Equilibrio hidrostático

Diagrama de un planeta recién formado en un estado de equilibrio hidrostático.

En mecánica de fluidos, el equilibrio hidrostático (equilibrio hidrostático, hidrostasis) es la condición de un fluido o sólido plástico en reposo, que se produce cuando las fuerzas externas, como la gravedad, se equilibran con una fuerza de gradiente de presión. En la física planetaria de la Tierra, la fuerza del gradiente de presión evita que la gravedad colapse la atmósfera planetaria en una capa delgada y densa, mientras que la gravedad evita que la fuerza del gradiente de presión difunda la atmósfera hacia el espacio exterior.

El equilibrio hidrostático es el criterio distintivo entre los planetas enanos y los cuerpos pequeños del sistema solar, y es característico de la astrofísica y la geología planetaria. Dicha calificación de equilibrio indica que la forma del objeto es simétricamente elipsoide, donde cualquier característica superficial irregular es consecuencia de una corteza sólida relativamente delgada. Además del Sol, se ha confirmado la existencia de una docena de objetos en equilibrio en el Sistema Solar.

Consideraciones matemáticas

Si el volumen resaltado de líquido no se está acelerando, las fuerzas en él hacia arriba deben igualar las fuerzas hacia abajo.

Para un fluido hidrostático en la Tierra:

dP=− − *** *** ()P)⋅ ⋅ g()h)⋅ ⋅ dh{displaystyle dP=-rho (P)cdot g(h)cdot dh}

Derivación de la suma de fuerzas

Las leyes de movimiento de Newton establecen que un volumen de un fluido que no está en movimiento o que está en un estado de velocidad constante debe tener una fuerza neta cero sobre él. Esto significa que la suma de las fuerzas en una dirección dada debe oponerse a una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se llama equilibrio hidrostático.

El fluido se puede dividir en una gran cantidad de elementos de volumen paralelepipédico; considerando un solo elemento, se puede derivar la acción del fluido.

Hay tres fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del paralelepípedo de la presión, P, del fluido sobre él es, de la definición de presión,

Farriba=− − Parriba⋅ ⋅ A{displaystyle F_{text{top}=-P_{text{top}cdot A}

Del mismo modo, la fuerza sobre el elemento de volumen de la presión del fluido debajo empujando hacia arriba es

Finferior=Pinferior⋅ ⋅ A{displaystyle F_{text{bottom}=P_{text{bottom}cdot A}

Finalmente, el peso del elemento de volumen provoca una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ, el volumen es V y g la gravedad estándar, entonces:

Fpeso=− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ V{displaystyle F_{text{weight}=-rho cdot gcdot V}

El volumen de este paralelepípedo es igual al área de la parte superior o inferior multiplicada por la altura: la fórmula para encontrar el volumen de un cubo.

Fpeso=− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ A⋅ ⋅ h{displaystyle F_{text{weight}=-rho cdot gcdot Acdot h}

Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es

.. F=Finferior+Farriba+Fpeso=Pinferior⋅ ⋅ A− − Parriba⋅ ⋅ A− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ A⋅ ⋅ h{displaystyle sum F=F_{text{bottom}+F_{text{top}+F_{text{weight}=P_{text{bottom}}cdot A-P_{text{top}cdot A-rho cdot gcdot Acdot h}

Esta suma es igual a cero si la velocidad del fluido es constante. Dividiendo por A,

0=Pinferior− − Parriba− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ h{displaystyle 0=P_{text{bottom}-P_{text{top}-rho cdot gcdot h}

O,

Parriba− − Pinferior=− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ h{displaystyle P_{text{top}-P_{text{bottom}=-rho cdot gcdot h}

P_arriba − P_abajo es un cambio en la presión, y h es la altura del elemento de volumen, un cambio en la distancia sobre el suelo. Al decir que estos cambios son infinitesimalmente pequeños, la ecuación se puede escribir en forma diferencial.

dP=− − *** *** ⋅ ⋅ g⋅ ⋅ dh{displaystyle dP=-rho cdot gcdot dh}

La densidad cambia con la presión y la gravedad cambia con la altura, por lo que la ecuación sería:

dP=− − *** *** ()P)⋅ ⋅ g()h)⋅ ⋅ dh{displaystyle dP=-rho (P)cdot g(h)cdot dh}

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Observe finalmente que esta última ecuación se puede derivar resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde

u=v=∂ ∂ p∂ ∂ x=∂ ∂ p∂ ∂ Sí.=0{displaystyle u=v={frac {partial p}{partial #={frac {partial p}{partial Sí.

Entonces la única ecuación no-trivial es la z{displaystyle z}- ecuación, que ahora lee

∂ ∂ p∂ ∂ z+*** *** g=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnK}rho g=0}

Por lo tanto, el equilibrio hidrostático se puede considerar como una solución de equilibrio particularmente simple de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Derivación de la relatividad general

Conectando el tensor de momento de energía para un fluido perfecto

Tμ μ .. =()*** *** c− − 2+P)uμ μ u.. +Pgμ μ .. {displaystyle ¿Qué?

en las ecuaciones de campo de Einstein

Rμ μ .. =8π π Gc4()Tμ μ .. − − 12gμ μ .. T){displaystyle R_{munu}={frac {8pi G} {c^{4}}left(T_{mu nu }-{frac {1}{2}g_{munu }Tright)}

y usando la condición de conservación

Silencio Silencio μ μ Tμ μ .. =0{displaystyle nabla _{mumunu }=0}

Se puede derivar la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para la estructura de una estrella relativista estática, esféricamente simétrica en coordenadas isotrópicas:

dPdr=− − GM()r)*** *** ()r)r2()1+P()r)*** *** ()r)c2)()1+4π π r3P()r)M()r)c2)()1− − 2GM()r)rc2)− − 1{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {cc}}} {c} {c}}c}}}c}ccc} {cc} {cc}}c}c}cc}c}ccc}c}c}c}ccc}cccc}cc}c}ccccccc}c}ccccc}ccc}ccccccccc}c}ccc}c}c}cc}cccc}ccc}c}c

En la práctica, Ρ y ρ están relacionados por una ecuación de estado de la forma f(Ρ,ρ) = 0, con f específico para la composición de la estrella. M(r) es una foliación de esferas ponderada por la densidad de masa ρ(r), con la mayor esfera de radio r:

M()r)=4π π ∫ ∫ 0rdr.r.2*** *** ()r.).{displaystyle M(r)=4piint ¿Qué?

Por procedimiento estándar al tomar el límite no relativista, hacemos c→∞, de modo que el factor

()1+P()r)*** *** ()r)c2)()1+4π π r3P()r)M()r)c2)()1− − 2GM()r)rc2)− − 1→ → 1{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicroc} {f} {fnK} {c} {ccc}}} {cc}}} {ccccc}} {cc}}} {cc}}}}}}}}} {ccc}}}}}}}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 1}

Por lo tanto, en el límite no relativista, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduce al equilibrio hidrostático de Newton:

dPdr=− − GM()r)*** *** ()r)r2=− − g()r)*** *** ()r)restablecimiento restablecimiento dP=− − *** *** ()h)g()h)dh{displaystyle {frac {dr}=-{frac {GM(r)rho (r)}{r^{2}}}=-g(r),rho (r)longrightarrow dP=-rho (h),g(h),dh}

(hemos hecho el cambio de notación trivial h = r y hemos usado f(Ρ,ρ) = 0 para expresar ρ en términos de P). Se puede calcular una ecuación similar para estrellas giratorias axialmente simétricas, que en su forma independiente de calibre dice:

∂ ∂ iPP+*** *** − − ∂ ∂ iIn⁡ ⁡ ut+utuφ φ ∂ ∂ iuφ φ ut=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ¿Por qué? ¿Qué? }partial _{i}{frac {fnK} }{u_{t}=0}

A diferencia de la ecuación de equilibrio TOV, estas son dos ecuaciones (por ejemplo, si como es habitual cuando se trata de estrellas, uno elige coordenadas esféricas como coordenadas de base ()t,r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (t,r,thetavarphi)}, el índice i corre para las coordenadas r y Silencio Silencio {displaystyle theta }).

Aplicaciones

Fluidos

El equilibrio hidrostático pertenece a la hidrostática y los principios de equilibrio de fluidos. Una balanza hidrostática es una balanza especial para pesar sustancias en agua. El equilibrio hidrostático permite el descubrimiento de sus pesos específicos. Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal está en flujo laminar horizontal constante y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades de flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea insignificante.

Astrofísica

En cualquier capa dada de una estrella, existe un equilibrio hidrostático entre la presión térmica hacia el exterior desde abajo y el peso del material de arriba que presiona hacia el interior. El campo gravitacional isotrópico comprime la estrella en la forma más compacta posible. Una estrella giratoria en equilibrio hidrostático es un esferoide achatado hasta una cierta velocidad angular (crítica). Un ejemplo extremo de este fenómeno es la estrella Vega, que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es un 20% más grande en el ecuador que en los polos. Una estrella con una velocidad angular por encima de la velocidad angular crítica se convierte en un elipsoide de Jacobi (escaleno), y con una rotación aún más rápida ya no es elipsoidal sino piriforme u oviforme, con otras formas más allá de eso, aunque las formas más allá del escaleno no son estables.

Si la estrella tiene un objeto compañero masivo cercano, las fuerzas de marea también entran en juego, distorsionando la estrella en una forma escalena cuando la rotación por sí sola la convertiría en un esferoide. Un ejemplo de esto es Beta Lyrae.

El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intracúmulo, donde restringe la cantidad de fluido que puede estar presente en el núcleo de un cúmulo de galaxias.

También podemos utilizar el principio del equilibrio hidrostático para estimar la dispersión de velocidad de la materia oscura en racimos de galaxias. Sólo la materia bariónica (o, más bien, sus colisiones) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de rayos X por volumen de unidad toma la forma LX=▪ ▪ ()TB)*** *** B2{displaystyle {mathcal {}_{X}=Lambda (T_{B})rho ¿Qué? Donde TB{displaystyle T_{B} y *** *** B{displaystyle rho _{B} son la temperatura y densidad de la materia bariónica, y ▪ ▪ ()T){displaystyle Lambda (T)} es una función de temperatura y constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior dP=− − *** *** gdr{displaystyle dP=-rho gdr}:

pB()r+dr)− − pB()r)=− − dr*** *** B()r)Gr2∫ ∫ 0r4π π r2*** *** M()r)dr.{displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{frac {rho _{B}(r)G}{r^{2}}int ¿Qué?

La integral es una medida de la masa total del grupo, con r{displaystyle r} siendo la distancia adecuada al centro del cluster. Usando la ley de gas ideal pB=kTB*** *** B/mB{displaystyle P_{B}=kT_{B}rho ¿Qué? ()k{displaystyle k} es la constante de Boltzmann y mB{displaystyle m_{B} es una masa característica de las partículas de gas bariónico) y reorganización, llegamos a

ddr()kTB()r)*** *** B()r)mB)=− − *** *** B()r)Gr2∫ ∫ 0r4π π r2*** *** M()r)dr.{displaystyle {frac {fnh}left {fnMicroc} {fnMicroc} {kT_{B}(r)rho _{B} {m_{B}right)=-{frac {rho _{B}(r)G}{r^{2}}int ¿Qué?

Multiplying by r2/*** *** B()r){displaystyle r^{2}/rho _{B}(r)} y diferenciación con respecto a r{displaystyle r} rendimientos

ddr[r2*** *** B()r)ddr()kTB()r)*** *** B()r)mB)]=− − 4π π Gr2*** *** M()r).{displaystyle {frac {d}left {frac {f}{f}{f} {f} {fn} {fn}}} {fn}fn}fn}fnh}fn} {fnh}f} {f}fnh}f}f}fnh}f}f}fnh}f}fnh}f}fnh}f}fnh}f}f}fnh}f}f}f}fnKb}fnh}fnh}fnh}f}f}fnhnh}b}fnh}fnh}f}fnh}fnh}f}fnh}fnh}fnhnh}b}fnh}f}fnh}f}fn {kT_{B}(r)rho _{B} {m_{B}right)=-4pi) Gr^{2}rho _{M}(r).}

Si hacemos la suposición de que las partículas de materia oscura fría tienen una distribución de velocidad isotrópica, entonces la misma derivación se aplica a estas partículas, y su densidad *** *** D=*** *** M− − *** *** B{displaystyle rho ¿Qué? ¿Qué? satisfizo la ecuación diferencial no lineal

ddr[r2*** *** D()r)ddr()kTD()r)*** *** D()r)mD)]=− − 4π π Gr2*** *** M()r).{fnMicrosoft} {fnK} {fnMicroc {f} {fnh} {fnh} {f} {fn}} {fn}fnh}fnMicroc {fnK} {f}} {f}f}fnMicroc}} {f}f}f}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnhnh}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnhnhnhnh}f}f}f}fnh}f}f} Gr^{2}rho _{M}(r).}

Con rayos X perfectos y datos de distancia, podríamos calcular la densidad de baryon en cada punto del cluster y así la densidad de materia oscura. Podríamos calcular la dispersión de velocidad σ σ D2{displaystyle sigma _{2}} de la materia oscura, que es dada por

σ σ D2=kTDmD.{displaystyle sigma ¿Qué? {kT_{D} {m_{D}}}

La relación de densidad central *** *** B()0)/*** *** M()0){displaystyle rho _{B}(0)/rho _{M}(0)} depende del cambio rojo z{displaystyle z} del grupo y es dado por

*** *** B()0)/*** *** M()0)∝ ∝ ()1+z)2()Silencio Silencio s)3/2{displaystyle rho _{B}(0)/rho _{M}(0)propto (1+z)^{2}left({frac {theta}{s}right)}{3/2}}}

Donde Silencio Silencio {displaystyle theta } es la anchura angular del racimo y s{displaystyle s} la distancia adecuada al grupo. Los valores de la relación oscilan entre el 11 y el 14 para varias encuestas.

Geología planetaria

El concepto de equilibrio hidrostático también se ha vuelto importante para determinar si un objeto astronómico es un planeta, un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar. De acuerdo con la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y los planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Tal cuerpo a menudo tendrá el interior diferenciado y la geología de un mundo (un planemo), aunque los cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos, como el protoplaneta 4 Vesta, también pueden diferenciarse y algunos cuerpos hidrostáticos (notablemente Calisto) no se han diferenciado completamente. diferenciados desde su formación. A menudo, la forma de equilibrio es un esferoide achatado, como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en los casos de lunas en órbita síncrona, las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno. Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque es posible que actualmente no esté en equilibrio.

Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396 km, mientras que el objeto helado más grande que se sabe que tiene una forma obviamente no equilibrada es la luna helada Proteo a 420 km, y los cuerpos rocosos más grandes en un obviamente forma de no equilibrio son los asteroides Palas y Vesta a unos 520 km. Sin embargo, Mimas no está realmente en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño que se ha confirmado que está en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres, que es helado, a 945 km, mientras que el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto, que está hecho principalmente de hielo permeable y casi nada de roca. A 1469 km, Jápeto no es ni esférico ni elipsoide. En cambio, tiene una extraña forma de nuez debido a su única cresta ecuatorial. Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio al menos en parte debido a un océano subterráneo, que no es la definición de equilibrio utilizada por la IAU (gravedad superando las fuerzas internas de cuerpo rígido). Incluso los cuerpos más grandes se desvían del equilibrio hidrostático, aunque son elipsoidales: ejemplos son la Luna de la Tierra a 3474 km (principalmente roca) y el planeta Mercurio a 4880 km (principalmente metal).

Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser consistentes con el equilibrio global. Por ejemplo, la base masiva de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea, ha deformado y reducido el nivel de la corteza circundante, de modo que la distribución general de la masa se aproxima al equilibrio.

Modelado atmosférico

En la atmósfera, la presión del aire disminuye al aumentar la altitud. Esta diferencia de presión provoca una fuerza hacia arriba llamada fuerza de gradiente de presión. La fuerza de la gravedad equilibra esto, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y manteniendo las diferencias de presión con la altitud.

Gemología

Los gemólogos utilizan balanzas hidrostáticas para determinar la gravedad específica de las piedras preciosas. Un gemólogo puede comparar la gravedad específica que observa con una balanza hidrostática con un catálogo estandarizado de información para piedras preciosas, ayudándole a reducir la identidad o el tipo de piedra preciosa que está examinando.