Ecuación del cohete Tsiolkovsky

La ecuación clásica del cohete, o ecuación del cohete ideal, es una ecuación matemática que describe el movimiento de vehículos que siguen el principio básico de un cohete: un dispositivo que puede aplicar La aceleración hacia sí mismo utilizando empuje al expulsar parte de su masa con alta velocidad puede moverse debido a la conservación del impulso. Se le atribuye al científico ruso Konstantin Tsiolkovsky, quien lo derivó y publicó de forma independiente en 1903, aunque había sido derivado y publicado de forma independiente por el matemático británico William Moore en 1810, y posteriormente publicado en un libro separado en 1813. El estadounidense Robert Goddard también lo desarrolló de forma independiente en 1912, y el alemán Hermann Oberth lo derivó de forma independiente alrededor de 1920.

El cambio máximo de velocidad del vehículo, ${displaystyle Delta v}$ (sin fuerzas externas actuando) es:

$${displaystyle Delta v=v_{text{e}ln {frac} {m_{0} {m_{f}}=I_{text{sp}g_{0}ln} {fnMicroc {m_{0} {m_{f}}}}$$

• ${displaystyle ¿Qué?$ es la velocidad de escape efectiva;
  • ${displaystyle I_{text{sp}}$ es el impulso específico en la dimensión del tiempo;
  • ${displaystyle G_{0}$ es la gravedad estándar;
• ${displaystyle ln }$ es la función logaritmo natural;
• ${displaystyle m_{0}$ es la masa total inicial, incluida la propellant, a.k.a. masa húmeda;
• ${displaystyle m_{f}$ es la masa total final sin propellant, a.k.a. masa seca.

Dada la velocidad de escape efectiva determinada por el diseño del motor del cohete, el delta-v deseado (por ejemplo, velocidad orbital o de escape), y una masa seca dada ${displaystyle m_{f}$, la ecuación se puede resolver para la masa propelente requerida ${displaystyle m_{0}-m_{f}$:

$${displaystyle m_{0}=m_{f}e^{Delta v/v_{text{e}}}$$

La masa húmeda necesaria crece exponencialmente con el delta-v deseado.

Historia

La ecuación lleva el nombre del científico ruso Konstantin Tsiolkovsky, quien la derivó de forma independiente y la publicó en su trabajo de 1903.

La ecuación había sido derivada anteriormente por el matemático británico William Moore en 1810, y posteriormente publicada en un libro separado en 1813.

El estadounidense Robert Goddard desarrolló de forma independiente la ecuación en 1912 cuando comenzó su investigación para mejorar los motores de cohetes para posibles vuelos espaciales. El ingeniero alemán Hermann Oberth derivó la ecuación de forma independiente alrededor de 1920 mientras estudiaba la viabilidad de los viajes espaciales.

Si bien la derivación de la ecuación del cohete es un ejercicio de cálculo sencillo, Tsiolkovsky tiene el honor de ser el primero en aplicarla a la cuestión de si los cohetes podrían alcanzar las velocidades necesarias para los viajes espaciales.

Experimento del barco de Tsiolkovsky

Para comprender el principio de propulsión de los cohetes, Konstantin Tsiolkovsky propuso el famoso experimento "del barco". Una persona está en un bote alejado de la orilla sin remos. Quieren llegar a esta orilla. Se dan cuenta de que el barco está cargado con una determinada cantidad de piedras y tienen la idea de tirarlas, una a una y lo más rápido posible, en dirección contraria a la orilla. Efectivamente, la cantidad de movimiento de las piedras lanzadas en una dirección corresponde a una cantidad igual de movimiento del barco en la otra dirección.

Derivación

Derivación más popular

Considere el siguiente sistema:

En la siguiente derivación, "el cohete" se entiende como "el cohete y todo su propulsor no gastado".

La segunda ley de movimiento de Newton relaciona fuerzas externas (${displaystyle {vec {f}}}}$) al cambio en el impulso lineal de todo el sistema (incluido el cohete y el escape) como sigue:

$${displaystyle sum _{i}{vec {fnK}}=lim _{Delta tto 0}{frac {fnfnMic {P_{2}}-{vec} {fnK}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {\\f}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\ Delta.$$

${displaystyle {vec {fn}}}}$

${displaystyle t=0}$

$${displaystyle {vec {P_{1}=m{vec} {V}}$$

${displaystyle {vec {fnK}}}$

${displaystyle t=Delta t}$

$${displaystyle {vec {c}}=left(m-Delta mright)left({vec}=left(m-Delta mright) {V}+Delta {vec}right)+Delta m{vec {V_{text{e}}}}$$

• ${displaystyle {vec}}$ es la velocidad del cohete a la vez ${displaystyle t=0}$
• ${displaystyle {vec}+Delta {vec}}$ es la velocidad del cohete a la vez ${displaystyle t=Delta t}$
• ${displaystyle {vec {fnK}}}}$ es la velocidad de la masa agregada al escape (y perdida por el cohete) durante el tiempo ${displaystyle Delta t}$
• ${displaystyle m}$ es la masa del cohete a la vez ${displaystyle t=0}$
• ${displaystyle left(m-Delta mright)}$ es la masa del cohete a la vez ${displaystyle t=Delta t}$

La velocidad del escape ${displaystyle {vec {fnK}}}}$ en el marco del observador se relaciona con la velocidad del escape en el marco del cohete ${displaystyle v_{text{e}}$ por:

$${displaystyle {vec {fnK}}={vec} {V_{text{e}}}-{vec} {V}}$$

así,

$${displaystyle {vec}={vec}}={vec} {fnK}} {fn}}} {fnK}}}} {fn}}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\$$

Resolver esto produce:

$${displaystyle {vec {P_{2}}-{vec} {P_{1}=m Delta {vec {V}+{vec} {fnK}} Delta m-Delta mDelta {vec}$$

${displaystyle {vec}}$

${displaystyle {vec {fnK}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}$

${displaystyle {vec {f}}}}}$

${displaystyle {vec}}$

${displaystyle Delta mDelta {vec}$

${displaystyle dmd{vec}derecho 0}$

${displaystyle dm=-Delta m}$

${displaystyle Delta m}$

$${displaystyle sum ¿Por qué? {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}}} {fnMicroc} {dm}{dt}}$$

Si no hay fuerzas externas entonces ${textstyle sum ¿Por qué?$ (conservación del impulso lineal) y

$${displaystyle -m{frac {fnK}=v_{e}{f} {fnMic} {fnK} {fnK} {f}} {fnK}} {f}}} {fnK}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f} {f}}f}}}}}}}}}}f}}}}f}f}f}f}}}}}f}f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}}}f}f}}f}f}f}}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}}f}f}f}f}f}f}}} {dm}{dt}}$$

Suponiendo que ${displaystyle v_{text{e}}$ es constante (conocida como hipótesis de Tsiolkovsky), por lo que no está sujeto a la integración, entonces la ecuación anterior puede ser integrada de la siguiente manera:

$${displaystyle -int _{V+ Delta V. ¿Qué? {dm}{m}}$$

Esto entonces produce

$${displaystyle Delta V=v_{text{e}ln} {fnMicroc {m_{0} {m_{f}}} {m_{0}} {m_}} {m_{f}}}} {m_{f}}}} {m_} {0}}}}} {m_} {0}} {f}}} {}}}} {m_}}} {m_}} {m_}}}} {}}}}} {} {}}}}}} {m}}}}{m}}}} {m} {m}}} {m}} {m} {m} {m} {m}}}}{m} {m}}}}}}}}}{m}}}}}}} {}}}}}}} {m}}}} {m} {} {m} {m}}}}}}}}} {m}}}}} {m} {m} {m}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}} {$$

$${displaystyle m_{f}=m_{0}e^{- Delta V$$

$${displaystyle m_{0}=m_{f}e^{ Delta V/v_{text{e}}}$$

$${displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}left(e^{Delta V/v_{text{e}}}right)}$$

Donde ${displaystyle m_{0}$ es la masa total inicial incluyendo propelente, ${displaystyle m_{f}$ la masa final, y ${displaystyle v_{text{e}}$ la velocidad del escape de cohetes con respecto al cohete (el impulso específico, o, si se mide en el tiempo, que se multiplica por la aceleración de gravedad en Tierra). Si ${displaystyle v_{text{e}}$ NO es constante, podríamos no tener ecuaciones de cohetes que son tan simples como las formas anteriores. Muchas investigaciones de dinámicas de cohetes se basaron en la constante de Tsiolkovsky ${displaystyle v_{text{e}}$ hipótesis.

El valor ${displaystyle m_{0}-m_{f}$ es la masa de trabajo total de propelente gastado.

${displaystyle Delta V}$ (delta v) es la integración con el tiempo de la magnitud de la aceleración producida mediante el uso del motor de cohetes (cuál sería la aceleración real si las fuerzas externas estuvieran ausentes). En el espacio libre, para el caso de aceleración en la dirección de la velocidad, este es el aumento de la velocidad. En el caso de una aceleración en dirección opuesta (desaceleración) es la disminución de la velocidad. Por supuesto, la gravedad y la arrastre también aceleran el vehículo, y pueden añadir o restar al cambio de velocidad experimentado por el vehículo. De ahí que el delta-v no siempre sea el cambio real de velocidad o velocidad del vehículo.

Otras derivaciones

Basado en impulsos

La ecuación también se puede derivar de la integral básica de la aceleración en forma de fuerza (empuje) sobre la masa. Representando la ecuación delta-v de la siguiente manera:

$${displaystyle Delta v=int ¿Qué? {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {f}}}} {fnK}}} {fnMicrosoft} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} { Delta.$$

donde T es empuje, ${displaystyle m_{0}$ es la masa inicial y ${displaystyle Delta m}$ es la masa inicial menos la masa final (dry),

y al darnos cuenta de que la integral de una fuerza resultante a lo largo del tiempo es el impulso total, asumiendo que el empuje es la única fuerza involucrada,

$${displaystyle int ¿Qué?$$

La integral resulta ser:

$${displaystyle J~{f}}{m_{m_{0})-ln({m_{f}}}{m_ {f}}}} {f}}}} {f}} {f}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}} { Delta.$$

Al darse cuenta de que el impulso sobre el cambio de masa es equivalente a la fuerza sobre el caudal másico del propulsor (p), que a su vez es equivalente a la velocidad de escape,

$${displaystyle {frac}{Delta ♪♪ {F}=V_{exh}$$

$${displaystyle Delta v=V_{text{exh}~ln left({frac} {m_{0} {m_{f}}right)}$$

Basado en aceleración

Imagínese un cohete en reposo en el espacio sin que se ejerzan fuerzas sobre él (Primera Ley del Movimiento de Newton). Desde el momento en que se arranca su motor (el reloj está puesto en 0), el cohete expulsa masa de gas a un caudal másico constante R (kg/s) y a una velocidad de escape relativa al cohete v< sub>e (m/s). Esto crea una fuerza constante F que impulsa el cohete y que es igual a R × v_e. El cohete está sujeto a una fuerza constante, pero su masa total disminuye constantemente porque está expulsando gas. Según la Segunda Ley del Movimiento de Newton, su aceleración en cualquier momento t es su fuerza propulsora F dividida por su masa actual m:

$${displaystyle ~a={frac {dv} {dt}=-{frac} {F} {m(t)}=-{frac {Rv_{e} {m(t)}}}} {f}}$$

Ahora, la masa de combustible que el cohete tiene inicialmente a bordo es igual a m₀ – m_f. Por lo tanto, para el caudal másico constante R tomará un tiempo T = (m₀ – m_f)/R para quemar todo este combustible. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo desde 0 hasta T (y observando que R = dm/dt permite una sustitución a la derecha) obtiene:

$${displaystyle ~Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{e}left[ln] m_{f}-ln m_{0}right]=~v_{e}ln left({frac] {m_{0} {m_{f}}right).}$$

Límite de masa finita "pellet" expulsión

La ecuación de cohetes también puede derivarse como el caso límite del cambio de velocidad para un cohete que expulsa su combustible en forma de ${displaystyle N}$ pellets consecutivos, como ${displaystyle Nto infty$, con una velocidad de escape efectiva ${displaystyle {fnMicrosoft}}$ tal que la energía mecánica ganada por la masa de combustible unitario es dada por ${fnMicroc} {1}{2}v_{text{eff}} {2}} {2} {f} {f}} {f}} {f}}}}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f} {f} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}$.

En el marco central de masa del cohete, si un pellets de masa ${displaystyle m_{p}$ se expulsa a la velocidad ${displaystyle u}$ y la masa restante del cohete es ${displaystyle m}$, la cantidad de energía convertida para aumentar la energía cinética del cohete y el pellets es

$${fnMicroc} {1} {2}m_{p}v_{text{eff} {2}={tfrac} {1}{2}m_{p}u}{2}+{tfrac} {1}{2}m(Delta v)^{2}$$

Usando la conservación del impulso en el marco del cohete justo antes de la eyección, ${textstyle u=Delta v{tfrac {m}{m_{p}}$, desde donde encontramos

$${displaystyle Delta v=v_{text{eff}{frac {m_{p} {sqrt {m(m+m_{p}}}}}$$

Vamos. ${displaystyle phi }$ ser la fracción inicial de masa de combustible a bordo y ${displaystyle m_{0}$ la masa inicial del cohete. Divide la masa total de combustible ${displaystyle phi m_{0}$ en ${displaystyle N}$ pellets discretos cada uno de masa ${displaystyle M_{p}=phi M_{0}/N}$. La masa restante del cohete después de expulsar ${displaystyle j}$ pellets entonces ${displaystyle m=m_{0}(1-jphi /N)}$. El cambio general de velocidad después de la inyección ${displaystyle j}$ pellets es la suma

$${displaystyle Delta v=v_{text{eff}sum _{j=1}^{j=N}{frac {fnK}}}$$

Note que para grande ${displaystyle N}$ el último término en el denominador ${displaystyle phi /Nll 1}$ y puede ser descuidado dar

$${displaystyle Delta vapprox v_{text{eff}sum ¿Qué? {fnK}{1-jphi - Sí. ¿Qué? {Delta # {1-x_{j}}}}$$

${textstyle Delta x={frac {phi } {N}}$

${textstyle x_{j}={frac {jphi }{N}}} {f}} {f}}} {f} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}} {f}$

As ${displaystyle Nrightarrow infty }$ esta suma Riemann se convierte en la integral definida

$${displaystyle lim _{Nto infty }Delta v=v_{text{eff}int {0}=v_{text{eff}ln} {frac {1}{1-phi }=v_{text{eff}ln {fnMicroc {m_{0} {m_{f}}}}$$

${displaystyle m_{f}=m_{0}(1-phi)}$

Relatividad especial

Si se tiene en cuenta la relatividad especial, la siguiente ecuación puede derivarse de un cohete relativista, con ${displaystyle Delta v}$ de nuevo de pie para la velocidad final del cohete (después de expulsar toda su masa de reacción y ser reducido a una masa de descanso ${displaystyle m_{1}$) en el marco inercial de referencia donde el cohete comenzó a descansar (con la masa restante incluyendo el combustible siendo ${displaystyle m_{0}$ inicialmente) y ${displaystyle c}$ de pie para la velocidad de la luz en vacío:

$${fnMicroc} {m_{0} {m_{1}}=left[{frac} {f} {fnh}}}}=m_ {f}}}}}=m_ {f} {fn} {fnh} {f}}}}} {m_}}}} {m_}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}}} {m}} {m}}}}}}} {m}}} {mm_pm}} {ppm_pm_pm_pm_p}}}} {m_p}}} {pm_pm_p} {m_p}} {m_pm_p} {m}} {m_p} {m} {m}} {cm_p}} {m_}}}}}}} { {1+{frac {Delta {}}{1-{frac} Vale. {c}{2v_{text{e}}}} {c} {c} {c}} {c}}}} {c}}} {c}} {c}} {c} {c}} {c} {c}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c}}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}} {c}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Escritura ${fnMicroc} {m_{0} {m_{1}}} {m_{0}} {m_}} {m_{0}}}} {m_{1}}}}} {}}} {m_{0}}} {}}}} {m_}} {}}} {m_}} {}}}}} {m_}}}} {}} {m_}}}}}} {}}}}}}} {}}} {m}}} {m} {m}}}} {m} {m} {m} {} {m} {} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {} {m}}}} {m} {} {m} {} {} {m} {m}} {m}}}} {m}}}} {m}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$ como ${displaystyle R.$ permite que esta ecuación sea reorganizada como

$${displaystyle {frac {Delta {}= {fnMicroc} {fnK} {f} {f}} {fnK}}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}f}}}}}}}}} {f} {f}}}}} {f}f}}}}f}f}f}}}}}}f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {2v_{text{e} {c}}}+1}} {c}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Luego, usando la identidad ${textstyle R^{frac {2v_{text{e}} {c}=exp left[{frac {2v_{text{e}} {c}}ln}ln}} {fn}}} {f}}}}}}}f}}fn}fn}f} Rright]$ (aquí "exp" denota la función exponencial; ver también Logaritmo natural, así como la identidad "poder" en las identidades logarítmicas) y la identidad ${textstyle tanh x={frac {2x}-1}{e^{2x}+1}}$ ()ver Función hiperbólica), esto equivale a

$${displaystyle Delta v=ctanh left({frac {fnK} {fnK}}}c}cH00} {fn}}} {c}}} {c}}} {c}} {c}}}}}}} {cH}}}}}}} {c} {c}}} {c}}}}}}}}}c}}ln}}}}}}}}}}}n}}}}n}}n}n}}}ln}n}}}}}}}}}} {fnMicroc {m_{0} {m_{1}}right)}$$

Términos de la ecuación

Delta-v

Delta-v (literalmente "cambio de velocidad"), simbolizado como Δv y pronunciado delta-vee, tal como se utiliza en la dinámica de vuelo de naves espaciales, es una medida del impulso que se necesita para realizar una maniobra como el lanzamiento o aterrizaje en un planeta o luna, o una maniobra orbital en el espacio. Es un escalar que tiene las unidades de velocidad. Tal como se utiliza en este contexto, no es lo mismo que el cambio físico en la velocidad del vehículo.

Delta-v es producido por motores de reacción, como motores de cohetes, y es proporcional al empuje por unidad de masa y al tiempo de combustión, y se utiliza para determinar la masa de propulsor necesaria para un determinado maniobra a través de la ecuación del cohete.

Para maniobras múltiples, delta-v suma linealmente.

Para misiones interplanetarias, el delta-v a menudo se traza en un diagrama de chuleta que muestra el delta-v requerido para la misión en función de la fecha de lanzamiento.

Fracción de masa

En ingeniería aeroespacial, la fracción de masa del propulsor es la porción de la masa de un vehículo que no llega a su destino, generalmente utilizada como medida del rendimiento del vehículo. En otras palabras, la fracción de masa del propulsor es la relación entre la masa del propulsor y la masa inicial del vehículo. En una nave espacial, el destino suele ser una órbita, mientras que en el caso de un avión es el lugar de aterrizaje. Una fracción de masa más alta representa menos peso en un diseño. Otra medida relacionada es la fracción de carga útil, que es la fracción del peso inicial que es carga útil.

Velocidad de escape efectiva

La velocidad efectiva de escape a menudo se especifica como un impulso específico y están relacionados entre sí por:

$${displaystyle ¿Qué?$$

• ${displaystyle I_{text{sp}}$ es el impulso específico en segundos,
• ${displaystyle v_{text{e}}$ es el impulso específico medido en m/s, que es el mismo que la velocidad de escape efectiva medida en m/s (o ft/s si g está en ft/s²),
• ${displaystyle G_{0}$ es la gravedad estándar, 9.80665m/s² (en unidades imperiales 32.174ft/s²).

Aplicabilidad

La ecuación del cohete captura los elementos esenciales de la física del vuelo de un cohete en una única ecuación breve. También es válido para vehículos de reacción tipo cohete siempre que la velocidad efectiva de escape sea constante, y puede sumarse o integrarse cuando la velocidad efectiva de escape varía. La ecuación del cohete sólo tiene en cuenta la fuerza de reacción del motor del cohete; no incluye otras fuerzas que puedan actuar sobre un cohete, como las fuerzas aerodinámicas o gravitacionales. Como tal, cuando se utiliza para calcular el requisito de propulsor para el lanzamiento desde (o descenso motorizado hacia) un planeta con atmósfera, los efectos de estas fuerzas deben incluirse en el requisito delta-V (ver ejemplos a continuación). En lo que se ha llamado "la tiranía de la ecuación del cohete", hay un límite a la cantidad de carga útil que el cohete puede transportar, ya que mayores cantidades de propulsor incrementan el peso total y, por lo tanto, también aumentan el consumo de combustible. consumo. La ecuación no se aplica a sistemas que no son cohetes, como el aerofrenado, el lanzamiento de armas, los ascensores espaciales, los bucles de lanzamiento, la propulsión mediante correas o las velas ligeras.

La ecuación del cohete se puede aplicar a maniobras orbitales para determinar cuánto propulsor se necesita para cambiar a una nueva órbita en particular, o para encontrar la nueva órbita como resultado de un consumo de propulsor en particular. Cuando se aplica a maniobras orbitales, se supone una maniobra impulsiva, en la que el propulsor se descarga y se aplica delta-v instantáneamente. Esta suposición es relativamente precisa para quemaduras de corta duración, como correcciones a mitad de camino y maniobras de inserción orbital. A medida que aumenta la duración de la combustión, el resultado es menos preciso debido al efecto de la gravedad sobre el vehículo durante la duración de la maniobra. Para la propulsión de bajo empuje y larga duración, como la propulsión eléctrica, se utilizan análisis más complicados basados en la propagación del vector de estado de la nave espacial y la integración del empuje para predecir el movimiento orbital.

Ejemplos

Suponga una velocidad de escape de 4.500 metros por segundo (15.000 pies/s) y un ${displaystyle Delta v}$ de 9.700 metros por segundo (32.000 pies/s) ${displaystyle Delta v}$ para superar la gravedad y la arrastre aerodinámica).

• cohete monoetapa a órbita: ${displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}$ = 0.884, por lo tanto 88.4% de la masa total inicial tiene que ser propelente. El 11,6% restante es para los motores, el tanque y la carga útil.
• Dos etapas a órbita: supongamos que la primera etapa debe proporcionar un ${displaystyle Delta v}$ de 5.000 metros por segundo (16.000 pies/s); ${displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}$ = 0.671, por lo tanto el 67,1% de la masa total inicial tiene que ser propelente a la primera etapa. La masa restante es del 32,9%. Después de la eliminación de la primera etapa, una masa sigue igual a este 32,9%, menos la masa del tanque y motores de la primera etapa. Supongamos que este es el 8% de la masa total inicial, luego el 24,9% permanece. La segunda etapa debe proporcionar un ${displaystyle Delta v}$ de 4.700 metros por segundo (15.000 pies/s); ${displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}$ = 0.648, por lo tanto el 64,8% de la masa restante tiene que ser propulsante, que es el 16,2% de la masa total original, y el 8,7% resta para el tanque y motores de la segunda etapa, la carga útil, y en el caso de un transbordador espacial, también el orbitador. Así, el 16,7% de la masa de lanzamiento original está disponible para Todos motores, tanques y carga útil.

Etapas

En el caso de etapas de cohetes de empuje secuencial, la ecuación se aplica para cada etapa, donde para cada etapa la masa inicial en la ecuación es la masa total del cohete después de descartar la etapa anterior, y la masa final en la ecuación es la masa total del cohete justo antes de descartar la etapa en cuestión. Para cada etapa el impulso específico puede ser diferente.

Por ejemplo, si el 80% de la masa de un cohete es el combustible de la primera etapa, el 10% es la masa seca de la primera etapa y el 10% es el cohete restante, entonces

${displaystyle {begin{aligned}Delta v=v_{text{e}ln {100 over 100-80}\\\\\\\\\cH}ln}ln} 5\=1.61v_{text{e}\end{aligned}}$

Con tres etapas similares, posteriormente más pequeñas con las mismas ${displaystyle v_{text{e}}$ para cada etapa, da:

${displaystyle Delta v =3v_{text{e}ln 5 =4.83v_{text{e}}}$

y la carga útil es 10% × 10% × 10% = 0,1% de la masa inicial.

Un cohete SSTO comparable, también con una carga útil del 0,1%, podría tener una masa del 11,1% para los tanques de combustible y los motores, y del 88,8% para el combustible. esto daría

${displaystyle Delta v =v_{text{e}ln(100/11.2) =2.19v_{text{e}}}$

Si el motor de una nueva etapa se enciende antes de que se haya descartado la etapa anterior y los motores que funcionan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como suele ocurrir con los propulsores de cohetes sólidos y una etapa de combustible líquido), la situación es más complicado.

Conceptos erróneos comunes

Cuando se considera un sistema de masa variable, un cohete no puede ser analizado directamente con la segunda ley de movimiento de Newton porque la ley es válida sólo para sistemas de masa constante. Puede causar confusión que la ecuación de cohetes Tsiolkovsky parece similar a la ecuación de fuerza relativista ${displaystyle F=dp/dt=m;dv/dt+v;dm/dt}$. Usando esta fórmula con ${displaystyle m(t)}$ como la masa variable del cohete parece derivar la ecuación del cohete Tsiolkovsky, pero esta derivación no es correcta. Observe que la velocidad de escape efectiva ${displaystyle v_{text{e}}$ ni siquiera aparece en esta fórmula.