Ecuación de Poisson

Siméon Denis Poisson

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial elíptica de amplia utilidad en física teórica. Por ejemplo, la solución a la ecuación de Poisson es el campo potencial causado por una carga eléctrica dada o una distribución de densidad de masa; Con el campo potencial conocido, se puede calcular el campo (de fuerza) electrostático o gravitatorio. Es una generalización de la ecuación de Laplace, que también se ve con frecuencia en la física. La ecuación lleva el nombre del matemático y físico francés Siméon Denis Poisson.

Enunciado de la ecuación

La ecuación de Poisson es

Δ Δ φ φ =f,{displaystyle Delta varphi =f,}

Δ Δ {displaystyle Delta }

f{displaystyle f}

φ φ {displaystyle varphi }

f{displaystyle f}

φ φ {displaystyle varphi }

Silencio Silencio 2φ φ =f.{displaystyle nabla ^{2}varphi =f.}

En coordenadas cartesianas tridimensionales, toma la forma

()∂ ∂ 2∂ ∂ x2+∂ ∂ 2∂ ∂ Sí.2+∂ ∂ 2∂ ∂ z2)φ φ ()x,Sí.,z)=f()x,Sí.,z).{displaystyle left({frac {partial ^{2}{partial ### {2}}+{frac {partial ^{2}{2}{partial Y^{2}}}+{frac {partial ^{2}{2}}right)varphi (x,y,z)=f(x,y,z). }

Cuando f=0{displaystyle f=0} idénticamente, obtenemos la ecuación de Laplace.

La ecuación de Poisson se puede resolver usando una función de Green:

φ φ ()r)=− − ∫ ∫ f()r.)4π π Silencior− − r.Silenciod3r.,{displaystyle varphi (mathbf {r})=-iiint {frac {f(mathbf {r} ')}{4pi ¦ - Mathbf {r} "Antes"

Gravedad newtoniana

En el caso de un campo gravitacional g debido a la atracción de un objeto masivo de densidad ρ, la ley de Gauss para la gravedad en forma diferencial se puede usar para obtener la correspondiente ecuación de Poisson para la gravedad:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ g=− − 4π π G*** *** .{displaystyle nabla cdot mathbf {g} =-4pi Grho.}

Dado que el campo gravitatorio es conservativo (e irrotacional), se puede expresar en términos de un potencial escalar ϕ:

g=− − Silencio Silencio φ φ .{displaystyle mathbf {g} =-nabla phi.}

Sustituyendo esto en la ley de Gauss,

Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()− − Silencio Silencio φ φ )=− − 4π π G*** *** ,{displaystyle nabla cdot (-nabla phi)=-4pi Grho!

Silencio Silencio 2φ φ =4π π G*** *** .{displaystyle nabla ^{2}phi =4pi Grho.

Si la densidad de masa es cero, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace. La función de Green correspondiente se puede utilizar para calcular el potencial a la distancia r desde una masa puntual central m (es decir, la solución fundamental). En tres dimensiones el potencial es

φ φ ()r)=− − Gmr,{displaystyle phi (r)={frac {-Gm}{r},}

Electrostática

Una de las piedras angulares de los electrostáticos es establecer y resolver problemas descritos por la ecuación Poisson. Resolver la ecuación Poisson equivale a encontrar el potencial eléctrico φ para una distribución de carga determinada *** *** f{displaystyle rho _{f}.

Los detalles matemáticos detrás de la ecuación de Poisson en electrostática son los siguientes (se usan unidades SI en lugar de unidades gaussianas, que también se usan con frecuencia en electromagnetismo).

Comenzando con la ley de Gauss para la electricidad (también una de las ecuaciones de Maxwell) en forma diferencial, se tiene

Silencio Silencio ⋅ ⋅ D=*** *** f,{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {D} =rho _{f}

Silencio Silencio ⋅ ⋅ {displaystyle mathbf {nabla } cdot }

Suponiendo que el medio es lineal, isotrópico y homogéneo (ver densidad de polarización), tenemos la ecuación constitutiva

D=ε ε E,{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E}

Sustituyendo esto en la ley de Gauss y suponiendo que ε es espacialmente constante en la región de interés, se obtiene

Silencio Silencio ⋅ ⋅ E=*** *** ε ε .{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon }}

*** *** {displaystyle rho }

Silencio Silencio × × E=0,{displaystyle nabla times mathbf {E} =0,}

E=− − Silencio Silencio φ φ ,{displaystyle mathbf {E} =-nabla varphi}

La derivación de la ecuación de Poisson en estas circunstancias es sencilla. Sustituyendo el gradiente de potencial por el campo eléctrico,

Silencio Silencio ⋅ ⋅ E=Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()− − Silencio Silencio φ φ )=− − Silencio Silencio 2φ φ =*** *** ε ε ,{displaystyle nabla cdot mathbf {E} =nabla cdot (-nabla varphi)=-nabla ^{2}varphi ¿Qué?

Silencio Silencio 2φ φ =− − *** *** ε ε .{displaystyle nabla ^{2}varphi =-{frac {rho }{varepsilon }}

Resolver la ecuación de Poisson para el potencial requiere conocer la distribución de densidad de carga. Si la densidad de carga es cero, entonces se obtiene la ecuación de Laplace. Si la densidad de carga sigue una distribución de Boltzmann, entonces resulta la ecuación de Poisson-Boltzmann. La ecuación de Poisson-Boltzmann juega un papel en el desarrollo de la teoría de Debye-Hückel de soluciones de electrolitos diluidos.

Usando la función de Green, el potencial a la distancia r desde una carga puntual central Q (es decir, la solución fundamental) es

φ φ ()r)=Q4π π ε ε r,{displaystyle varphi (r)={frac {Q}{4pi varepsilon r}}

4π π {displaystyle 4pi}

La discusión anterior asume que el campo magnético no varía con el tiempo. Surge la misma ecuación de Poisson aunque varíe en el tiempo, siempre que se utilice el calibre de Coulomb. En este contexto más general, calcular φ ya no es suficiente para calcular E, ya que E también depende del vector potencial magnético A, que debe calcularse de forma independiente. Consulte la ecuación de Maxwell en la formulación potencial para obtener más información sobre φ y A en Maxwell's ecuaciones y cómo se obtiene la ecuación de Poisson en este caso.

Potencial de una densidad de carga gaussiana

Si hay una densidad de carga gaussiana estática esféricamente simétrica

*** *** f()r)=Qσ σ 32π π 3e− − r2/()2σ σ 2),{displaystyle rho _{f}(r)={frac {Q}{sigma ^{3}{sqrt {2pi - ¿Qué?

Silencio Silencio 2φ φ =− − *** *** fε ε {displaystyle nabla ^{2}varphi =-{frac {rho ¿Qué? }

φ φ ()r)=14π π ε ε Qrer⁡ ⁡ ()r2σ σ ),{displaystyle varphi (r)={frac {1}{4pi varepsilon }{frac {f}f}f}derecho]

Esta solución se puede verificar explícitamente evaluando ∇²φ.

Tenga en cuenta que para r mucho mayor que σ, la función erf se acerca a la unidad y el potencial φ(r) se acerca al punto -potencial de carga,

φ φ .. 14π π ε ε Qr,{displaystyle varphi approx {frac {1}{4pi} varepsilon } {frac {Q} {}}}

Reconstrucción de superficies

La reconstrucción de la superficie es un problema inverso. El objetivo es reconstruir digitalmente una superficie lisa basada en una gran cantidad de puntos p_i (una nube de puntos) donde cada punto también lleva una estimación de la superficie local normal n_i. La ecuación de Poisson se puede utilizar para resolver este problema con una técnica llamada reconstrucción de superficie de Poisson.

El objetivo de esta técnica es reconstruir una función implícita f cuyo valor es cero en los puntos p_i y cuyo gradiente en el puntos p_i es igual a los vectores normales n_i. El conjunto de (p_i, n_i) se modela así como un campo vectorial continuo V. La función implícita f se encuentra integrando el campo vectorial V. Como no todo campo vectorial es el gradiente de una función, el problema puede o no tener solución: la condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial suave V sea el gradiente de una función f es que el rotacional de V debe ser idénticamente cero. En caso de que esta condición sea difícil de imponer, todavía es posible realizar un ajuste de mínimos cuadrados para minimizar la diferencia entre V y el gradiente de f.

Para poder aplicar de manera efectiva la ecuación de Poisson al problema de la reconstrucción de superficies, es necesario encontrar una buena discretización del campo vectorial V. El enfoque básico es vincular los datos con una cuadrícula de diferencias finitas. Para una función valorada en los nodos de dicha cuadrícula, su gradiente se puede representar como valorado en cuadrículas escalonadas, es decir, en cuadrículas cuyos nodos se encuentran entre los nodos de la cuadrícula original. Es conveniente definir tres grillas escalonadas, cada una desplazada en una y sólo una dirección correspondiente a los componentes de los datos normales. En cada cuadrícula escalonada realizamos una interpolación trilineal en el conjunto de puntos. Los pesos de interpolación se utilizan luego para distribuir la magnitud del componente asociado de n_i en los nodos de la celda de cuadrícula escalonada particular que contiene p_i. Kazhdan y sus coautores brindan un método de discretización más preciso utilizando una cuadrícula adaptativa de diferencias finitas, es decir, las celdas de la cuadrícula son más pequeñas (la cuadrícula se divide más finamente) donde hay más puntos de datos. Sugieren implementar esta técnica con un octree adaptativo.

Dinámica de fluidos

Para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes, dadas por

∂ ∂ v∂ ∂ t+()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v=− − 1*** *** Silencio Silencio p+.. Δ Δ v+g,Silencio Silencio ⋅ ⋅ v=0.{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial mathbf {v}{partial t}}+(mathbf {v} cdot nabla)mathbf {v}=-{frac {1}{rho }}}nabla p+nu Delta mathbf {v} +mathbf {g}}

La ecuación para el campo de presión p{displaystyle p} es un ejemplo de una ecuación Poisson no lineal:

Δ Δ p=− − *** *** Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()v⋅ ⋅ Silencio Silencio v)=− − *** *** Tr⁡ ⁡ ()()Silencio Silencio v)()Silencio Silencio v)).{displaystyle {begin{aligned} Delta p paciente=-rho nabla cdot (mathbf {v} cdot nabla mathbf {v})\\\cdot mathbf {v} {Tr} {big (}(nabla mathbf {v})(nabla mathbf {v}{big)}.end{aligned}}}