Elemento de identidad

En matemáticas, un elemento de identidad, o elemento neutral, de una operación binaria que opera en un conjunto es un elemento del conjunto que deja sin cambios todos los elementos del conjunto cuando se aplica la operación. Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos. El término elemento de identidad a menudo se abrevia a identidad (como en el caso de la identidad aditiva y la identidad multiplicativa) cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria con la que está asociado.

Definiciones

Sea (S, ∗) un conjunto S equipado con una operación binaria ∗. Luego, un elemento e de S se denomina identidad izquierda si e ∗ s = s para todos s en S, y una identidad correcta si s ∗ e = s para todos s en S. Si e es tanto una identidad izquierda como una identidad derecha, entonces se denomina identidad de dos lados, o simplemente un identidad.

Una identidad con respecto a la adición se llama identidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llama una identidad identidad multiplicativa (a menudo denotado como 1). Estas no necesitan ser agregaciones y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de un grupo por ejemplo, el elemento de identidad es a veces simplemente denotado por el símbolo e{displaystyle e}. La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se utiliza con más frecuencia para conjuntos que soportan tanto operaciones binarias, como anillos, dominios integrales y campos. La identidad multiplicativa se llama a menudo unidad en este último contexto (un anillo con unidad). Esto no debe confundirse con una unidad en la teoría del anillo, que es cualquier elemento que tiene un inverso multiplicativo. Por su propia definición, la unidad misma es necesariamente una unidad.

Ejemplos

Propiedades

En el ejemplo S = {e,f} con las igualdades dadas, S es un semigrupo. Demuestra la posibilidad de que (S, ∗) tenga varias identidades izquierdas. De hecho, cada elemento puede ser una identidad izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades correctas. Pero si hay una identidad derecha y una identidad izquierda, entonces deben ser iguales, lo que da como resultado una única identidad de dos lados.

Para ver esto, tenga en cuenta que si l es una identidad izquierda y r es una identidad correcta, entonces l = l ∗ r = r. En particular, nunca puede haber más de una identidad de dos caras: si hubiera dos, digamos e y f, luego e ∗ f tendría que ser igual a e y f.

También es muy posible que (S, ∗) no tenga ningún elemento de identidad, como en el caso de enteros pares bajo la operación de multiplicación. Otro ejemplo común es el producto vectorial de vectores, donde la ausencia de un elemento de identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto vectorial distinto de cero siempre es ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el original. Otro ejemplo más de estructura sin elemento de identidad implica el semigrupo aditivo de números naturales positivos.

Notas y referencias