Elemento irreductible

En álgebra, un elemento irreducible de un dominio es un elemento distinto de cero que no es invertible (es decir, no es una unidad), y no es el producto de dos elementos no invertibles.

Relación con elementos primos

Los elementos irreducibles no deben confundirse con elementos primarios. (A non-zero non-unit element ${displaystyle a}$ en un anillo conmutativo ${displaystyle R.$ se llama primo si, cuando ${displaystyle amid bc}$ para algunos ${displaystyle b}$ y ${displaystyle c}$ dentro ${displaystyle R,}$ entonces ${displaystyle amid b}$ o ${displaystyle amid c.}$) En un dominio integral, cada elemento primario es irreducible, pero el converso no es verdadero en general. El contrario es verdadero para dominios de factorización únicos (o, más generalmente, dominios GCD).

Además, aunque un ideal generado por un elemento primario es un ideal primario, no es cierto en general que un ideal generado por un elemento irreducible es un ideal irreducible. Sin embargo, si ${displaystyle D}$ es un dominio GCD y ${displaystyle x}$ es un elemento irreducible ${displaystyle D}$, entonces como se señaló anteriormente ${displaystyle x}$ es primo, y por lo tanto el ideal generado por ${displaystyle x}$ es un ideal primo (hence irreducible) ${displaystyle D}$.

Ejemplo

En el anillo de entero cuadrático ${displaystyle mathbf {Z} [{sqrt {-5}],}$ se puede mostrar usando argumentos de norma que el número 3 es irreducible. Sin embargo, no es un elemento primario en este anillo ya que, por ejemplo,

${displaystyle 3mid left(2+{sqrt {-5}right)left(2-{sqrt {-5}right)=9,}$

pero 3 no divide a ninguno de los dos factores.