Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

En teoría de números, el teorema de Dirichlet, también llamado teorema de los números primos de Dirichlet, establece que para dos números enteros coprimos positivos a y d , hay infinitos números primos de la forma a + nd, donde n también es un número entero positivo. En otras palabras, hay infinitos números primos que son congruentes con a módulo d. Los números de la forma a + nd forman una progresión aritmética

a,a+d,a+2d,a+3d,...... ,{displaystyle a, a+d, a+2d, a+3d, dots }

y el teorema de Dirichlet establece que esta secuencia contiene infinitos números primos. El teorema, llamado así por Peter Gustav Lejeune Dirichlet, amplía el teorema de Euclides de que hay infinitos números primos. Las formas más fuertes del teorema de Dirichlet establecen que para cualquier progresión aritmética de este tipo, la suma de los recíprocos de los números primos en la progresión diverge y que diferentes progresiones aritméticas con el mismo módulo tienen aproximadamente las mismas proporciones de números primos. De manera equivalente, los números primos se distribuyen uniformemente (asintóticamente) entre las clases de congruencia módulo d que contienen el coprimo de a' con d.

Ejemplos

Los primos de la forma 4n + 3 son (secuencia A002145 en el OEIS)

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283,...

Corresponden a los siguientes valores de n: (secuencia A095278 en el OEIS)

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95,...

La forma fuerte del teorema de Dirichlet implica que

13+17+111+119+123+131+143+147+159+167+⋯ ⋯ {displaystyle {frac}{3}+{frac} {1}{7}+{frac} {1}{11}+{frac} {1}{19}+{frac} {1}{23}+{frac} {1}{31}+{frac} {1}{43}+{frac} {1}{47}+{frac} {1}{59}+{frac} {1}{67}+cdots }

es una serie divergente.

Las secuencias dn + a con impar d a menudo se ignoran porque la mitad de los números son pares y la otra mitad son los mismos números que una secuencia con 2d , si comenzamos con n = 0. Por ejemplo, 6n + 1 produce los mismos números primos que 3n + 1, mientras que 6n + 5 produce lo mismo que 3n + 2 excepto por el único par primo 2. La siguiente tabla enumera varias progresiones aritméticas con infinitos números primos y el primer pocos en cada uno de ellos.

Distribución

Dado que los números primos se reducen, en promedio, de acuerdo con el teorema de los números primos, lo mismo debe ser cierto para los números primos en las progresiones aritméticas. Es natural preguntarse sobre la forma en que se comparten los números primos entre las diversas progresiones aritméticas para un valor dado de d (hay d de esos, esencialmente, si no distinguir dos progresiones que comparten casi todos sus términos). La respuesta se da de esta forma: el número de progresiones factibles módulo d — aquellas donde a y d hacen no tienen un factor común > 1 — está dada por la función totient de Euler

φ φ ()d).{displaystyle varphi (d).}

Además, la proporción de números primos en cada uno de ellos es

1φ φ ()d).{displaystyle {frac {1}{varphi (d)}}

Por ejemplo, si d es un número primo q, cada una de las progresiones q − 1

q+1,2q+1,3q+1,...... {displaystyle q+1,2q+1,3q+1,dots }

q+2,2q+2,3q+2,...... {displaystyle q+2,2q+2,3q+2,dots }

...... {displaystyle dots}

q+q− − 1,2q+q− − 1,3q+q− − 1,...... {displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,dots }

(todos excepto q,2q,3q,...... {displaystyle q,2q,3q,dots })

contiene una proporción 1/(q − 1) de los números primos.

Cuando se comparan entre sí, las progresiones con un residuo cuadrático sin residuos suelen tener un poco más de elementos que aquellas con un residuo cuadrático (sesgo de Chebyshev).

Historia

En 1737 Euler relacionó el estudio de números primos a lo que se conoce ahora como la función Riemann zeta: mostró que el valor Especificaciones Especificaciones ()1){displaystyle zeta (1)} reduce a una proporción de dos productos infinitos, p / ■p–1), para todos los primos p, y que la relación es infinita. En 1775, Euler declaró el teorema para los casos de un + nd, donde a = 1. Este caso especial del teorema de Dirichlet se puede probar utilizando polinomios ciclotómicos. La forma general del teorema fue primero conjeturada por Legendre en su intento de pruebas infructuosas de reciprocidad cuadrática - como Gauss señaló en su Disquisición Arithmeticae — pero fue probada por Dirichlet (1837) con la serie Dirichlet L. La prueba se modela en el trabajo anterior de Euler relativo a la función Riemann zeta a la distribución de primos. El teorema representa el comienzo de la teoría de números analíticos rigurosos.

Atle Selberg (1949) dio una prueba elemental.

Prueba

El teorema de Dirichlet se demuestra mostrando que el valor de la función L de Dirichlet (de carácter no trivial) en 1 es distinto de cero. La prueba de esta afirmación requiere algo de cálculo y teoría analítica de números (Serre 1973). El caso particular a = 1 (es decir, relativo a los primos que son congruentes en 1 módulo algún n) se puede probar analizando el comportamiento de división de los primos en extensiones ciclotómicas, sin haciendo uso del cálculo (Neukirch 1999, §VII.6).

Generalizaciones

La conjetura de Bunyakovsky generaliza el teorema de Dirichlet a polinomios de mayor grado. Sean o no polinomios cuadráticos simples como x² + 1 (conocido por el cuarto problema de Landau) alcanzar infinitos valores primos es un importante problema abierto.

La conjetura de Dickson generaliza el teorema de Dirichlet a más de un polinomio.

La hipótesis H de Schinzel generaliza estas dos conjeturas, es decir, generaliza a más de un polinomio con un grado mayor que uno.

En la teoría algebraica de números, el teorema de Dirichlet se generaliza al teorema de densidad de Chebotarev.

El teorema de Linnik (1944) se refiere al tamaño del primo más pequeño en una progresión aritmética dada. Linnik demostró que la progresión a + nd (ya que n se extiende a través de los enteros positivos) contiene un número primo de magnitud como mucho cd^L para constantes absolutas c y L. Los investigadores posteriores han reducido L a 5.

Un análogo del teorema de Dirichlet se cumple en el marco de los sistemas dinámicos (T. Sunada y A. Katsuda, 1990).

Shiu demostró que cualquier progresión aritmética que satisfaga la hipótesis del teorema de Dirichlet de hecho contendrá series arbitrariamente largas de números primos consecutivos.