Espacio hausdorff

En topología y ramas afines de las matemáticas, un espacio de Hausdorff (HOWS-dorf, HOWZ-dorf), espacio separado o T_{2< /sub> espacio} es un espacio topológico donde, para dos puntos distintos cualesquiera, existen vecindades de cada uno que son disjuntas entre sí. De los muchos axiomas de separación que se pueden imponer en un espacio topológico, la "condición de Hausdorff" (T₂) es el más utilizado y discutido. Implica la unicidad de límites de secuencias, redes y filtros.

Los espacios de Hausdorff llevan el nombre de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (en 1914) incluía la condición de Hausdorff como un axioma.

Definiciones

Los puntos x y y, separados por sus respectivos barrios U y V.

Puntos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ en un espacio topológico ${displaystyle X}$ puede ser separados por barrios si existe un barrio ${displaystyle U}$ de ${displaystyle x}$ y un barrio ${displaystyle V}$ de ${displaystyle y}$ tales que ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ están descompuestos ${displaystyle (Ucap V=varnothing)}$. ${displaystyle X}$ es un Espacio Hausdorff si hay dos puntos distintos en ${displaystyle X}$ están separados por barrios. Esta condición es el tercer axioma de separación (después de T₀ y T₁), por lo que los espacios Hausdorff también se llaman T₂ espacios. El nombre espacio separado también se utiliza.

Una noción relacionada, pero más débil, es la de un espacio preregular. ${displaystyle X}$ es un espacio preregular si alguno de los dos puntos topológicamente distinguibles puede ser separado por barrios disjoint. Un espacio preregular también se llama R₁ espacio.

La relación entre estas dos condiciones es la siguiente. Un espacio topológico es Hausdorff si y solo si es a la vez preregular (es decir, los puntos topológicamente distinguibles están separados por vecindades) y Kolmogorov (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles). Un espacio topológico es preregular si y solo si su cociente de Kolmogorov es Hausdorff.

Equivalencias

Para un espacio topológico ${displaystyle X}$, los siguientes son equivalentes:

• ${displaystyle X}$ Es un espacio Hausdorff.
• Límites de redes en ${displaystyle X}$ son únicos.
• Límites de filtros en ${displaystyle X}$ son únicos.
• Cualquier juego de singleton ${displaystyle {x}subset X}$ es igual a la intersección de todos los barrios cerrados de ${displaystyle x}$. (Un barrio cerrado de ${displaystyle x}$ es un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene x.)
• La diagonal ${displaystyle Delta ={(x,x)mid xin X}}$ se cierra como subconjunto del espacio del producto ${displaystyle Xtimes X}$.
• Cualquier inyección del espacio discreto con dos puntos a ${displaystyle X}$ tiene la propiedad de elevación con respecto al mapa desde el espacio topológico finito con dos puntos abiertos y un punto cerrado a un solo punto.

Ejemplos de espacios Hausdorff y no Hausdorff

Casi todos los espacios encontrados en el análisis son Hausdorff; lo más importante, los números reales (bajo la topología métrica estándar en números reales) son un espacio de Hausdorff. Más generalmente, todos los espacios métricos son Hausdorff. De hecho, muchos espacios de uso en análisis, como grupos topológicos y variedades topológicas, tienen la condición de Hausdorff explícitamente establecida en sus definiciones.

Un ejemplo simple de una topología que es T1 pero no es Hausdorff es la topología cofinita definida en un conjunto infinito.

Los espacios pseudométricos normalmente no son de Hausdorff, pero son preregulares y su uso en el análisis suele ser solo en la construcción de espacios de calibre de Hausdorff. De hecho, cuando los analistas se encuentran con un espacio que no es de Hausdorff, es probable que siga siendo al menos preregular, y luego simplemente lo reemplazan con su cociente de Kolmogorov, que es Hausdorff.

Por el contrario, los espacios no preregulares se encuentran con mucha más frecuencia en el álgebra abstracta y la geometría algebraica, en particular como la topología de Zariski en una variedad algebraica o el espectro de un anillo. También surgen en la teoría de modelos de la lógica intuicionista: toda álgebra de Heyting completa es el álgebra de conjuntos abiertos de algún espacio topológico, pero este espacio no tiene por qué ser preregular, mucho menos Hausdorff, y de hecho normalmente no lo es. El concepto relacionado de dominio de Scott también consiste en espacios no preregulares.

Si bien la existencia de límites únicos para redes y filtros convergentes implica que un espacio es Hausdorff, hay espacios T₁ que no son Hausdorff en los que cada secuencia convergente tiene un límite único. Estos espacios se denominan espacios estadounidenses.

Propiedades

Los subespacios y los productos de los espacios de Hausdorff son Hausdorff, pero los espacios cocientes de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico se puede realizar como el cociente de algún espacio de Hausdorff.

Los espacios de Hausdorff son T1, lo que significa que todos los singletons están cerrados. De manera similar, los espacios preregulares son R0. Todo espacio de Hausdorff es un espacio de Sober, aunque lo contrario en general no es cierto.

Otra buena propiedad de los espacios de Hausdorff es que los conjuntos compactos siempre están cerrados. Para espacios que no son de Hausdorff, puede ser que todos los conjuntos compactos sean conjuntos cerrados (por ejemplo, la topología cocontable en un conjunto incontable) o no (por ejemplo, la topología cofinita en un conjunto infinito y el espacio de Sierpiński).

La definición de un espacio de Hausdorff dice que los puntos pueden estar separados por vecindades. Resulta que esto implica algo aparentemente más fuerte: en un espacio de Hausdorff todo par de conjuntos compactos disjuntos también pueden estar separados por vecindades, en otras palabras, hay una vecindad de un conjunto y una vecindad del otro, tal que los dos los barrios están separados. Este es un ejemplo de la regla general de que los conjuntos compactos a menudo se comportan como puntos.

Las condiciones de compacidad junto con la preregularidad a menudo implican axiomas de separación más fuertes. Por ejemplo, cualquier espacio preregular localmente compacto es completamente regular. Los espacios preregulares compactos son normales, lo que significa que satisfacen el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze y tienen particiones de unidad subordinadas a cubiertas abiertas localmente finitas. Las versiones de Hausdorff de estas declaraciones son: cada espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff, y cada espacio de Hausdorff compacto es Hausdorff normal.

Los siguientes resultados son algunas propiedades técnicas con respecto a mapas (continuos y de otro tipo) hacia y desde espacios de Hausdorff.

Vamos ${displaystyle f:Xto Sí.$ ser una función continua y suponer ${displaystyle Sí.$ Es Hausdorff. Luego el gráfico de ${displaystyle f}$, ${displaystyle {(x,f(x))mid xin X}}$, es un subconjunto cerrado de ${displaystyle Xtimes Y}$.

Vamos ${displaystyle f:Xto Sí.$ ser una función y dejar ${displaystyle operatorname {ker} (f)triangleq {(x,x')mid f(x)=f(x')}}$ ser su núcleo considerado como un subespacio ${displaystyle Xtimes X}$.

• Si ${displaystyle f}$ es continuo y ${displaystyle Sí.$ es Hausdorff entonces ${displaystyle ker(f)}$ está cerrado.
• Si ${displaystyle f}$ es un surjection abierto y ${displaystyle ker(f)}$ cerrado entonces ${displaystyle Sí.$ Es Hausdorff.
• Si ${displaystyle f}$ es un surjection continuo y abierto (es decir, un mapa de cociente abierto) entonces ${displaystyle Sí.$ es Hausdorff si y sólo si ${displaystyle ker(f)}$ está cerrado.

Si ${displaystyle f,g:Xto Y}$ son mapas continuos y ${displaystyle Sí.$ es Hausdorff entonces el ecualizador ${displaystyle {mbox{eq}(f,g)={xmid f(x)=g(x)}$ está cerrado ${displaystyle X}$. De ello se desprende que si ${displaystyle Sí.$ es Hausdorff y ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ acuerdo en un subconjunto denso ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle f=g}$. En otras palabras, las funciones continuas en los espacios de Hausdorff se determinan por sus valores en subconjuntos densos.

Vamos ${displaystyle f:Xto Sí.$ ser una solución cerrada de tal manera que ${displaystyle f^{-1}(y)}$ es compacto para todos ${displaystyle yin Y}$. Entonces si ${displaystyle X}$ Es Hausdorff así que ${displaystyle Sí.$.

Vamos ${displaystyle f:Xto Sí.$ ser un mapa de referencia con ${displaystyle X}$ un espacio Hausdorff compacto. Entonces los siguientes son equivalentes:

• ${displaystyle Sí.$ Es Hausdorff.
• ${displaystyle f}$ es un mapa cerrado.
• ${displaystyle ker(f)}$ está cerrado.

Preregularidad versus regularidad

Todos los espacios regulares son preregulares, al igual que todos los espacios de Hausdorff. Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados se mantienen para todos los espacios preregulares; se enumeraron para los espacios regulares y de Hausdorff por separado porque la idea de los espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente se refieren a la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la paracompacidad o la compacidad local) implicará regularidad si se cumple la preregularidad. Tales condiciones a menudo vienen en dos versiones: una versión regular y una versión Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son, en general, regulares, un espacio de Hausdorff que también es (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Así, desde cierto punto de vista, es realmente la preregularidad, más que la regularidad, lo que importa en estas situaciones. Sin embargo, las definiciones todavía se expresan en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que la preregularidad.

Consulte Historia de los axiomas de separación para obtener más información sobre este tema.

Variantes

Los términos "Hausdorff", "separado" y "preregular" también se puede aplicar a variantes de espacios topológicos como espacios uniformes, espacios de Cauchy y espacios de convergencia. La característica que une el concepto en todos estos ejemplos es que los límites de redes y filtros (cuando existen) son únicos (para espacios separados) o únicos hasta la indistinguibilidad topológica (para espacios preregulares).

Resulta que los espacios uniformes, y más generalmente los espacios de Cauchy, son siempre preregulares, por lo que la condición de Hausdorff en estos casos se reduce a la condición T₀. Estos son también los espacios en los que lo completo tiene sentido, y Hausdorffness es un compañero natural de lo completo en estos casos. Específicamente, un espacio es completo si y solo si cada red de Cauchy tiene al menos un límite, mientras que un espacio es Hausdorff si y solo si cada red de Cauchy tiene al menos un límite. (ya que solo las redes de Cauchy pueden tener límites en primer lugar).

Álgebra de funciones

El álgebra de funciones continuas (reales o complejas) en un espacio compacto de Hausdorff es un álgebra C* conmutativa y, a la inversa, mediante el teorema de Banach-Stone se puede recuperar la topología del espacio a partir de las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones continuas. Esto conduce a la geometría no conmutativa, donde se considera que las C*-álgebras no conmutativas representan álgebras de funciones en un espacio no conmutativo.

Humor académico

• La condición de Hausdorff es ilustrada por el juego de palabras que en los espacios de Hausdorff cualquier dos puntos puede ser "apropiado" entre sí por conjuntos abiertos.
• En el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn, en el que Félix Hausdorff investigó y dio conferencias, hay una determinada sala designada el Hausdorff-Raum. Esto es un juego de palabras, como Raum significa que ambos habitación y espacio en alemán.