Ecuación diferencial estocástica

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Ecuaciones diferenciales que implican procesos estocásticos

Una ecuación diferencial estocástica (SDE) es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico, lo que da como resultado una solución que también es estocástica. proceso. Las SDE tienen muchas aplicaciones en matemáticas puras y se utilizan para modelar diversos comportamientos de modelos estocásticos, como precios de acciones, modelos de crecimiento aleatorio o sistemas físicos sujetos a fluctuaciones térmicas.

Las SDE tienen un diferencial aleatorio que, en el caso más básico, es ruido blanco aleatorio calculado como la derivada de un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala. Sin embargo, son posibles otros tipos de comportamiento aleatorio, como procesos de salto como los procesos de Lévy o semimartingalas con saltos. Las ecuaciones diferenciales aleatorias se conjugan con ecuaciones diferenciales estocásticas. Las ecuaciones diferenciales estocásticas también se pueden extender a variedades diferenciales.

Fondo

Las ecuaciones diferenciales estocásticas se originaron en la teoría del movimiento browniano, en el trabajo de Albert Einstein y Marian Smoluchowski en 1905, aunque Louis Bachelier fue la primera persona a la que se le atribuye el modelado del movimiento browniano en 1900, dando un ejemplo muy temprano de ecuación diferencial estocástica. Actualmente conocido como modelo Bachelier. Algunos de estos primeros ejemplos fueron ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, también llamadas ecuaciones diferenciales 'Langevin' ecuaciones en honor al físico francés Langevin, que describen el movimiento de un oscilador armónico sujeto a una fuerza aleatoria. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales estocásticas se desarrolló en la década de 1940 gracias al trabajo innovador del matemático japonés Kiyosi Itô, quien introdujo el concepto de integral estocástica e inició el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otro enfoque, que condujo a un cálculo similar al cálculo ordinario.

Terminología

La forma más común de SDE en la literatura es una ecuación diferencial ordinaria con el lado derecho perturbado por un término dependiente de una variable de ruido blanco. En la mayoría de los casos, las SDE se entienden como un límite de tiempo continuo de las correspondientes ecuaciones en diferencias estocásticas. Esta comprensión de las SDE es ambigua y debe complementarse con una definición matemática adecuada de la integral correspondiente. Esta definición matemática fue propuesta por primera vez por Kiyosi Itô en la década de 1940, dando lugar a lo que hoy se conoce como cálculo de Itô. Posteriormente, el físico ruso Stratonovich propuso otra construcción, dando lugar a lo que se conoce como integral de Stratonovich. La integral de Itô y la integral de Stratonovich son objetos relacionados, pero diferentes, y la elección entre ellos depende de la aplicación considerada. El cálculo de Itô se basa en el concepto de no anticipación o causalidad, lo cual es natural en aplicaciones donde la variable es el tiempo. El cálculo de Stratonovich, por otro lado, tiene reglas que se asemejan al cálculo ordinario y tiene propiedades geométricas intrínsecas que lo hacen más natural cuando se trata de problemas geométricos como el movimiento aleatorio en variedades, aunque es posible y en algunos casos preferible modelar el movimiento aleatorio. en variedades a través de Itô SDE, por ejemplo, cuando se intenta aproximar de manera óptima las SDE en subvariedades.

Una visión alternativa sobre las SDE es el flujo estocástico de difeomorfismos. Esta comprensión es inequívoca y corresponde a la versión de Stratonovich del límite de tiempo continuo de las ecuaciones en diferencias estocásticas. Asociada con las SDE está la ecuación de Smoluchowski o la ecuación de Fokker-Planck, una ecuación que describe la evolución temporal de las funciones de distribución de probabilidad. La generalización de la evolución de Fokker-Planck a la evolución temporal de formas diferenciales viene proporcionada por el concepto de operador de evolución estocástica.

En la ciencia física, existe una ambigüedad en el uso del término "SDE de Langevin". Si bien las SDE de Langevin pueden tener una forma más general, este término generalmente se refiere a una clase limitada de SDE con campos vectoriales de flujo gradiente. Esta clase de SDE es particularmente popular porque es un punto de partida del procedimiento de cuantificación estocástica de Parisi-Sourlas, que conduce a un modelo supersimétrico N = 2 estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica. Sin embargo, desde el punto de vista físico, esta clase de SDE no es muy interesante porque nunca muestra una ruptura espontánea de la supersimetría topológica, es decir, las SDE de Langevin (sobreamortiguadas) nunca son caóticas.

Cálculo estocástico

Se descubrió que el movimiento browniano o proceso de Wiener es excepcionalmente complejo desde el punto de vista matemático. Es casi seguro que el proceso de Wiener no es diferenciable en ninguna parte; por tanto, requiere sus propias reglas de cálculo. Hay dos versiones dominantes del cálculo estocástico, el cálculo estocástico de Itô y el cálculo estocástico de Stratonovich. Cada uno de los dos tiene ventajas y desventajas, y los recién llegados a menudo se sienten confundidos sobre si uno es más apropiado que el otro en una situación determinada. Existen directrices (por ejemplo, Øksendal, 2003) y, convenientemente, se puede convertir fácilmente un SDE de Itô en un SDE de Stratonovich equivalente y viceversa. Aun así, hay que tener cuidado con qué cálculo utilizar cuando se escribe inicialmente el SDE.

Soluciones numéricas

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas incluyen el método de Euler-Maruyama, el método de Milstein, el método de Runge-Kutta (SDE), el método de Rosenbrock y métodos basados en diferentes representaciones de integrales estocásticas iteradas.

Uso en física

En física, las SDE tienen una amplia aplicabilidad que va desde la dinámica molecular hasta la neurodinámica y la dinámica de objetos astrofísicos. Más específicamente, las SDE describen todos los sistemas dinámicos en los que los efectos cuánticos no son importantes o pueden tenerse en cuenta como perturbaciones. Las SDE pueden verse como una generalización de la teoría de sistemas dinámicos a modelos con ruido. Esta es una generalización importante porque los sistemas reales no pueden aislarse completamente de sus entornos y, por esta razón, siempre experimentan influencia estocástica externa.

Existen técnicas estándar para transformar ecuaciones de orden superior en varias ecuaciones acopladas de primer orden mediante la introducción de nuevas incógnitas. Por lo tanto, la siguiente es la clase más general de SDE:

{displaystyle {frac {mathrm {d} x(t)}{mathrm {d} t}}=F(x(t))+sum _{alpha =1}^{n}g_{alpha }(x(t))xi ^{alpha }(t),,}

Donde ${displaystyle xin X}$ es la posición en el sistema en su espacio de fase (o estado), ${displaystyle X}$ , supuso ser un manifold diferente, el ${displaystyle Fin TX}$ es un campo vectorial de flujo que representa la ley determinista de la evolución, y ${displaystyle g_{alpha }in TX}$ es un conjunto de campos vectoriales que definen el acoplamiento del sistema al ruido blanco gausiano, ${displaystyle xi ^{alpha }}$ . Si ${displaystyle X}$ es un espacio lineal y ${displaystyle g}$ son constantes, se dice que el sistema está sujeto al ruido aditivo, de lo contrario se dice que está sujeto al ruido multiplicativo. Este término es algo engañoso ya que ha llegado a significar el caso general, aunque parece implicar el caso limitado en el que ${displaystyle g(x)propto x}$ .

Para una configuración fija de ruido, SDE tiene una solución única diferenciable con respecto a la condición inicial. La notrivialidad del caso estocástico aparece cuando se trata de promedio diversos objetos de interés sobre configuraciones de ruido. En este sentido, un SDE no es una entidad única definida cuando el ruido es multiplicativo y cuando el SDE se entiende como un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencia estocástica. En este caso, el SDE debe complementarse con lo que se conoce como "interpretaciones del SDE" como Itô o interpretaciones Stratonovich de SDEs. Sin embargo, cuando SDE es visto como un flujo estocástico continuo de diffeomorfismos, es un objeto matemático único que corresponde a la aproximación de Stratonovich a un límite de tiempo continuo de una ecuación de diferencia estocástica.

En física, el principal método de solución es encontrar la función de distribución de probabilidad como función del tiempo utilizando la ecuación equivalente Fokker-Planck (FPE). La ecuación Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial determinista. Cuenta cómo la función de distribución de probabilidad evoluciona en el tiempo de forma similar a cómo la ecuación Schrödinger da la evolución del tiempo de la función de onda cuántica o la ecuación de difusión da la evolución del tiempo de la concentración química. Alternativamente, las soluciones numéricas pueden obtenerse mediante la simulación Monte Carlo. Otras técnicas incluyen la integración del camino que se basa en la analogía entre la física estadística y la mecánica cuántica (por ejemplo, la ecuación Fokker-Planck puede transformarse en la ecuación Schrödinger recalando algunas variables) o escribiendo ecuaciones diferenciales ordinarias para los momentos estadísticos de la función de distribución de probabilidad.

Uso en probabilidad y finanzas matemáticas

La notación utilizada en la teoría de probabilidad (y en muchas aplicaciones de la teoría de probabilidad, por ejemplo en el procesamiento de señales con el problema de filtrado y en la financiación matemática) es ligeramente diferente. También es la notación utilizada en publicaciones sobre métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas. Esta notación hace la naturaleza exótica de la función aleatoria del tiempo ${displaystyle eta _{m}}$ en la formulación física más explícita. En términos matemáticos estrictos, ${displaystyle eta _{m}}$ no puede ser elegido como una función ordinaria, sino sólo como una función generalizada. La formulación matemática trata esta complicación con menos ambigüedad que la formulación física.

Una ecuación típica tiene la forma

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=mu (X_{t},t),mathrm {d} t+sigma (X_{t},t),mathrm {d} B_{t},}

Donde ${displaystyle B}$ denota un proceso de Wiener (moción estándar de Brownian). Esta ecuación debe interpretarse como una forma informal de expresar la ecuación integral correspondiente

{displaystyle X_{t+s}-X_{t}=int _{t}^{t+s}mu (X_{u},u)mathrm {d} u+int _{t}^{t+s}sigma (X_{u},u),mathrm {d} B_{u}.}

La ecuación anterior caracteriza el comportamiento del proceso estocástico de tiempo continuo X_t como la suma de una integral de Lebesgue ordinaria y una integral de Itô.. Una interpretación heurística (pero muy útil) de la ecuación diferencial estocástica es que en un pequeño intervalo de tiempo de longitud δ el proceso estocástico X_t cambia su valor en una cantidad que se distribuye normalmente con la expectativa μ(X_t, t) δ y varianza σ(X_t, t)² δ y es independiente del comportamiento pasado del proceso. Esto es así porque los incrementos de un proceso de Wiener son independientes y están distribuidos normalmente. La función μ se denomina coeficiente de deriva, mientras que σ se denomina coeficiente de difusión. El proceso estocástico X_t se llama proceso de difusión y satisface la propiedad de Markov.

The formal interpretation of an SDE is given in terms of what constitutes a solution to the SDE. Hay dos definiciones principales de una solución a un SDE, una solución fuerte y una solución débil Ambos requieren la existencia de un proceso X_t que resuelve la versión de ecuación integral del SDE. La diferencia entre ambos radica en el espacio de probabilidad subyacente ( ${displaystyle Omega,{mathcal {F}},,P}$ ). Una solución débil consiste en un espacio de probabilidad y un proceso que satisface la ecuación integral, mientras que una solución fuerte es un proceso que satisface la ecuación y se define en un espacio de probabilidad dado.

Un ejemplo importante es la ecuación del movimiento browniano geométrico.

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=mu X_{t},mathrm {d} t+sigma X_{t},mathrm {d} B_{t}.}

que es la ecuación para la dinámica del precio de un stock en el modelo de precios de las opciones de Black–Scholes de las matemáticas financieras.

Generalizando el movimiento browniano geométrico, también es posible definir SDE que admitan soluciones fuertes y cuya distribución sea una combinación convexa de densidades provenientes de diferentes movimientos brownianos geométricos o modelos de Black Scholes, obteniendo un único SDE cuyas soluciones se distribuyan como una mezcla. dinámica de distribuciones lognormales de diferentes modelos de Black Scholes. Esto conduce a modelos que pueden abordar la sonrisa de la volatilidad en las matemáticas financieras.

El SDE más simple llamado movimiento aritmético Browniano

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=mu,mathrm {d} t+sigma,mathrm {d} B_{t}}

fue utilizado por Louis Bachelier como el primer modelo de precios de stock en 1900, conocido hoy como modelo Bachelier.

También hay más ecuaciones diferenciales estocásticas generales donde los coeficientes μ y σ depender no sólo del valor actual del proceso X_t, pero también sobre valores anteriores del proceso y posiblemente sobre valores presentes o anteriores de otros procesos también. En ese caso el proceso de solución, X, no es un proceso de Markov, y se llama un proceso Itô y no un proceso de difusión. Cuando los coeficientes dependen sólo de los valores presentes y pasados de X, la ecuación definitoria se llama una ecuación diferencial de retraso estocástico.

Una generalización de ecuaciones diferenciales estocásticas con la integral de Fisk-Stratonovich para semimartingalas con saltos son las SDE de tipo Marcus. La integral de Marcus es una extensión del cálculo estocástico de McShane.

Una aplicación innovadora en finanzas estocásticas se deriva del uso de la ecuación del proceso de Ornstein-Uhlenbeck

{displaystyle mathrm {d} R_{t}=mu R_{t},mathrm {d} t+sigma _{t},mathrm {d} B_{t}.}

que es la ecuación para la dinámica del rendimiento del precio de una acción bajo la hipótesis de que los rendimientos muestran una distribución log-normal. Bajo esta hipótesis, las metodologías desarrolladas por Marcello Minenna determinan intervalos de predicción capaces de identificar rentabilidades anormales que podrían ocultar fenómenos de abuso de mercado.

SDE en colectores

Más generalmente se puede extender la teoría del cálculo estocástico sobre los manifolds diferenciales y para este propósito se utiliza la integral Fisk-Stratonovich. Considere un múltiple ${displaystyle M}$ , un espacio vectorial de dimensiones finitas ${displaystyle E}$ , un espacio de probabilidad filtrado ${displaystyle (Omega{mathcal {F}},({mathcal {F}}_{t})_{tin mathbb {R} _{+}},P)}$ con ${displaystyle ({mathcal {F}}_{t})_{tin mathbb {R} _{+}}}$ satisfacer las condiciones habituales y dejar ${displaystyle {widehat {M}}=Mcup {infty }}$ ser la compactación de un punto y ${displaystyle x_{0}}$ Ser ${displaystyle {mathcal {F}}_{0}}$ - Medible. A ecuación diferencial estocástica en ${displaystyle M}$ escrito

{displaystyle mathrm {d} X=A(X)circ dZ}

es un par ${displaystyle (A,Z)}$ , tal que

${displaystyle Z}$ es un continuo ${displaystyle E}$ - valorado semimartingale,
${displaystyle A:Mtimes Eto TM,(x,e)mapsto A(x)e}$ es un homomorfismo de paquetes vectoriales sobre ${displaystyle M}$ .

Para cada uno ${displaystyle xin M}$ el mapa ${displaystyle A(x):Eto T_{x}M}$ es lineal y ${displaystyle A(cdot)ein Gamma (TM)}$ para cada uno ${displaystyle ein E}$ .

A solution to the SDE on ${displaystyle M}$ con condición inicial ${displaystyle X_{0}=x_{0}}$ es un continuo ${displaystyle {{mathcal {F}}_{t}}}$ -adaptado ${displaystyle M}$ - proceso valorado $<math alttext="{displaystyle (X_{t})_{t()Xt)tc)Especificaciones Especificaciones {displaystyle (X_{t}) }<img alt="{displaystyle (X_{t})_{t$ hasta el tiempo de vida ${displaystyle zeta }$ , s.t. para cada función de prueba ${displaystyle fin C_{c}^{infty }(M)}$ el proceso ${displaystyle f(X)}$ es un semimartingale de valor real y para cada tiempo de parada ${displaystyle tau }$ con $<math alttext="{displaystyle 0leq tau 0\leq \leq τ τ c)Especificaciones Especificaciones {displaystyle 0leqtau] <img alt="{displaystyle 0leq tau$ la ecuación

{displaystyle f(X_{tau })=f(x_{0})+int _{0}^{tau }(mathrm {d} f)_{X}A(X)circ mathrm {d} Z}

ostenciones ${displaystyle P}$ - Casi seguro, donde ${displaystyle (df)_{X}:T_{x}Mto T_{f(x)}M}$ es el diferencial en ${displaystyle X}$ . Es una Solución máxima si el tiempo de vida es máximo, es decir,

<math alttext="{displaystyle {zeta {}Especificaciones Especificaciones c)JUEGO JUEGO }⊂ ⊂ {}limt.. Especificaciones Especificaciones Xt=JUEGO JUEGO dentroM^ ^ }{displaystyle {zeta > }subset left{lim limits _{tnearrow zeta - No. {M}right}<img alt="{displaystyle {zeta

${displaystyle P}$ - Casi seguro. Se deriva del hecho de que ${displaystyle f(X)}$ para cada función de prueba ${displaystyle fin C_{c}^{infty }(M)}$ es un semimartingale, que ${displaystyle X}$ es un semimartingale en ${displaystyle M}$ . Dada una solución máxima podemos ampliar el tiempo ${displaystyle X}$ en su totalidad ${displaystyle mathbb {R} _{+}}$ y después de una continuación de ${displaystyle f}$ on ${displaystyle {widehat {M}}}$ nosotros

{displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+int _{0}^{t}(mathrm {d} f)_{X}A(X)circ mathrm {d} Z,quad tgeq 0}

hasta procesos indistinguibles. Aunque Stratonovich Las SDEs son la opción natural para las SDEs en los manifolds, dado que satisfacen la regla de cadena y que sus coeficientes de deriva y difusión se comportan como campos vectoriales bajo cambios de coordenadas, hay casos en que Ito cálculo en los manifolds es preferible. Una teoría del cálculo de Ito sobre los manifolds fue desarrollada por Laurent Schwartz a través del concepto de morfismo de Schwartz, ver también la interpretación de 2 chorros de Ito SDEs en los manifolds basados en el jet-bundle. Esta interpretación es útil cuando se trata de aproximar óptimamente la solución de un SDE dada en un gran espacio con las soluciones de un SDE dadas en un submanifold de ese espacio, en que una proyección basada en Stratonovich no resulta ser óptima. Esto se ha aplicado al problema de filtrado, lo que conduce a filtros de proyección óptimos.

Como caminos difíciles

Por lo general, la solución de una SDE requiere una configuración probabilística, ya que la integral implícita en la solución es una integral estocástica. Si fuera posible abordar la ecuación diferencial camino por camino, no sería necesario definir una integral estocástica y se podría desarrollar una teoría independientemente de la teoría de la probabilidad. Esto apunta a considerar la SDE

{displaystyle mathrm {d} X_{t}(omega)=mu (X_{t}(omega),t),mathrm {d} t+sigma (X_{t}(omega),t),mathrm {d} B_{t}(omega)}

como una única ecuación diferencial determinista para cada ${displaystyle omega in Omega }$ , donde ${displaystyle Omega }$ es el espacio de muestra en el espacio de probabilidad dado ( ${displaystyle Omega,{mathcal {F}},,P}$ ). Sin embargo, no es posible una interpretación directa del SDE, ya que los caminos del movimiento marroniano tienen una variación sin límites y no son en ninguna parte diferentes con probabilidad uno, de modo que no hay manera ingenua de dar sentido a términos como ${displaystyle mathrm {d} B_{t}(omega)}$ , excluyendo también una ingenua definición de la integral estocástica como una integral contra cada uno ${displaystyle mathrm {d} B_{t}(omega)}$ . Sin embargo, motivado por el resultado Wong-Zakai para límites de soluciones de SDEs con ruido regular y utilizando la teoría de caminos ásperos, al tiempo que agrega una definición elegida de integrales iterados del movimiento Brownian, es posible definir una integral áspero determinista para cada uno de los ${displaystyle omega in Omega }$ que coincide, por ejemplo, con el Ito integral con probabilidad uno para una elección particular de la integral Browniana iterada. Otras definiciones de la integral iterada conducen a equivalentes patísticos deterministas de diferentes integrales estocásticos, como la integral Stratonovich. Esto se ha utilizado por ejemplo en matemáticas financieras a opciones de precios sin probabilidad.

Existencia y singularidad de soluciones

Al igual que con las ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias deterministas, es importante saber si una SDE determinada tiene una solución y si es única o no. El siguiente es un teorema típico de existencia y unicidad para las SDE de Itô que toman valores en el espacio euclidiano n-dimensional Rⁿ. e impulsado por un movimiento browniano m-dimensional B; la prueba se puede encontrar en Øksendal (2003, §5.2).

Dejemos que T > 0, y deja

{displaystyle mu:mathbb {R} ^{n}times [0,T]to mathbb {R} ^{n};}

{displaystyle sigma:mathbb {R} ^{n}times [0,T]to mathbb {R} ^{ntimes m};}

ser funciones medibles para las cuales existen constantes C y D tales que

{displaystyle {big |}mu (x,t){big |}+{big |}sigma (x,t){big |}leq C{big (}1+|x|{big)};}

{displaystyle {big |}mu (x,t)-mu (y,t){big |}+{big |}sigma (x,t)-sigma (y,t){big |}leq D|x-y|;}

para todos t[0,T] y todo x y Sí.▪Rⁿ, donde

{displaystyle |sigma |^{2}=sum _{i,j=1}^{n}|sigma _{ij}|^{2}.}

Sea Z una variable aleatoria que es independiente del σ-álgebra generada por B_s, s ≥ 0, y con segundo momento finito:

<math alttext="{displaystyle mathbb {E} {big [}|Z|^{2}{big ]}E[SilencioZSilencio2]c)+JUEGO JUEGO.{displaystyle mathbb {E} {big} [Risas en silencio] Señalaron.<img alt="{displaystyle mathbb {E} {big [}|Z|^{2}{big ]}

Entonces el problema de ecuación diferencial estocástica/valor inicial

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=mu (X_{t},t),mathrm {d} t+sigma (X_{t},t),mathrm {d} B_{t}{mbox{ for }}tin [0,T];}

{displaystyle X_{0}=Z;}

tiene una solución P-casi seguramente única t-continua (t, ω) ↦ X_t(ω) tal que X se adapta a la filtración F_t^Z generado por Z y B_s, s ≤ t, y

<math alttext="{displaystyle mathbb {E} left[int _{0}^{T}|X_{t}|^{2},mathrm {d} tright]E[∫ ∫ 0TSilencioXtSilencio2dt]c)+JUEGO JUEGO.{displaystyle mathbb {E} left[int] ¿Qué?<img alt="{displaystyle mathbb {E} left[int _{0}^{T}|X_{t}|^{2},mathrm {d} tright]

Caso general: condición de Lipschitz local y soluciones máximas

La ecuación diferencial estocástica anterior es sólo un caso especial de una forma más general

{displaystyle mathrm {d} Y_{t}=alpha (t,Y_{t})mathrm {d} X_{t}}

dónde

${displaystyle X}$ es un semimartingale continuo en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle Y}$ es un semimartingal continuo en ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$
${displaystyle alpha:mathbb {R} _{+}times Uto operatorname {Lin} (mathbb {R} ^{n};mathbb {R} ^{d})}$ es un mapa de un conjunto abierto no vacío ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{d}}$ , donde ${displaystyle operatorname {Lin} (mathbb {R} ^{n};mathbb {R} ^{d})}$ es el espacio de todos los mapas lineales de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$ .

De manera más general, también se pueden observar ecuaciones diferenciales estocásticas en variedades.

Si la solución de esta ecuación explota depende de la elección de ${displaystyle alpha }$ . Suppose ${displaystyle alpha }$ satisfice alguna condición local de Lipschitz, es decir, para ${displaystyle tgeq 0}$ y un conjunto compacto ${displaystyle Ksubset U}$ y algo constante ${displaystyle L(t,K)}$ la condición

{displaystyle |alpha (s,y)-alpha (s,x)|leq L(t,K)|y-x|,quad x,yin K,;0leq sleq t,}

Donde ${displaystyle |cdot |}$ es la norma Euclideana. Esta condición garantiza la existencia y singularidad de una llamada Solución máxima.

Suppose ${displaystyle alpha }$ es continuo y satisface la condición de Lipschitz local anterior y dejar ${displaystyle F:Omega to U}$ ser alguna condición inicial, lo que significa que es una función mensurable con respecto al álgebra σ inicial. Vamos. ${displaystyle zeta:Omega to {overline {mathbb {R} }}_{+}}$ ser un tiempo de parada predecible con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Especificaciones Especificaciones ■0{displaystyle zeta >0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccc7b67a3147b6a303574f94aac9f5b94186783" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.356ex; height:2.509ex;"/>$ Casi seguro. A ${displaystyle U}$ - valorado semimartingale $<math alttext="{displaystyle (Y_{t})_{t()Yt)tc)Especificaciones Especificaciones {displaystyle (Y_{t}) }<img alt="{displaystyle (Y_{t})_{t$ se llama Solución máxima de

{displaystyle dY_{t}=alpha (t,Y_{t})dX_{t},quad Y_{0}=F}

con tiempo ${displaystyle zeta }$ si

por uno (y por lo tanto todo) anunciando ${displaystyle zeta _{n}nearrow zeta }$ el proceso detenido ${displaystyle Y^{zeta _{n}}}$ es una solución ecuación diferencial estocástica

{displaystyle mathrm {d} Y=alpha (t,Y)mathrm {d} X^{zeta _{n}}}

en el set $<math alttext="{displaystyle {zeta {}Especificaciones Especificaciones c)JUEGO JUEGO }{displaystyle{zeta } <img alt="{displaystyle {zeta$ casi seguro que ${displaystyle Y_{t}to partial U}$ con ${displaystyle tto zeta }$ .

${displaystyle zeta }$ es también un llamado tiempo de explosión.

Algunos ejemplos explícitamente solucionables

Las SDE que se pueden resolver explícitamente incluyen:

SDE lineal: caso general

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))mathrm {d} W_{t}}

{displaystyle X_{t}=Phi _{t,t_{0}}left(X_{t_{0}}+int _{t_{0}}^{t}Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)mathrm {d} (s))mathrm {d} s+int _{t_{0}}^{t}Phi _{s,t_{0}}^{-1}mathrm {d} (s)mathrm {d} W_{s}right)}

dónde

{displaystyle Phi _{t,t_{0}}=exp left(int _{t_{0}}^{t}left(a(s)-{frac {b^{2}(s)}{2}}right)mathrm {d} s+int _{t_{0}}^{t}b(s)mathrm {d} W_{s}right)}

SDE reducibles: Caso 1

{displaystyle mathrm {d} X_{t}={frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})mathrm {d} t+f(X_{t})mathrm {d} W_{t}}

para una función diferenciable dada ${displaystyle f}$ es equivalente al SDE de Stratonovich

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})circ W_{t}}

que tiene una solución general

{displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}

dónde

{displaystyle h(x)=int ^{x}{frac {mathrm {d} s}{f(s)}}}

SDE reducibles: Caso 2

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=left(alpha f(X_{t})+{frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})right)mathrm {d} t+f(X_{t})mathrm {d} W_{t}}

para una función diferenciable dada ${displaystyle f}$ es equivalente al SDE de Stratonovich

{displaystyle mathrm {d} X_{t}=alpha f(X_{t})mathrm {d} t+f(X_{t})circ W_{t}}

que es reducible a

{displaystyle mathrm {d} Y_{t}=alpha mathrm {d} t+mathrm {d} W_{t}}

Donde ${displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$ Donde ${displaystyle h}$ se define como antes. Su solución general es

{displaystyle X_{t}=h^{-1}(alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}

SDEs y supersimetría

En teoría supersimétrica de SDEs, la dinámica estocástica se define a través del operador de evolución estocástica actuando en las formas diferenciales en el espacio de fase del modelo. En esta formulación exacta de dinámicas estocásticas, todas las SDEs poseen supersimetría topológica que representa la preservación de la continuidad del espacio de fase por flujo de tiempo continuo. El desglose espontáneo de esta supersimetría es la esencia matemática del fenómeno dinámico ubicuo conocido a través de las disciplinas como caos, turbulencia, crítica autoorganizada etc. y el teorema de Goldstone explica el comportamiento dinámico de largo alcance asociado, es decir, el efecto mariposa, 1/f y ruidos crujientes, y estadísticas libres de escala de terremotos, neuroavalanchas, flares solares etc.

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