmula anterior, como calcular la probabilidad de una suma particular de las dos tiradas en un resultado. La probabilidad del evento de que la suma ${displaystyle D_{1}+D_{2}}$ sea cinco es ${displaystyle {frac {4}{36}}}$ , ya que cuatro de los treinta y seis pares de resultados igualmente probables suman cinco.

Si el espacio muestral fuera todas las sumas posibles obtenidas al lanzar dos dados de seis caras, la fórmula anterior aún se puede aplicar porque las tiradas de dados son justas, pero la cantidad de resultados en un evento dado variará. Puede ocurrir una suma de dos con el resultado ${ estilo de visualización {(1,1) }}$ , por lo que la probabilidad es ${displaystyle {frac{1}{36}}}$ . Para una suma de siete, los resultados del evento son ${ estilo de visualización {(1,6), (6,1), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3) }}$ , por lo que la probabilidad es ${displaystyle {frac {6}{36}}}$ .

Muestra aleatoria simple

En estadística, las inferencias se hacen sobre las características de una población mediante el estudio de una muestra de los individuos de esa población. Para llegar a una muestra que presente una estimación no sesgada de las verdaderas características de la población, los estadísticos a menudo buscan estudiar una muestra aleatoria simple, es decir, una muestra en la que es igualmente probable que todos los individuos de la población estén incluidos. El resultado de esto es que cada combinación posible de individuos que podrían ser elegidos para la muestra tiene la misma probabilidad de ser la muestra seleccionada (es decir, el espacio de muestras aleatorias simples de un tamaño dado de una población dada está compuesto por resultados igualmente probables).

Espacios muestrales infinitamente grandes

En un enfoque elemental de la probabilidad, cualquier subconjunto del espacio muestral suele denominarse evento. Sin embargo, esto da lugar a problemas cuando el espacio muestral es continuo, por lo que es necesaria una definición más precisa de un evento. Según esta definición, solo los subconjuntos medibles del espacio muestral, que constituyen un σ-álgebra sobre el propio espacio muestral, se consideran eventos.

Un ejemplo de un espacio de muestra infinitamente grande es medir la vida útil de una bombilla. El espacio muestral correspondiente sería [0, ∞).

Contenido relacionado

Más resultados...