Espacio de dimensión cero

En matemáticas, un espacio topológico de dimensión cero (o espacio nildimensional) es un espacio topológico que tiene dimensión cero con respecto a una de varias nociones no equivalentes de asignación de un dimensión de un espacio topológico dado. Una ilustración gráfica de un espacio nildimensional es un punto.

Definición

Específicamente:

• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura de Lebesgue si cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que es una cubierta por conjuntos abiertos descompuestos.
• Un espacio topológico es cero-dimensional con respecto a la dimensión de cobertura finita-a-finita si cada cubierta abierta finita del espacio tiene una refinamiento que es una cubierta abierta finita tal que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de esta refinamiento.
• Un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la pequeña dimensión inductiva si tiene una base consistente en conjuntos de clopen.

Las tres nociones anteriores coinciden en el caso de espacios separables y metrizables.

Propiedades de los espacios con pequeña dimensión inductiva cero

• Un espacio Hausdorff dimensional está necesariamente totalmente desconectado, pero el converso falla. Sin embargo, un espacio Hausdorff localmente compacto es de dimensión cero si y sólo si está totalmente desconectado. (Véase (Arhangel'skii " Tkachenko 2008, Proposición 3.1.7, p.136) para la dirección no-trivial.)
• Cerodimensional Los espacios polacos son un escenario particularmente conveniente para la teoría de conjuntos descriptivos. Ejemplos de estos espacios incluyen el espacio Cantor y el espacio Baire.
• Los espacios dimensionales de Hausdorff son precisamente los subespacios de los poderes topológicos ${displaystyle 2} {}}$ Donde ${displaystyle 2={0,1}$ se da la topología discreta. Tal espacio a veces se llama cubo Cantor. Si I es contablemente infinito, ${displaystyle 2} {}}$ es el espacio Cantor.

Múltiples

Todos los puntos de una variedad de dimensión cero están aislados.

En particular, la hiperesfera de dimensión cero es un par de puntos y la bola de dimensión cero es un solo punto.