Ecuación diferencial parcial hiperbólica

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Tipo de ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas, a ecuación diferencial parcial hiperbólica de orden ${displaystyle n}$ es una ecuación diferencial parcial (PDE) que, aproximadamente, tiene un problema de valor inicial bien presentado para el primer ${displaystyle n-1}$ derivados. Más precisamente, el problema de Cauchy se puede resolver localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica. Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas es de interés contemporáneo sustancial. La ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda. En una dimensión espacial, esto es

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}=c^{2}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}}

u

t = 0

t

Las soluciones de ecuaciones hiperbólicas son "ondulatorias". Si se produce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, entonces no todos los puntos del espacio sienten la perturbación a la vez. En relación con una coordenada de tiempo fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita. Viajan a lo largo de las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. Una perturbación de los datos iniciales (o de frontera) de una ecuación elíptica o parabólica se siente al mismo tiempo esencialmente en todos los puntos del dominio.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial que se considere. Existe una teoría bien desarrollada para los operadores diferenciales lineales, debida a Lars Gårding, en el contexto del análisis microlocal. Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para los sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación.

Definición

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto ${displaystyle P}$ siempre que el problema de Cauchy es únicamente solvable en un barrio ${displaystyle P}$ para cualquier dato inicial dado en una hipersuperficie no característica pasando por ${displaystyle P}$ . Aquí los datos iniciales prescritos consisten en todos los derivados (transversos) de la función en la superficie hasta uno menos que el orden de la ecuación diferencial.

Ejemplos

Por un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma

{displaystyle A{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+2B{frac {partial ^{2}u}{partial xpartial y}}+C{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+{text{(lower order derivative terms)}}=0}

0}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B2− − AC■0{displaystyle B^{2}-AC fiel0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ed866f3f31ce5e9ee9e664c1401bed1e38c742" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.429ex; height:2.843ex;"/>

La ecuación de onda unidimensional:

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}-c^{2}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}=0}

Sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales parciales

Lo siguiente es un sistema de ${displaystyle s}$ ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para ${displaystyle s}$ Funciones desconocidas ${displaystyle {vec {u}}=(u_{1},ldotsu_{s})}$ , ${displaystyle {vec {u}}={vec {u}}({vec {x}},t)}$ , Donde ${displaystyle {vec {x}}in mathbb {R} ^{d}}$ :

{displaystyle {frac {partial {vec {u}}}{partial t}}+sum _{j=1}^{d}{frac {partial }{partial x_{j}}}{vec {f}}^{j}({vec {u}})=0,}

()Alternativa)

Donde ${displaystyle {vec {f}}^{j}in C^{1}(mathbb {R} ^{s},mathbb {R} ^{s}),j=1,ldotsd}$ son una vez funciones continuamente diferenciables, no lineales en general.

Siguiente, para cada ${displaystyle {vec {f}}^{j}}$ definir ${displaystyle stimes s}$ Matriz Jacobiana

{displaystyle A^{j}:={begin{pmatrix}{frac {partial f_{1}^{j}}{partial u_{1}}}&cdots &{frac {partial f_{1}^{j}}{partial u_{s}}}\vdots &ddots &vdots \{frac {partial f_{s}^{j}}{partial u_{1}}}&cdots &{frac {partial f_{s}^{j}}{partial u_{s}}}end{pmatrix}},{text{ for }}j=1,ldotsd.}

El sistema (Alternativa) es hiperbólico si para todos ${displaystyle alpha _{1},ldotsalpha _{d}in mathbb {R} }$ la matriz ${displaystyle A:=alpha _{1}A^{1}+cdots +alpha _{d}A^{d}}$ sólo tiene valores reales y es diagonalable.

Si la matriz ${displaystyle A}$ tiene $s$ distintos eigenvalues reales, sigue que es diagonalizable. En este caso el sistema (Alternativa) se llama estrictamente hiperbólico.

Si la matriz ${displaystyle A}$ es simétrico, sigue que es diagonalizable y los eigenvalues son reales. En este caso el sistema (Alternativa) se llama hiperbólica simétrica.

Sistema hiperbólico y leyes de conservación

Existe una conexión entre un sistema hiperbólico y una ley de conservación. Considere un sistema hiperbólico de una ecuación diferencial parcial para una función desconocida ${displaystyle u=u({vec {x}},t)}$ . Luego el sistema (Alternativa) tiene la forma

{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+sum _{j=1}^{d}{frac {partial }{partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}

()Alternativa)

Aquí, ${displaystyle u}$ puede ser interpretado como una cantidad que se mueve alrededor de acuerdo con el flujo dado por ${displaystyle {vec {f}}=(f^{1},ldotsf^{d})}$ . Para ver que la cantidad ${displaystyle u}$ se conserva, integra (Alternativa) sobre un dominio ${displaystyle Omega }$

{displaystyle int _{Omega }{frac {partial u}{partial t}},dOmega +int _{Omega }nabla cdot {vec {f}}(u),dOmega =0.}

Si ${displaystyle u}$ y ${displaystyle {vec {f}}}$ son funciones suficientemente suaves, podemos utilizar el teorema de divergencia y cambiar el orden de la integración y ${displaystyle partial /partial t}$ para obtener una ley de conservación para la cantidad ${displaystyle u}$ en la forma general

{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega }u,dOmega +int _{partial Omega }{vec {f}}(u)cdot {vec {n}},dGamma =0,}

{displaystyle u}

{displaystyle Omega }

{displaystyle u}

{displaystyle partial Omega }

{displaystyle u}

{displaystyle Omega }

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