Eliminación gaussiana

En matemáticas, la eliminación gaussiana, también conocida como reducción por filas, es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la correspondiente matriz de coeficientes. Este método también se puede utilizar para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque los matemáticos chinos conocían algunos casos especiales del método, aunque presentados sin pruebas, ya alrededor del año 179 d.C.

Para realizar la reducción de filas en una matriz, se usa una secuencia de operaciones elementales de filas para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llene con ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones de fila elementales:

• Trayendo dos filas,
• Multiplicando una fila por un número no cero,
• Añadiendo varias filas a otra fila. (Se puede lograr la resta multiplicando una fila con -1 y agregando el resultado a otra fila)

Usando estas operaciones, una matriz siempre se puede transformar en una matriz triangular superior y, de hecho, una que está en forma escalonada por filas. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada distinta de cero más a la izquierda en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada de fila reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila usada. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (donde se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada de fila, y la matriz final es la fila reducida única forma escalonada.

${displaystyle {begin{bmatrix}1 tendrían una relación91}to}}toto {begin{bmatrix}1 tendrían que haber tenido un problema. {begin{bmatrix}1 tendrían que haber sido demasiado tarde para empezar. {begin{bmatrix}1 tendrían que haber tenido una relación entre dos personas y tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres.$

Usar operaciones de fila para convertir una matriz en una forma escalonada de fila reducida a veces se denomina eliminación de Gauss-Jordan. En este caso, el término eliminación gaussiana se refiere al proceso hasta que alcanza su forma escalonada de fila triangular superior (no reducida). Por razones de cálculo, cuando se resuelven sistemas de ecuaciones lineales, a veces es preferible detener las operaciones de fila antes de que la matriz se reduzca por completo.

Definiciones y ejemplo de algoritmo

El proceso de reducción de filas utiliza operaciones elementales de filas y se puede dividir en dos partes. La primera parte (a veces llamada eliminación directa) reduce un sistema dado a forma escalonada por filas, a partir de la cual se puede saber si no hay soluciones, una única solución o infinitas soluciones. La segunda parte (a veces llamada sustitución hacia atrás) continúa usando operaciones de fila hasta que se encuentra la solución; en otras palabras, pone la matriz en forma escalonada de fila reducida.

Otro punto de vista, que resulta muy útil para analizar el algoritmo, es que la reducción por filas produce una descomposición matricial de la matriz original. Las operaciones de fila elementales pueden verse como la multiplicación a la izquierda de la matriz original por matrices elementales. Alternativamente, una secuencia de operaciones elementales que reduce una sola fila puede verse como una multiplicación por una matriz de Frobenius. Luego, la primera parte del algoritmo calcula una descomposición LU, mientras que la segunda parte escribe la matriz original como el producto de una matriz invertible determinada de forma única y una matriz escalonada de fila reducida determinada de forma única.

Operaciones de fila

Hay tres tipos de operaciones elementales de fila que se pueden realizar en las filas de una matriz:

1. Cierra las posiciones de dos filas.
2. Multiply a row by a non-zero scalar.
3. Añadir a una fila un escalar múltiple de otro.

Si la matriz está asociada a un sistema de ecuaciones lineales, entonces estas operaciones no cambian el conjunto solución. Por lo tanto, si el objetivo es resolver un sistema de ecuaciones lineales, el uso de estas operaciones de fila podría facilitar el problema.

Forma escalonada

Para cada fila en una matriz, si la fila no consta solo de ceros, entonces la entrada distinta de cero más a la izquierda se llama el coeficiente principal (o pivote) de esa fila. Entonces, si dos coeficientes principales están en la misma columna, entonces se podría usar una operación de fila de tipo 3 para hacer que uno de esos coeficientes sea cero. Luego, al usar la operación de intercambio de filas, siempre se pueden ordenar las filas de modo que para cada fila distinta de cero, el coeficiente principal esté a la derecha del coeficiente principal de la fila anterior. Si este es el caso, se dice que la matriz está en forma escalonada por filas. Entonces, la parte inferior izquierda de la matriz contiene solo ceros, y todas las filas cero están debajo de las filas distintas de cero. La palabra "escalón" se usa aquí porque uno puede pensar aproximadamente en las filas clasificadas por su tamaño, con la más grande en la parte superior y la más pequeña en la parte inferior.

Por ejemplo, la siguiente matriz está en forma escalonada de filas y sus coeficientes principales se muestran en rojo:

${displaystyle {begin{bmatrix}0 limitcolor {red}{mathbf {2} } } limit1 sensible-1$