Entero

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Número en..., –2, –1, 0, 1, 2,...

El símbolo de doble filo, a menudo utilizado para denotar el conjunto de todos los enteros (ver Z)

An entero es el número cero (0), un número natural positivo (1, 2, 3, etc.) o un entero negativo con un signo menos (1, −2, −3, etc.). Los números negativos son los inversos aditivos de los números positivos correspondientes. En el lenguaje de las matemáticas, el conjunto de enteros es a menudo denotado por la cara audaz $Z$ o blackboard bold $mathbb {Z}$ .

El conjunto de números naturales $mathbb {N}$ es un subconjunto de $mathbb {Z}$ , que a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales $mathbb {Q}$ , en sí mismo un subconjunto de los números reales $mathbb {R}$ . Como los números naturales, $mathbb {Z}$ es contablemente infinito. Un entero puede ser considerado como un número real que puede ser escrito sin un componente fraccional. Por ejemplo, 21, 4, 0 y 2048 son enteros, mientras que 9.75, 5+1/2, y $\sqrt 2$ no lo son.

Los enteros forman el grupo más pequeño y el anillo más pequeño que contiene los números naturales. En la teoría algebraica de números, los números enteros a veces se califican como enteros racionales para distinguirlos de los enteros algebraicos más generales. De hecho, los números enteros (racionales) son números enteros algebraicos que también son números racionales.

Historia

La palabra entero proviene del latín entero que significa "entero" o (literalmente) "sin tocar", de en ("no") más tangere ("tocar"). "Entero" deriva del mismo origen a través de la palabra francesa entier, que significa tanto entero como entero. Históricamente, el término se usaba para un número que era múltiplo de 1, o para la parte entera de un número mixto. Solo se consideraron los números enteros positivos, lo que hizo que el término fuera sinónimo de los números naturales. La definición de entero se expandió con el tiempo para incluir números negativos a medida que se reconocía su utilidad. Por ejemplo, Leonhard Euler en sus Elementos de álgebra de 1765 definió los números enteros para incluir tanto números positivos como negativos. Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del siglo XIX.

El uso de la letra Z para denotar el conjunto de números enteros proviene de la palabra alemana Zahlen ("número") y se ha atribuido a David Hilbert. El primer uso conocido de la notación en un libro de texto ocurre en Algébre escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki, que data de 1947. La notación no se adoptó de inmediato, por ejemplo, otro libro de texto usó la letra J y un artículo de 1960 usó Z para denotar el no- enteros negativos. Pero en 1961, los textos de álgebra moderna generalmente usaban Z para denotar los números enteros positivos y negativos.

El símbolo $mathbb {Z}$ a menudo se anota para denotar varios conjuntos, con uso variable entre diferentes autores: $mathbb {Z} ^{+}$ , ${mathbb {Z}}_{+}$ o $}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Z■{displaystyle mathbb {Z} {} {}}}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b674b889017afcd24e7b7d296f6d1746cefd2d94" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.061ex; height:2.509ex;"/>$ para los enteros positivos, ${displaystyle mathbb {Z} ^{0+}}$ o ${displaystyle mathbb {Z} ^{geq }}$ para los enteros no negativos, y ${displaystyle mathbb {Z} ^{neq }}$ para enteros no cero. Algunos autores utilizan ${displaystyle mathbb {Z} ^{*}}$ para enteros no cero, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para ${-1, 1}$ (el grupo de unidades de $mathbb {Z}$ ). Además, ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ se utiliza para denotar el conjunto de enteros modulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de enteros), o el conjunto de enteros p-adic.

Los números enteros eran sinónimos de los números enteros hasta principios de la década de 1950. A fines de la década de 1950, como parte del movimiento New Math, los maestros de escuelas primarias estadounidenses comenzaron a enseñar que los "números enteros" se refiere a los números naturales, excluyendo los números negativos, mientras que "entero" incluye los números negativos. "Número entero" sigue siendo ambiguo hasta el día de hoy.

Propiedades algebraicas

Los números enteros pueden ser considerados como puntos discretos, igualmente espaciados en una línea número infinitamente larga. En lo anterior, los enteros no negativos se muestran en enteros azules y negativos en rojo.

Como los números naturales, $mathbb {Z}$ se cierra bajo las operaciones de adición y multiplicación, es decir, la suma y el producto de cada dos enteros es un entero. Sin embargo, con la inclusión de los números naturales negativos (y importante, 0), $mathbb {Z}$ , a diferencia de los números naturales, también se cierra bajo resta.

Los enteros forman un anillo unitario que es el más básico, en el siguiente sentido: para cualquier anillo unitario, hay un homomorfismo anillo único de los enteros en este anillo. Esta propiedad universal, a saber, ser un objeto inicial en la categoría de anillos, caracteriza el anillo $mathbb {Z}$ .

$mathbb {Z}$ no está cerrado bajo división, ya que el cociente de dos enteros (por ejemplo, 1 dividido por 2) no necesita ser un entero. Aunque los números naturales están cerrados bajo la exponencia, los enteros no son (ya que el resultado puede ser una fracción cuando el exponente es negativo).

La siguiente tabla enumera algunas de las propiedades básicas de la suma y la multiplicación de cualquier número entero $a$ , $b$ y $c$ :

Propiedades de adición y multiplicación en enteros
	Adición	Multiplicación
Cierre:	$a + b$ es un entero	$a \times b$ es un entero
Asociación:	$a + b + c) = a + b) + c$	$a \times b \times c) = a \times b) \times c$
Comunitario:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Existencia de un elemento de identidad:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
Existencia de elementos inversos:	$a + (- a) = 0$	Los únicos enteros invertibles (llamados unidades) son $-1$ y $1$ .
Distribución:	$a \times b + c) = a \times b) + (a \times c)$ y $() a + b) \times c = a \times c) + (b \times c)$
No hay divisores cero:		Si $a \times b = 0$ , entonces $a = 0$ o $b = 0$ (o ambas)

Las cinco primeras propiedades enumeradas anteriormente para adición dicen que $mathbb {Z}$ , además, es un grupo abeliano. También es un grupo cíclico, ya que cada entero no cero puede ser escrito como una suma finita 1 + 1 +... + 1 o (1) – (−1) +... + (−1). De hecho, $mathbb {Z}$ subsidiaria sólo grupo cíclico infinito - en el sentido de que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $mathbb {Z}$ .

Las primeras cuatro propiedades enumeradas anteriormente para la multiplicación dicen que $mathbb {Z}$ bajo la multiplicación es un monoide conmutativo. Sin embargo, no todo entero tiene un inverso multiplicativo (como es el caso del número 2), lo que significa que $mathbb {Z}$ bajo la multiplicación no es un grupo.

Todas las reglas de la tabla de propiedades arriba (excepto las últimas), cuando se toman juntas, dicen que $mathbb {Z}$ junto con la adición y la multiplicación es un anillo comunicativo con la unidad. Es el prototipo de todos los objetos de tal estructura algebraica. Sólo esas igualdades de expresiones son ciertas $mathbb {Z}$ para todos los valores de variables, que son verdaderos en cualquier anillo comunicativo unitario. Ciertos enteros no cero mapa a cero en ciertos anillos.

La falta de cero divisores en los enteros (última propiedad en la tabla) significa que el anillo conmutativo $mathbb {Z}$ es un dominio integral.

La falta de inversos multiplicadores, que equivale al hecho de que $mathbb {Z}$ no está cerrado bajo división, significa que $mathbb {Z}$ es no un campo. El campo más pequeño que contiene los enteros como subring es el campo de los números racionales. El proceso de construcción de los fundamentos de los enteros puede ser imitado para formar el campo de fracciones de cualquier dominio integral. Y atrás, a partir de un campo número algebraico (una extensión de números racionales), su anillo de enteros se puede extraer, que incluye $mathbb {Z}$ como su subing.

Aunque la división ordinaria no se define en $mathbb {Z}$ , la división "con el resto" se define en ellos. Se llama división Euclideana, y posee la siguiente propiedad importante: dadas dos enteros $a$ y $b$ con $b ل 0$ , existen enteros únicos $q$ y $r$ tales que $a = q \times b + r$ y $0 \leq r ANTERIOR b Silencio$ , donde $Silencio b Silencio$ denota el valor absoluto de $b$ . El entero $q$ se llama quotient y $r$ se llama resto de la división de $a$ por $b$ . El algoritmo de Euclidean para calcular los divisores más grandes comunes funciona por una secuencia de divisiones de Euclidean.

Lo anterior dice que $mathbb {Z}$ es un dominio Euclidean. Esto implica que $mathbb {Z}$ es un dominio ideal principal, y cualquier entero positivo puede ser escrito como los productos de primos de una manera esencialmente única. Este es el teorema fundamental de la aritmética.

Propiedades teóricas de orden

$mathbb {Z}$ es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior o inferior. Ordenación de $mathbb {Z}$ es dado por: $:... -3 -2 0 - 1 0 0 0 0 3 0 3$ Un entero es positivo si es mayor que cero, y negativo si es menos que cero. Cero no se define como negativo ni positivo.

La ordenación de números enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera:

si $a . b$ y $c . d$ , entonces $a + c . b + d$
si $a . b$ y $0 c$ , entonces $ac . bc$ .

Así pues, sigue que $mathbb {Z}$ junto con el pedido anterior es un anillo ordenado.

Los números enteros son el único grupo abeliano totalmente ordenado no trivial cuyos elementos positivos están bien ordenados. Esto es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo de valoración noetheriano es un campo o un anillo de valoración discreto.

Construcción

Desarrollo tradicional

En la enseñanza primaria, los enteros a menudo se definen intuitivamente como la unión de los números naturales (positivos), cero, y las negaciones de los números naturales. Esto se puede formalizar de la siguiente manera. Primera construcción del conjunto de números naturales según los axiomas de Peano, llame a esto $P$ . Entonces construir un conjunto $P^{-}$ que está descomunada $P$ y en una sola correspondencia con $P$ a través de una función $psi$ . Por ejemplo, tome $P^{-}$ para ser los pares ordenados ${displaystyle (1,n)}$ con la asignación ${displaystyle psi =nmapsto (1,n)}$ . Finalmente dejar 0 ser un objeto no en $P$ o $P^{-}$ , por ejemplo el par ordenado $(0,0)$ . Entonces los enteros se definen como el sindicato ${displaystyle Pcup P^{-}cup {0}}$ .

Las operaciones aritméticas tradicionales se pueden definir en los números enteros por partes, para cada uno de los números positivos, números negativos y cero. Por ejemplo, la negación se define de la siguiente manera:

{displaystyle -x={begin{cases}psi (x),&{text{if }}xin P\psi ^{-1}(x),&{text{if }}xin P^{-}\0,&{text{if }}x=0end{cases}}}

El estilo tradicional de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética debe definirse en cada combinación de tipos de enteros) y hace que sea tedioso demostrar que los enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética.

Clases de equivalencia de pares ordenados

Los puntos rojos representan pares ordenados de números naturales. Los puntos rojos vinculados son clases de equivalencia que representan los enteros azules al final de la línea.

En las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se utiliza una construcción más abstracta que permite definir operaciones aritméticas sin distinción de casos. Los enteros se pueden construir formalmente como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales $(a, b)$ .

La intuición es que $(a, b)$ representa el resultado de restar $b$ de $a$ . Para confirmar nuestra expectativa de que 1 − 2 y 4 − 5 denoten el mismo número, definimos una relación de equivalencia $~$ en estos pares con la siguiente regla:

{displaystyle (a,b)sim (c,d)}

precisamente cuando

{displaystyle a+d=b+c.}

La suma y la multiplicación de números enteros se pueden definir en términos de las operaciones equivalentes en los números naturales; usando $[(a, b)]$ para indicar la clase de equivalencia que tiene $(a, b)$ como miembro, uno tiene:

{displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}

{displaystyle [(a,b)]cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}

La negación (o inverso aditivo) de un número entero se obtiene invirtiendo el orden del par:

{displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}

Por lo tanto, la resta se puede definir como la suma del inverso aditivo:

{displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}

El orden estándar de los números enteros viene dado por:

<math alttext="{displaystyle [(a,b)][()a,b)].[()c,d)][(c,d)] <img alt="{displaystyle [(a,b)]

<math alttext="{displaystyle a+d a+d.b+c.{displaystyle a+dcantab+c.} <img alt="{displaystyle a+d

Se verifica fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia tiene un miembro único que tiene la forma $(n,0)$ o $(0, n)$ (o ambos a la vez). El número natural $n$ se identifica con la clase $[(n,0)]$ (es decir, los números naturales se incrustan en los enteros mediante el envío del mapa $n$ a $[(n,0)]$ ), y la clase $[(0, n)]$ se denota $- n$ (esto cubre todas las clases restantes y le da a la clase $[(0,0)]$ una segunda vez desde $-0 = 0.$

Por lo tanto, $[(a, b)]$ se denota por

$<math alttext="{displaystyle {begin{cases}a-b,&{mbox{if }}ageq b\-(b-a),&{mbox{if }}a{}a− − b,sia≥ ≥ b− − ()b− − a),sia.b.{displaystyle {begin{cases}a-b, limit{mbox{if }ageq b\-(b-a), limit{mbox{if }a obedecidob.end{cases}}}}<img alt="{begin{cases}a-b,&{mbox{if }}ageq b\-(b-a),&{mbox{if }}a$

Si los números naturales se identifican con los enteros correspondientes (utilizando la incrustación mencionada anteriormente), esta convención no genera ambigüedad.

Esta notación recupera la representación familiar de los números enteros como ${..., -2, -1, 0, 1, 2,...}$ .

Algunos ejemplos son:

${begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=cdots &&=[(k,k)]\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=cdots &&=[(k+1,k)]\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=cdots &&=[(k,k+1)]\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=cdots &&=[(k+2,k)]\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=cdots &&=[(k,k+2)].end{aligned}}$

Otros enfoques

En informática teórica, los probadores de teoremas automatizados y los motores de reescritura de términos utilizan otros enfoques para la construcción de números enteros. Los números enteros se representan como términos algebraicos construidos usando algunas operaciones básicas (por ejemplo, cero, succ, pred) y, posiblemente, usando números naturales, que se supone que ya están construidos (utilizando, por ejemplo, el enfoque de Peano).

Existen al menos diez construcciones de este tipo de enteros con signo. Estas construcciones difieren en varios aspectos: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (generalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones sean constructores libres o no, es decir, que un mismo entero pueda representarse utilizando sólo uno o varios términos algebraicos.

La técnica para la construcción de enteros presentados en la sección anterior corresponde al caso particular donde hay una sola operación básica par $(x,y)$ que toma como argumentos dos números naturales $x$ y $y$ , y devuelve un entero (igual a $x-y$ ). Esta operación no es gratuita ya que el entero 0 puede ser escrito par(0,0) o par(1,1), o par(2,2), etc. Esta técnica de construcción es utilizada por la asistente de pruebas Isabelle; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, notables las basadas en constructores libres, que son más simples y pueden ser implementadas más eficientemente en computadoras.

Ciencias de la computación

Un número entero suele ser un tipo de datos primitivo en los lenguajes informáticos. Sin embargo, los tipos de datos enteros solo pueden representar un subconjunto de todos los enteros, ya que las computadoras prácticas tienen una capacidad finita. Además, en la representación del complemento común a dos, la definición inherente de signo distingue entre "negativo" y "no negativo" en lugar de "negativo, positivo y 0". (Sin embargo, ciertamente es posible que una computadora determine si un valor entero es verdaderamente positivo). Los tipos de datos (o subconjuntos) de aproximación de enteros de longitud fija se denominan int o Integer en varios lenguajes de programación (como como Algol68, C, Java, Delphi, etc.).

Las representaciones de números enteros de longitud variable, como números grandes, pueden almacenar cualquier número entero que quepa en la memoria de la computadora. Otros tipos de datos enteros se implementan con un tamaño fijo, generalmente una cantidad de bits que es una potencia de 2 (4, 8, 16, etc.) o una cantidad memorable de dígitos decimales (por ejemplo, 9 o 10).

Cardinalidad

La cardinalidad del conjunto de enteros es igual a $א 0$ (aleph-null). Esto se demuestra fácilmente por la construcción de una bijeción, es decir, una función que es inyectable y subjetivo de $mathbb {Z}$ a ${displaystyle mathbb {N} ={0,1,2,...}.}$ Tal función puede definirse como

$0,end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()x)={}− − 2x,six≤ ≤ 02x− − 1,six■0,{displaystyle f(x)={begin{cases}-2x, limit{mbox{if }xleq 02x-1, limitándose a {if }x {if,end{cases}}}}0,end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4de568db78929e0f8a0dc43afc01989cbd5fd8" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.652ex; height:6.176ex;"/>$

con gráfico (conjunto de los pares $(x, f(x))$ es

${... (-4,8), (-3,6), (-2,4), (-1,2), (0,), (1,1), (2,3), (3,5),...}$ .

Su función inversa está definida por

${displaystyle {begin{cases}g(2x)=-x\g(2x-1)=x,end{cases}}}$

con gráfico

${0, 0), (1, 1), (2, -1), (3, 2), (4, -2), (5, -3),...}$ .

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