El teorema de tychonoff

En matemáticas, el teorema de Tychonoff establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto. El teorema lleva el nombre de Andrey Nikolayevich Tikhonov (cuyo apellido a veces se transcribe como Tychonoff), quien lo demostró por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y en 1935 estableció el teorema completo junto con la observación de que su la prueba fue la misma que para el caso especial. La prueba publicada más antigua que se conoce está contenida en un artículo de 1935 de Tychonoff, A., "Uber einen Funktionenraum", Mathematical Annals, 111, pp. 762–766 (1935). (Esta referencia se menciona en 'Topología' de Hocking and Young, Dover Publications, Ind.)

El teorema de Tychonoff a menudo se considera quizás el resultado más importante de la topología general (junto con el lema de Urysohn). El teorema también es válido para espacios topológicos basados en conjuntos borrosos.

Definiciones topológicas

El teorema depende crucialmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología del producto; de hecho, el artículo de Tychonoff de 1935 define la topología del producto por primera vez. Por el contrario, parte de su importancia es dar confianza de que estas definiciones particulares son las más útiles (es decir, las que mejor se comportan).

De hecho, la definición de compacidad de Heine-Borel (que toda cubierta de un espacio por conjuntos abiertos admite una subcubierta finita) es relativamente reciente. Más popular en el siglo XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass de que toda secuencia infinita acotada admite una subsecuencia convergente, ahora llamada compacidad secuencial. Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables, pero ninguna implica a la otra en la clase de todos los espacios topológicos.

Es casi trivial demostrar que el producto de dos espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto: uno pasa a una subsecuencia para el primer componente y luego a una subsecuencia para el segundo componente. Una "diagonalización" solo un poco más elaborada El argumento establece la compacidad secuencial de un producto contable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto de muchas copias continuas del intervalo unitario cerrado (con su topología habitual) no es secuencialmente compacto con respecto a la topología del producto, aunque es compacto según el teorema de Tychonoff (p. ej., véase Wilansky 1970, pág. 134).

Esta es una falla crítica: si X es un espacio de Hausdorff completamente regular, hay una incrustación natural de X en [0,1]^C(X,[0,1]), donde C(X,[0,1 ]) es el conjunto de mapas continuos de X a [0,1]. La compacidad de [0,1]^C(X,[0,1]) muestra que todo espacio de Hausdorff completamente regular se incrusta en un espacio compacto de Hausdorff (o puede ser "compactado"). Esta construcción es la compactación de Stone-Čech. Por el contrario, todos los subespacios de los espacios compactos de Hausdorff son Hausdorff completamente regulares, por lo que esto caracteriza a los espacios de Hausdorff completamente regulares como aquellos que se pueden compactar. Tales espacios ahora se llaman espacios de Tychonoff.

Aplicaciones

El teorema de Tychonoff se ha utilizado para demostrar muchos otros teoremas matemáticos. Estos incluyen teoremas sobre la compacidad de ciertos espacios, como el teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad débil * de la bola unitaria del espacio dual de un espacio vectorial normado, y el teorema de Arzelà-Ascoli que caracteriza las secuencias de funciones en las que cada subsecuencia tiene una subsecuencia uniformemente convergente. También incluyen declaraciones menos relacionadas con la compacidad, como el teorema de De Bruijn-Erdős que establece que cada gráfico cromático k mínimo es finito, y el teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon que proporciona una caracterización topológica de los autómatas celulares.

Como regla general, es probable que cualquier tipo de construcción que tome como entrada un objeto bastante general (a menudo de naturaleza algebraica o topológica-algebraica) y genere un espacio compacto use Tychonoff: por ejemplo, el espacio de Gelfand de ideales máximos de un álgebra C* conmutativa, el espacio de Stone de ideales máximos de un álgebra booleana y el espectro de Berkovich de un anillo de Banach conmutativo.

Pruebas del teorema de Tychonoff

1) La prueba de Tychonoff de 1930 usó el concepto de un punto de acumulación completo.

2) El teorema es un rápido corolario del teorema de la subbase de Alexander.

Las demostraciones más modernas han sido motivadas por las siguientes consideraciones: el enfoque de la compacidad a través de la convergencia de subsecuencias conduce a una demostración simple y transparente en el caso de conjuntos de índices contables. Sin embargo, el enfoque de la convergencia en un espacio topológico usando secuencias es suficiente cuando el espacio satisface el primer axioma de contabilidad (como lo hacen los espacios metrizables), pero generalmente no en caso contrario. Sin embargo, el producto de incontables espacios metrizables, cada uno con al menos dos puntos, no puede ser primero numerable. Por lo tanto, es natural esperar que una noción adecuada de convergencia en espacios arbitrarios conduzca a un criterio de compacidad que generalice la compacidad secuencial en espacios metrizables que se aplicará con la misma facilidad para deducir la compacidad de los productos. Este ha resultado ser el caso.

3) La teoría de la convergencia vía filtros, de Henri Cartan y desarrollada por Bourbaki en 1937, conduce al siguiente criterio: asumiendo el lema de los ultrafiltros, un espacio es compacto si y sólo si cada ultrafiltro del espacio converge. Con esto en la mano, la prueba se vuelve fácil: la imagen (filtro generado por) de un ultrafiltro en el espacio del producto bajo cualquier mapa de proyección es un ultrafiltro en el espacio de factores, que por lo tanto converge, al menos a un x< sub>i. Luego se muestra que el ultrafiltro original converge a x = (x_i). En su libro de texto, Munkres ofrece una reelaboración de la prueba de Cartan-Bourbaki que no utiliza explícitamente ningún lenguaje o preliminares de teoría de filtros.

4) De manera similar, la teoría de Moore-Smith de convergencia a través de redes, complementada con la noción de Kelley de una red universal, conduce al criterio de que un espacio es compacto si y solo si cada red universal en el espacio converge Este criterio conduce a una prueba (Kelley, 1950) del teorema de Tychonoff, que es, palabra por palabra, idéntica a la prueba de Cartan/Bourbaki usando filtros, excepto por la sustitución repetida de "red universal" para "base de ultrafiltro".

5) En 1992, Paul Chernoff proporcionó una prueba que usa redes pero no redes universales.

Teorema de Tychonoff y axioma de elección

Todas las pruebas anteriores usan el axioma de elección (AC) de alguna manera. Por ejemplo, la tercera prueba usa que cada filtro está contenido en un ultrafiltro (es decir, un filtro máximo), y esto se ve invocando el lema de Zorn. El lema de Zorn también se usa para probar el teorema de Kelley, que toda red tiene una subred universal. De hecho estos usos de AC son esenciales: en 1950 Kelley demostró que el teorema de Tychonoff implica el axioma de elección en ZF. Tenga en cuenta que una formulación de AC es que el producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos es no vacío; pero dado que el conjunto vacío es ciertamente compacto, la prueba no puede seguir líneas tan directas. Por lo tanto, el teorema de Tychonoff se une a varios otros teoremas básicos (p. ej., que todo espacio vectorial tiene una base) al ser equivalente a AC.

Por otro lado, la afirmación de que cada filtro está contenido en un ultrafiltro no implica CA. De hecho, no es difícil ver que es equivalente al teorema del ideal primo booleano (BPI), un punto intermedio bien conocido entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la teoría ZF aumentada por el axioma de elección. (ZFC). Un primer vistazo a la segunda prueba de Tychnoff puede sugerir que la prueba no usa más que (BPI), en contradicción con lo anterior. Sin embargo, los espacios en los que todo filtro convergente tiene un único límite son precisamente los espacios de Hausdorff. En general debemos seleccionar, para cada elemento del conjunto índice, un elemento del conjunto no vacío de límites de la base del ultrafiltro proyectado, y por supuesto esto utiliza CA. Sin embargo, también muestra que la compacidad del producto de espacios compactos de Hausdorff se puede probar usando (BPI) y, de hecho, también se cumple lo contrario. El estudio de la fuerza del teorema de Tychonoff para varias clases restringidas de espacios es un área activa en la topología de la teoría de conjuntos.

El análogo del teorema de Tychonoff en la topología sin sentido no requiere ninguna forma del axioma de elección.

Demostración del axioma de elección del teorema de Tychonoff

Para demostrar que el teorema de Tychonoff en su versión general implica el axioma de elección, establecemos que todo producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos es no vacío. La parte más complicada de la prueba es introducir la topología correcta. Resulta que la topología correcta es la topología cofinita con un pequeño giro. Resulta que cada conjunto dado a esta topología se convierte automáticamente en un espacio compacto. Una vez que tenemos este hecho, se puede aplicar el teorema de Tychonoff; luego usamos la definición de compacidad de la propiedad de intersección finita (FIP). La prueba en sí (debido a J. L. Kelley) sigue:

Sea {A_i} una familia indexada de conjuntos no vacíos, para i comprendidos en I (donde I es un conjunto de indexación arbitrario). Deseamos mostrar que el producto cartesiano de estos conjuntos no es vacío. Ahora, para cada i, tome X_i como A_i con el índice i en sí mismo agregado (cambiando el nombre de los índices usando la unión disjunta si es necesario, podemos asumir que i no es miembro de A_i, así que simplemente toma X_i = A_i ∪ {i}).

Ahora defina el producto cartesiano

$${displaystyle X=prod _{iin Yo...$$

Le damos a cada X_j la topología cuyos conjuntos abiertos son: el conjunto vacío, el singleton {i}, el conjunto X_i. Esto hace que X_i sea compacto y, según el teorema de Tychonoff, X también es compacto (en la topología del producto). Los mapas de proyección son continuos; todos los A_i's son cerrados, siendo complementos del conjunto abierto singleton {i} en X_i. Entonces las imágenes inversas π_i⁻¹(A_i) son subconjuntos cerrados de X. Notamos eso

$${displaystyle prod _{iin Yo... ¿Qué?$$

$${displaystyle bigcap ¿Qué? No hay nada.$$

Según la definición FIP de compacidad, toda la intersección sobre I no debe estar vacía y la prueba está completa.