Espacio metrizable

En topología y áreas relacionadas de matemáticas, a espacio habitable es un espacio topológico que es homeomórfico a un espacio métrico. Es decir, un espacio topológico ()X,T){displaystyle (X,{mathcal {T})} se dice que se puede medir si hay una métrica d:X× × X→ → [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle d:Xtimes Xto [0,infty]} tal que la topología inducida por d{displaystyle d} es T.{displaystyle {Mathcal {}}} Teoremas de fusión son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metro.

Propiedades

Los espacios metrizables heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y por tanto normales y de Tychonoff) y numerables en primer lugar. Sin embargo, no se puede decir que se hereden algunas propiedades de la métrica, como la integridad. Esto también es cierto para otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable, por ejemplo, puede tener un conjunto diferente de mapas de contracción que un espacio métrico al que es homeomorfo.

Teoremas de metrización

Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fue Urysohn& #39; teorema de metrización. Esto establece que cada segundo espacio regular contable de Hausdorff es metrizable. Así, por ejemplo, toda variedad contable por segundos es metrizable. (Nota histórica: la forma del teorema que se muestra aquí fue de hecho probada por Tikhonov en 1926. Lo que Urysohn había demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, era que cada segundo espacio de Hausdorff normal numerable es metrizable). No ocurre lo contrario: existen espacios métricos que no son contables en segundo lugar, por ejemplo, un conjunto incontable dotado de la métrica discreta. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov, que se describe a continuación, proporciona un teorema más específico donde se cumple lo contrario.

Varios otros teoremas de metrización siguen como simples corolarios del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio compacto de Hausdorff es metrizable si y solo si es contable en segundo lugar.

El Teorema de Urysohn se puede reformular como: Un espacio topológico es separable y metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y numerable en segundo lugar. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Establece que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es una unión numerable de muchas colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para un teorema estrechamente relacionado, consulte el teorema de metrización de Bing.

Los espacios separables se pueden caracterizar también como aquellos espacios que son homeomorficos a un subespacio del cubo de Hilbert [0,1]N,{displaystyle lbrack 0,1rbrack {N},} es decir, el producto contablemente infinito del intervalo de unidad (con su topología subespacial natural de los reinos) por sí mismo, dotado con la topología del producto.

Se dice que un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene una vecindad metrizable. Smirnov demostró que un espacio localmente metrizable es metrizable si y solo si es Hausdorff y paracompacto. En particular, una variedad es metrizable si y solo si es paracompacta.

Ejemplos

El grupo de operadores unitarios U()H){displaystyle mathbb {U} ({mathcal {H})} en un espacio separable Hilbert H{displaystyle {fnMithcal}} dotados con la fuerte topología del operador es metroble (ver Proposición II.1 en).

Ejemplos de espacios no metrizables

Los espacios no normales no pueden ser metrizables; ejemplos importantes incluyen

• la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo, utilizado en geometría algebraica,
• el espacio vectorial topológico de todas las funciones de la línea real R{displaystyle mathbb {R} a sí mismo, con la topología de la convergencia puntual.

La línea real con la topología del límite inferior no es metrizable. La función de distancia habitual no es una métrica en este espacio porque la topología que determina es la topología habitual, no la topología de límite inferior. Este espacio es Hausdorff, paracompacto y primer contable.

Localmente metrizable pero no metrizable

La línea con dos orígenes, también llamada línea de ojos saltones es una variedad no Hausdorff (y por lo tanto no puede ser metrizable). Como todas las variedades, es localmente homeomórfico al espacio euclidiano y, por lo tanto, localmente metrizable (pero no metrizable) y localmente Hausdorff (pero no Hausdorff). También es un espacio T1 localmente regular pero no un espacio semirregular.

La línea larga es localmente metrizable pero no metrizable; en cierto sentido es "demasiado largo".