Número de Prandtl

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El Número de Prandtl (Pr) o grupo de Prandtl, es un número adimensional que representa la relación entre la difusividad cinemática y térmica en un fluido. Así, el Número de Prandtl se define como la relación entre la difusividad del momento (viscosidad cinemática) y la difusividad térmica. Este número adimensional ayuda a entender cómo se relaciona el transporte de cantidad de movimiento con el transporte de calor dentro del fluido.

Este concepto lleva el nombre del físico alemán Ludwig Prandtl, quien hizo aportes cruciales para el desarrollo de la teoría moderna de la mecánica de fluidos. El Número de Prandtl es de gran relevancia en el campo de la dinámica de fluidos, pues permite para analizar y predecir los patrones de flujo y transferencia de calor en diferentes medios, siendo clave en el diseño y análisis de sistemas que involucran transferencia de calor, como intercambiadores de calor, sistemas de refrigeración y procesos industriales.

La fórmula del número de Prandtl es:

{displaystyle mathrm {Pr} ={frac {nu }{alpha }}={frac {mbox{momentum diffusivity}}{mbox{thermal diffusivity}}}={frac {mu /rho }{k/(c_{p}rho)}}={frac {c_{p}mu }{k}}}

donde:

$nu$ : difusividad de ímpetu (viscosidad cinemática) es $nu =mu /rho$ , (unidades SI: m²/s)
$alpha$ : difusividad térmica es $alpha =k/(rho c_{p})$ , (unidades SI: m²/s)
$mu$ : viscosidad dinámica, (unidades SI: Pa s = N s/m²)
$k$ : conductividad térmica, (unidades SI: W/(m·K))
$c_{p}$ : calor específico, (unidades SI: J/(kg·K))
$rho$ : densidad, (unidades SI: kg/m³)

Debe tenerse en cuenta que a diferencia de otros números adimensionales como el Número de Reynolds y el Número de Grashof, el Número de Prandtl no incorpora una escala de longitud, siendo su valor determinado exclusivamente por las características del fluido y su estado. En la práctica, el Número de Prandtl se encuentra habitualmente en tablas de propiedades de fluidos, junto a otras propiedades importantes como la viscosidad y la conductividad térmica.

Además, es interesante destacar la relación del Número de Prandtl con otros números adimensionales en el campo de la dinámica de fluidos. Por ejemplo, el Número de Schmidt, es el análogo de transferencia de masa del Número de Prandtl, y el Número de Lewis, describe la relación entre el transporte de masa y el transporte de calor, estando estrechamente vinculados con el Número de Prandtl. Estas relaciones son fundamentales para comprender los procesos de transferencia de masa y calor en diferentes medios.

HSD

Valores experimentales

Valores típicos

Para la mayoría de los gases en un amplio rango de temperatura y presión, Pr es aproximadamente constante. Por lo tanto, se puede utilizar para determinar la conductividad térmica de gases a altas temperaturas, donde es difícil de medir experimentalmente debido a la formación de corrientes de convección.

Los valores típicos para Pr son:

0,003 para el potasio fundido a 975 K
alrededor de 0.015 para el mercurio
0.065 para litio fundido a 975 K
alrededor 0.16–0.7 para mezclas de gases nobles o gases nobles con hidrógeno
0.63 para oxígeno
alrededor de 0,71 para el aire y muchos otros gases
1.38 para amoníaco gaseoso
entre 4 y 5 para refrigerante R-12
alrededor de 7.56 para el agua (A 18 °C)
13.4 y 7.2 para el agua de mar (a 0 °C y 20 °C respectivamente)
50 para n- peroanol
entre 100 y 40.000 para aceite de motor
1000 para glicerol
10.000 para derretimientos de polímero
alrededor de 1×10²⁵ para el manto de la Tierra.

Fórmula para el cálculo del número de Prandtl de aire y agua

Para aire con una presión de 1 bar, los números de Prandtl en el rango de temperatura entre −100 °C y +500 °C se pueden calcular utilizando la fórmula que se proporciona a continuación. La temperatura se utilizará en la unidad de grado Celsius. Las desviaciones son un máximo del 0,1 % de los valores de la literatura.

${displaystyle mathrm {Pr} _{text{air}}={frac {10^{9}}{1.1cdot vartheta ^{3}-1200cdot vartheta ^{2}+322000cdot vartheta +1.393cdot 10^{9}}}}$

Los números de Prandtl para agua (1 bar) se pueden determinar en el rango de temperatura entre 0 °C y 90 °C utilizando la fórmula que se proporciona a continuación. La temperatura se utilizará en la unidad de grado Celsius. Las desviaciones son un máximo del 1 % de los valores de la literatura.

${displaystyle mathrm {Pr} _{text{water}}={frac {50000}{vartheta ^{2}+155cdot vartheta +3700}}}$

Interpretación Física

Los valores pequeños del número de Prandtl, $Pr ≪ 1$ , significan que domina la difusividad térmica. Mientras que con valores grandes, $Pr ≫ 1$ , la difusividad del impulso domina el comportamiento.
Por ejemplo, el valor indicado para el mercurio líquido indica que la conducción de calor es más significativa en comparación con la convección, por lo que la difusividad térmica es dominante.
Sin embargo, para el aceite de motor, la convección es muy eficaz en la transferencia de energía de un área en comparación con la conducción pura, por lo que la difusividad del momento es dominante.

Los números de Prandtl de los gases son aproximadamente 1, lo que indica que tanto el impulso como el calor se disipan a través del fluido aproximadamente a la misma velocidad. El calor se difunde muy rápidamente en los metales líquidos ( $Pr ≪ 1$ ) y muy lentamente en los aceites ( $Pr ≫ 1$ ) en relación con el impulso. En consecuencia, la capa límite térmica es mucho más gruesa para los metales líquidos y mucho más delgada para los aceites en relación con la capa límite de velocidad.

En los problemas de transferencia de calor, el número de Prandtl controla el grosor relativo de las capas límite térmicas y de impulso. Cuando $Pr$ es pequeño, significa que el calor se difunde rápidamente en comparación con la velocidad (momentum). Esto significa que, para los metales líquidos, la capa límite térmica es mucho más gruesa que la capa límite de velocidad.

En las capas límite laminares, la relación entre el espesor de la capa límite térmica y la cantidad de movimiento sobre una placa plana se aproxima bien mediante

{displaystyle {frac {delta _{t}}{delta }}=mathrm {Pr} ^{-{frac {1}{3}}},quad 0.6leq mathrm {Pr} leq 50,}

Donde ${displaystyle delta _{t}}$ es el espesor de la capa de límite térmico y $delta$ es el espesor de la capa de límite de impulso.

Para el flujo incompresible sobre una placa plana, las dos correlaciones de números de Nusselt son asintóticamente correctas:

{displaystyle mathrm {Nu} _{x}=0.339mathrm {Re} _{x}^{frac {1}{2}}mathrm {Pr} ^{frac {1}{3}},quad mathrm {Pr} to infty}

{displaystyle mathrm {Nu} _{x}=0.565mathrm {Re} _{x}^{frac {1}{2}}mathrm {Pr} ^{frac {1}{2}},quad mathrm {Pr} to 0,}

Donde ${mathrm {Re}}$ es el número Reynolds. Estas dos soluciones asintomáticas se pueden combinar con el concepto de la norma (matemática):

\mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}}}{\left(1+\left({\frac {0.0468}{\mathrm {Pr} }}\right)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.

Número de Prandtl

Valores experimentales

Valores típicos

Fórmula para el cálculo del número de Prandtl de aire y agua

Interpretación Física

Transformación de la energía

Número de Nusselt

Constante de Stefan-Boltzmann