Ecuación cúbica

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Ecuación polinómica del grado 3

Gráfico de una función cúbica con 3 raíces reales (donde la curva atraviesa el eje horizontal a

Sí. = 0

). El caso mostrado tiene dos puntos críticos. Aquí está la función

f () x) 1 / 4 () x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8)

En álgebra, una ecuación cúbica en una variable es una ecuación de la forma

ax^3+bx^2+cx+d=0

en el que $a$ es distinto de cero.

Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes $a$ , $b$ , $c$ y $d$ de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar de la siguiente manera:

algebraicamente: más precisamente, pueden ser expresados por un fórmula cúbica implicando los cuatro coeficientes, las cuatro operaciones aritméticas básicas, raíces cuadradas y raíces cubo. (Esto también es cierto de las ecuaciones cuadráticas (segundo grado) y cuartic (cuarto grado), pero no para las ecuaciones de mayor grado, por el teorema Abel-Ruffini.)
trigonométricamente
Las aproximaciones numéricas de las raíces se pueden encontrar utilizando algoritmos de determinación de raíces como el método de Newton.

No es necesario que los coeficientes sean números reales. Mucho de lo que se trata a continuación es válido para coeficientes en cualquier campo con características distintas de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).

Historia

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios. Se han encontrado tablillas cuneiformes babilónicas (siglos XX al XVI a. C.) con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas. Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia que confirme que lo hicieron. El problema de duplicar el cubo involucra la ecuación cúbica estudiada más simple y antigua, y para la cual los antiguos egipcios no creían que existiera una solución. En el siglo V a. C., Hipócrates redujo este problema al de encontrar dos medias proporcionales entre una línea y otra del doble de su longitud, pero no pudo resolverlo con una construcción de regla y compás, tarea que ahora se sabe que es imposible. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático, un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III. En el siglo III d. C., el matemático griego Diofanto encontró soluciones racionales o enteras para algunas ecuaciones cúbicas bivariadas (ecuaciones diofantinas). Se cree que Hipócrates, Menaechmus y Arquímedes estuvieron cerca de resolver el problema de duplicar el cubo usando secciones cónicas que se cruzan, aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos estaban pensando en ecuaciones cúbicas o solo en problemas que pueden conducir a ecuaciones cúbicas. Algunos otros como T. L. Heath, quien tradujo todo Archimedes' obras, no están de acuerdo, presentando evidencia de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas, pero también discutió las condiciones donde las raíces son 0, 1 o 2.

Gráfico de la función cúbica f()x) = 2x³3 - 3x²3 - 3x+ 2 =x+ 1) (2x− 1)x− 2)

En el siglo VII, el astrónomo y matemático de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma $x 3 + px 2 + qx = N$ , 23 de ellos con $p, q \neq 0$ , y dos de ellos con $q = 0$ .

En el siglo XI, el poeta y matemático persa Omar Khayyam (1048-1131) hizo un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En uno de sus primeros artículos, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y afirmó que no se puede resolver usando construcciones de compás y regla. También encontró una solución geométrica. En su obra posterior, el Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra, escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas. Khayyam intentó encontrar una fórmula algebraica para extraer raíces cúbicas. Escribió:

“Hemos intentado expresar estas raíces por álgebra pero hemos fallado. Puede ser, sin embargo, que los hombres que vienen después de nosotros tendrán éxito. ”

En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó la solución de ecuaciones cúbicas sin éxito general. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: $x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35$ . En el siglo XII, otro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), escribió el Al-Muʿādalāt (Tratado de ecuaciones), que trataba de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que más tarde se conocería como el "método Ruffini-Horner" para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas a ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.

En su libro Flos, Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170–1250), fue capaz de aproximar de cerca la solución positiva de la ecuación cúbica $x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20$ . Escribiendo en números babilónicos dio como resultado 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), que tiene un error relativo de unos 10 ⁻⁹.

A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465–1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, aquellas de la forma $x 3 + mx = n$ . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite $m$ y $n$ como negativo, pero en ese momento no conocía los números negativos. Del Ferro mantuvo en secreto su logro hasta poco antes de su muerte, cuando se lo contó a su alumno Antonio Fior.

Niccolò Fontana Tartaglia

En 1535, Niccolò Tartaglia (1500–1557) recibió dos problemas de ecuaciones cúbicas de Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Fior, lo que llevó a un famoso concurso entre los dos. Cada concursante tenía que aportar una determinada cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que los resolviera su rival. Quien resolviera más problemas en 30 días se quedaría con todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma $x 3 + mx = n$ , para el que había elaborado un método general. Fior recibió preguntas en la forma $x 3 + mx 2 = n$ , que le resultó demasiado difícil de resolver, y Tartaglia ganó el concurso.

Más tarde, Gerolamo Cardano (1501-1576) persuadió a Tartaglia para que revelara su secreto para resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicarlo. Algunos años más tarde, Cardano se enteró del trabajo anterior de Del Ferro y publicó el método de Del Ferro en su libro Ars Magna en 1545, lo que significa que Cardano le dio a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito dado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, y Cardano sintió que estaba publicando el de Del Ferro, para eludir la promesa. Sin embargo, esto llevó a un desafío a Cardano de Tartaglia, que Cardano negó. El desafío fue finalmente aceptado por el alumno de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competencia, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en Ars Magna, pero realmente no lo entendió. Rafael Bombelli estudió este tema en detalle y, por lo tanto, a menudo se lo considera el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540–1603) derivó de forma independiente la solución trigonométrica de la cúbica con tres raíces reales, y René Descartes (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.

Factorización

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales, se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un múltiplo común de sus denominadores. tal ecuación

ax^3+bx^2+cx+d=0,

con coeficientes enteros, se dice que es reducible si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de menor grado. Por el lema de Gauss, si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.

Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener grado uno y, por lo tanto, tener la forma

{displaystyle qx-p}

con $q$ y $p$ son enteros coprimos. La prueba de raíz racional permite encontrar $q$ y $p$ examinando un número finito de casos (porque $q$ debe ser un divisor de $a$ , y $p$ debe ser un divisor de $d$ ).

Así, una raíz es ${displaystyle textstyle x_{1}={frac {p}{q}},}$ y las otras raíces son las raíces del otro factor, que se puede encontrar por división larga polinomio. Este otro factor es

{displaystyle {frac {a}{q}}x^{2}+{frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}}

(Los coeficientes parecen no ser números enteros, pero deben ser números enteros si $p / q$ es una raíz.)

Entonces, las otras raíces son las raíces de este polinomio cuadrático y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Cúbica deprimida

(feminine)

Cúbicos de la forma

{displaystyle t^{3}+pt+q}

se dice que están deprimidos. Son mucho más simples que las cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbica puede reducirse a un simple cambio de variable a la de una cúbica deprimida.

Dejar

{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

sea una ecuación cúbica. El cambio de variable

{displaystyle x=t-{frac {b}{3a}}}

da un valor cúbico (en $t$ ) que no tiene ningún término en $t 2$ .

Después de dividir por $a$ se obtiene la ecuación cúbica deprimida

{displaystyle t^{3}+pt+q=0,}

con

{displaystyle {begin{aligned}t={}&x+{frac {b}{3a}}\p={}&{frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\q={}&{frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.end{aligned}}}

Las raíces $x_{1},x_{2},x_{3}$ de la ecuación original están relacionados con las raíces ${displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$ de la ecuación deprimida por las relaciones

{displaystyle x_{i}=t_{i}-{frac {b}{3a}},}

{displaystyle i=1,2,3}

Discriminante y naturaleza de las raíces

La naturaleza (real o no, distinta o no) de las raíces de una cúbica se puede determinar sin calcularlas explícitamente, usando el discriminante.

Discriminante

El discriminante de un polinomio es una función de sus coeficientes que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple, o si es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante. En otras palabras, el discriminante es distinto de cero si y solo si el polinomio no tiene cuadrados.

Si $r 1, r 2, r 3$ son las tres raíces (no necesariamente distintas ni reales) del cúbico ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$ entonces el discriminante es

{displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}

El discriminador del cúbico deprimido ${displaystyle t^{3}+pt+q}$ es

{displaystyle -left(4,p^{3}+27,q^{2}right).}

El discriminante del cúbico general ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ es

{displaystyle 18,abcd-4,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4,ac^{3}-27,a^{2}d^{2}.}

Es el producto de ${displaystyle a^{4}}$ y el discriminador del cubículo deprimido correspondiente. Utilizando la fórmula relativa al cúbico general y el cúbico deprimido asociado, esto implica que el discriminante del cúbico general puede ser escrito como

{displaystyle {frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}

Se sigue que uno de estos dos discriminantes es cero si y solo si el otro también es cero y, si los coeficientes son reales, los dos discriminantes tienen el mismo signo. En resumen, la misma información se puede deducir de cualquiera de estos dos discriminantes.

Para probar las fórmulas anteriores, se pueden usar las fórmulas de Vieta para expresar todo como polinomios en $r 1, r 2, r 3$ y $a$ . La prueba entonces da como resultado la verificación de la igualdad de dos polinomios.

Naturaleza de las raíces

Si los coeficientes de un polinomio son números reales, y su discriminante $Delta$ no es cero, hay dos casos:

Si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ ■0,{displaystyle Delta >0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c2f0482abb077ecda096056a4f555a68e5751" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.844ex; height:2.509ex;"/>$ el cúbico tiene tres raíces reales distintas
Si $<math alttext="{displaystyle Delta Δ Δ .0,{displaystyle Delta = 0,} <img alt="{displaystyle Delta$ el cúbico tiene una raíz real y dos raíces conjugadas no reales complejas.

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Primero, si $r$ es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su complejo conjugado también es una raíz. Entonces, las raíces no reales, si las hay, se presentan como pares de raíces conjugadas complejas. Como un polinomio cúbico tiene tres raíces (no necesariamente distintas) por el teorema fundamental del álgebra, al menos una raíz debe ser real.

Como se indicó anteriormente, si $r 1, r 2, r 3$ son las tres raíces del cúbico ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ , entonces el discriminante es

{displaystyle Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}

Si las tres raíces son reales y distintas, el discriminante es un producto de los hechos positivos, es decir, $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ ■0.{displaystyle Delta œ0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1801e94ceecde6444bbcb6cf45997f0c6a9d046" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.844ex; height:2.176ex;"/>$

Si sólo una raíz, diga $r 1$ , es real, entonces $r 2$ y $r 3$ son conjugados complejos, lo que implica que $r 2 - r 3$ es un número puramente imaginario, y así $() r 2 - r 3) 2$ es real y negativo. Por otro lado, $r 1 - r 2$ y $r 1 - r 3$ son complejos conjugados, y su producto es real y positivo. Así el discriminante es el producto de un solo número negativo y varios positivos. Eso es $<math alttext="{displaystyle Delta Δ Δ .0.{displaystyle "Delta" <img alt="{displaystyle Delta$

Raíz múltiple

Si el discriminante de un cúbico es cero, el cúbico tiene una raíz múltiple. Si además sus coeficientes son reales, entonces todas sus raíces son reales.

El discriminador del cúbico deprimido ${displaystyle t^{3}+pt+q}$ es cero si ${displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$ Si $p$ es también cero, entonces $p = q = 0$ , y 0 es una raíz triple del cúbico. Si ${displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$ y $p ل 0$ , entonces el cúbico tiene una raíz simple

{displaystyle t_{1}={frac {3q}{p}}}

y una raíz doble

{displaystyle t_{2}=t_{3}=-{frac {3q}{2p}}.}

En otras palabras,

{displaystyle t^{3}+pt+q=left(t-{frac {3q}{p}}right)left(t+{frac {3q}{2p}}right)^{2}.}

Este resultado puede probarse expandiendo el último producto o recuperarse resolviendo el sistema de ecuaciones bastante simple que resulta de las fórmulas de Vieta.

Mediante la reducción de un cúbico deprimido, estos resultados pueden extenderse al cúbico general. Esto da: Si el discriminante del cúbico ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ es cero, entonces

si ${displaystyle b^{2}=3ac,}$ el cúbico tiene una raíz triple

{displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{frac {b}{3a}},}

{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=aleft(x+{frac {b}{3a}}right)^{3}}

o, si ${displaystyle b^{2}neq 3ac,}$ el cúbico tiene una raíz doble

{displaystyle x_{2}=x_{3}={frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}

y una raíz simple,

{displaystyle x_{1}={frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}

y así

{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}

Característica 2 y 3

Los resultados anteriores son válidos cuando los coeficientes pertenecen a un campo de característica distinto de 2 o 3, pero deben modificarse para la característica 2 o 3, debido a las divisiones involucradas por 2 y 3.

La reducción a una cúbica deprimida funciona para la característica 2, pero no para la característica 3. Sin embargo, en ambos casos es más sencillo establecer y enunciar los resultados para la cúbica general. La principal herramienta para ello es el hecho de que una raíz múltiple es una raíz común del polinomio y su derivada formal. En estas características, si la derivada no es una constante, es un polinomio lineal en la característica 3 y es el cuadrado de un polinomio lineal en la característica 2. Por lo tanto, para la característica 2 o 3, la derivada tiene una sola raíz. Esto permite calcular la raíz múltiple, y la tercera raíz se puede deducir de la suma de las raíces, que es proporcionada por las fórmulas de Vieta.

Una diferencia con otras características es que, en la característica 2, la fórmula para una raíz doble involucra una raíz cuadrada y, en la característica 3, la fórmula para una raíz triple involucra una raíz cúbica.

Fórmula de Cardano

A Gerolamo Cardano se le atribuye la publicación de la primera fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, atribuyéndola a Scipione del Ferro y Niccolo Fontana Tartaglia. La fórmula se aplica a las cúbicas deprimidas, pero, como se muestra en § Cúbica deprimida, permite resolver todas las ecuaciones cúbicas.

El resultado de Cardano es que, si

t^{3}+pt+q=0

es una ecuación cúbica tal que $p$ y $q$ son números reales tales que ${displaystyle Delta ={frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}}}$ es positivo, entonces la ecuación tiene la raíz real

{displaystyle {sqrt[{3}]{u_{1}}}+{sqrt[{3}]{u_{2}}},}

Donde $u_{1}$ y $u_{2}$ son los dos números ${displaystyle -{frac {q}{2}}+{sqrt {Delta }}}$ y ${displaystyle -{frac {q}{2}}-{sqrt {Delta }}.}$

Consulte § Derivación de las raíces, a continuación, para conocer varios métodos para obtener este resultado.

Como se muestra en § Naturaleza de las raíces, las otras dos raíces son números conjugados complejos no reales, en este caso. Se mostró más tarde (Cardano no conocía números complejos) que las otras dos raíces se obtienen multiplicando una de las raíces del cubo por la raíz primitiva del cubo de la unidad ${displaystyle varepsilon _{1}={frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}},}$ y el otro cubo raíz por el otro cubo primitivo raíz de la unidad ${displaystyle varepsilon _{2}=varepsilon _{1}^{2}={frac {-1-i{sqrt {3}}}{2}}.}$ Es decir, las otras raíces de la ecuación son ${displaystyle varepsilon _{1}{sqrt[{3}]{u_{1}}}+varepsilon _{2}{sqrt[{3}]{u_{2}}}}$ y ${displaystyle varepsilon _{2}{sqrt[{3}]{u_{1}}}+varepsilon _{1}{sqrt[{3}]{u_{2}}}.}$

Si $<math alttext="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}4p3+27q2.0,{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}traducido0,}<img alt="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}$ hay tres raíces reales, pero la teoría de Galois permite probar que, si no hay raíz racional, las raíces no pueden ser expresadas por una expresión algebraica que implica sólo números reales. Por lo tanto, la ecuación no se puede resolver en este caso con el conocimiento del tiempo de Cardano. Este caso se ha denominado así casus irreducibilis, que significa caso irreducible en latín.

In casus irreducibilis, la fórmula de Cardano todavía se puede utilizar, pero se necesita algún cuidado en el uso de raíces de cubo. Un primer método es definir los símbolos ${displaystyle {sqrt {{~}^{~}}}}$ y ${displaystyle {sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$ representando los valores principales de la función raíz (es decir, la raíz que tiene la mayor parte real). Con esta convención la fórmula de Cardano para las tres raíces sigue siendo válida, pero no es puramente algebraica, ya que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, ya que implica desigualdades para comparar partes reales. Además, el uso de la raíz principal del cubo puede dar un resultado equivocado si los coeficientes son números complejos no reales. Además, si los coeficientes pertenecen a otro campo, la raíz principal del cubo no se define en general.

La segunda forma de hacer que la fórmula de Cardano sea siempre correcta es señalar que el producto de las dos raíces cúbicas debe ser $- p / 3. Resulta que una raíz de la ecuación es$

{displaystyle C-{frac {p}{3C}}quad {text{with}}quad C={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}+{sqrt {{frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}}}}}}.}

En esta fórmula, los símbolos ${displaystyle {sqrt {{~}^{~}}}}$ y ${displaystyle {sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$ denota cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz de cubo. Las otras raíces de la ecuación se obtienen ya sea cambiando la raíz del cubo o, equivalentemente, multiplicando la raíz del cubo por una raíz primitiva del cubo de la unidad, que es ${displaystyle textstyle {frac {-1pm {sqrt {-3}}}{2}}.}$

Esta fórmula para las raíces siempre es correcta excepto cuando $p = q = 0$ , con el proviso que si $p = 0$ , la raíz cuadrada es elegida para $C ل 0$ . Sin embargo, la fórmula es inútil en estos casos ya que las raíces se pueden expresar sin ninguna raíz de cubo. Del mismo modo, la fórmula también es inútil en los otros casos en que no se necesita raíz de cubo, es decir, cuando ${displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0}$ y cuando el polinomio cúbico no es irreducible.

Esta fórmula también es correcta cuando $p$ y $q$ pertenecen a cualquier campo de característica distinto de 2 o 3.

Fórmula cúbica general

Una fórmula cúbica para las raíces de la ecuación cúbica general (con $a \neq 0$ )

ax^3+bx^2+cx+d=0

se puede deducir de cada variante de la fórmula de Cardano por reducción a un cúbico deprimido. La variante que aquí se presenta es válida no solo para coeficientes reales, sino también para coeficientes $a, b, c, d$ pertenecientes a cualquier campo de característica diferente de 2 y 3.

Siendo la fórmula bastante complicada, vale la pena dividirla en fórmulas más pequeñas.

Dejar

{displaystyle {begin{aligned}Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d.end{aligned}}}

(Ambos) $Delta _{0}$ y $Delta _{1}$ puede expresarse como resultado del cúbico y sus derivados: $Delta _{1}$ es $-1 / 8 a$ tiempos el resultado del cúbico y su segundo derivado, y $Delta _{0}$ es $-1 / 12 a$ veces el resultado de los derivados primero y segundo del polinomio cúbico.)

Entonces deja

{displaystyle C={sqrt[{3}]{frac {Delta _{1}pm {sqrt {Delta _{1}^{2}-4Delta _{0}^{3}}}}{2}}},}

donde los símbolos ${displaystyle {sqrt {{~}^{~}}}}$ y ${displaystyle {sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$ se interpretan como cualquiera raíz cuadrada y cualquiera raíz de cubo, respectivamente (cada número complejo no cero tiene dos raíces cuadradas y tres raíces cúbicas). La señal " $\pm$ " antes de que la raíz cuadrada sea " $+$ "o" $-$ "; la elección es casi arbitraria, y cambiarla equivale a elegir una raíz cuadrada diferente. Sin embargo, si una elección produce $C = 0$ (esto ocurre si $Delta _{0}=0$ ), entonces el otro signo debe ser seleccionado en su lugar. Si ambas opciones rinden $C = 0$ , eso es, si ${displaystyle Delta _{0}=Delta _{1}=0,}$ una fracción 0/0 se produce en las siguientes fórmulas; esta fracción debe interpretarse como igual a cero (ver el final de esta sección). Con estas convenciones, una de las raíces es

{displaystyle x=-{frac {1}{3a}}left(b+C+{frac {Delta _{0}}{C}}right){text{.}}}

Las otras dos raíces se pueden obtener cambiando la elección de la raíz cúbica en la definición de $C$ , o de manera equivalente multiplicando $C$ por una raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir $-1 \pm \sqrt -3 / 2$ . En otras palabras, las tres raíces son

{displaystyle x_{k}=-{frac {1}{3a}}left(b+xi ^{k}C+{frac {Delta _{0}}{xi ^{k}C}}right),qquad kin {0,1,2}{text{,}}}

donde $ξ = -1 + \sqrt -3 / 2$ .

En cuanto al caso especial de un cúbico deprimido, esta fórmula aplica pero es inútil cuando las raíces se pueden expresar sin raíces de cubo. En particular, si ${displaystyle Delta _{0}=Delta _{1}=0,}$ la fórmula da que las tres raíces iguales ${displaystyle {frac {-b}{3a}},}$ que significa que el polinomio cúbico se puede considerar ${displaystyle textstyle a(x+{frac {b}{3a}})^{3}.}$ Una computación directa permite verificar que la existencia de esta factorización es equivalente con ${displaystyle Delta _{0}=Delta _{1}=0.}$

Soluciones trigonométricas e hiperbólicas

Solución trigonométrica de tres raíces reales

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales implican números complejos. La teoría de Galois permite probar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional (casus irreducibilis), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones usando funciones trigonométricas, específicamente en términos de cosenos y arcocosenos. Más precisamente, las raíces de la cúbica deprimida

{displaystyle t^{3}+pt+q=0}

son

{displaystyle t_{k}=2,{sqrt {-{frac {p}{3}}}},cos left[,{frac {1}{3}}arccos left({frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}},right)-{frac {2pi k}{3}},right]qquad {text{for }}k=0,1,2.}

Esta fórmula se debe a François Viète. Es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (eso es $<math alttext="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}4p3+27q2.0{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}traducido0}<img alt="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}$ ). De lo contrario, sigue siendo correcto pero implica complejos cosines y arccosines cuando sólo hay una raíz real, y no es sensible (división por cero) cuando $p = 0$ .

Esta fórmula se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces de una ecuación cúbica general, usando la sustitución hacia atrás descrita en § Cúbica deprimida.

La fórmula se puede probar de la siguiente manera: Partiendo de la ecuación $t 3 + pt + q = 0$ , establezcamos $t = u cos θ$ . La idea es elegir $u$ para hacer el la ecuación coincide con la identidad

{displaystyle 4cos ^{3}theta -3cos theta -cos(3theta)=0.}

Para esto, elija ${displaystyle u=2,{sqrt {-{frac {p}{3}}}},,}$ y dividir la ecuación por ${displaystyle {frac {u^{3}}{4}}.}$ Esto da

{displaystyle 4cos ^{3}theta -3cos theta -{frac {3q}{2p}},{sqrt {frac {-3}{p}}}=0.}

Combinando con la identidad anterior, se obtiene

{displaystyle cos(3theta)={frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}},,}

y las raíces son así

{displaystyle t_{k}=2,{sqrt {-{frac {p}{3}}}},cos left[{frac {1}{3}}arccos left({frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}}right)-{frac {2pi k}{3}}right]qquad {text{for }}k=0,1,2.}

Solución hiperbólica para una raíz real

Cuando solo hay una raíz real (y $p \neq 0$ ), esta raíz se puede representar de manera similar usando funciones hiperbólicas, como

0~{text{ and }}~p0.end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t0=− − 2SilencioqSilencioq− − p3cosh⁡ ⁡ [13arcosh⁡ ⁡ ()− − 3SilencioqSilencio2p− − 3p)]si4p3+27q2■0yp.0,t0=− − 2p3pecado⁡ ⁡ [13arsinh⁡ ⁡ ()3q2p3p)]sip■0.{displaystyle {begin{aligned}t_{0} {f}{f} {f}{f}}{sqrt {fnMicroc {p}{3}}}cosh left [{frac {1}{3}operatorname {arcosh} left({frac {frac}{f} {f} {f}f}f}f}f} - ¿Qué? {-3}{p}}derecha]qquad {text{if} #4p^{3}+27q^{2}} {text{ and }}~p made0,t_{0} limit=-2{sqrt {frac {p}{3}}sinh left [{frac {1}{3}operatorname {arsinh} left({frac {3q}{2p}{sqrt {frac {3}{}{} {p}right)qqd}qd} {f} {f}} {f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}p}p}p}p}f}p}p}p}fnh]p}f}p}f}p}fnh}fnh}p}fnh}p}fnh}p}fn ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif}0~{text{ and }}~p0.end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4db866023eccccd6a208cdff730a2614478b136" style="vertical-align: -7.171ex; width:84.656ex; height:15.509ex;"/>

Si $p \neq 0$ y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero involucran cantidades complejas.

Cuando $p = \pm3$ , los valores anteriores de $t 0$ a veces se denominan raíz cúbica de Chebyshev. Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando $p = -3$ , la misma función analítica denominada $C 1/3 (q)$ , que es la raíz cúbica de Chebyshev adecuada. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar $S 1/3 (q)$ , cuando $p = 3$ .

Soluciones geométricas

La solución de Omar Khayyám

La solución geométrica de Omar Khayyám de una ecuación cúbica, para el caso

m = 2

n = 16

, dando la raíz

2

. La intersección de la línea vertical en la

x

-eje en el centro del círculo es la casualidad del ejemplo ilustrado.

Para resolver la ecuación cúbica $x 3 + m 2 x = n$ donde $n > 0$ , Omar Khayyám construyó la parábola $y = x 2 / m$ , el círculo que tiene como diámetro el segmento de línea $[0, n / m 2]$ en el eje positivo $x$ , y una línea vertical a través del punto donde el círculo y la parábola se interseca sobre el eje $x$ . La solución viene dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje $x$ (ver la figura).

Una prueba moderna simple es la siguiente. Multiplicando la ecuación por $x / m 2$ y reagrupando los términos se obtiene

{displaystyle {frac {x^{4}}{m^{2}}}=xleft({frac {n}{m^{2}}}-xright).}

El lado izquierdo es el valor de $y 2$ en la parábola. La ecuación del círculo es $y 2 + x (x - n / m 2) = 0$ , el lado derecho es el valor de $y 2$ en el círculo.

Solución con trisector de ángulo

Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente usando compás, regla y una trisectriz de ángulo si y solo si tiene tres raíces reales.

Una ecuación cúbica se puede resolver mediante la construcción con regla y compás (sin trisector) si y solo si tiene una raíz racional. Esto implica que los viejos problemas de la trisección de ángulos y la duplicación del cubo, establecidos por los antiguos matemáticos griegos, no pueden resolverse mediante la construcción con regla y compás.

Interpretación geométrica de las raíces

Tres raíces reales

Para el cúbico ()1) con tres raíces reales, las raíces son la proyección en

x

-eje de los vértices

A

B

, y

C

de un triángulo equilátero. El centro del triángulo tiene el mismo

x

-coordinado como punto de inflexión.

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo. Cuando el cúbico se escribe en forma deprimida (2), $t 3 + pt + q = 0$ , como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

t_{k}=2{sqrt {-{frac {p}{3}}}}cos left({frac {1}{3}}arccos left({frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}}right)-k{frac {2pi }{3}}right)quad {text{for}}quad k=0,1,2,.

Aquí. $arccos left({frac {3q}{2p}}{sqrt {frac {-3}{p}}}right)$ es un ángulo en el círculo de la unidad; tomar $1 / 3$ de ese ángulo corresponde a tomar una raíz cubo de un número complejo; añadir $- k 2 π / 3$ para $k = 1, 2$ encuentra las otras raíces cubo; y multiplicando los cosines de estos ángulos resultantes por $2{sqrt {-{frac {p}{3}}}}$ correctos para escala.

Para el caso no deprimido (1) (que se muestra en el gráfico adjunto), el caso deprimido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo $t$ tal que $x = t - b / 3 a$ entonces $t = x + b / 3 a$ . Gráficamente esto corresponde a simplemente desplazar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables $t$ y $x$ , sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este cambio mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje $y$ . En consecuencia, las raíces de la ecuación en $t$ suman cero.

Una raíz real

En el plano cartesiano

La pendiente de la línea RA es dos veces la de RH. Denotar las complejas raíces del cúbico como

g \pm Hola.

g = OM

(negativo aquí) y

h

\sqrt # ORH

\sqrt pendiente de la línea RH

BE

DA

Cuando la gráfica de una función cúbica se traza en el plano cartesiano, si solo hay una raíz real, es la abscisa ( $x$ -coordenada) de la intersección horizontal de la curva (punto R en la figura). Además, si las raíces conjugadas complejas se escriben como $g \pm hi$ , entonces la parte real $g$ es la abscisa del punto de tangencia H de la recta tangente a cubic que pasa por $x$ -intersección R de la cúbica (esa es la longitud con signo OM, negativo en la figura). Las partes imaginarias $\pmh$ son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta recta tangente y el eje horizontal.

En el plano complejo

Con una raíz real y dos complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada cúbica. Hay una interesante relación geométrica entre todas estas raíces.

Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles. (El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, que son conjugadas complejas, aparecen simétricamente arriba y abajo del eje real). El teorema de Marden dice que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbica son los focos de la inelipse de Steiner del triángulo, la única elipse que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice del eje real es menor que $π / 3$ entonces el eje mayor de la elipse se encuentra en el eje real, al igual que sus focos y, por lo tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor que $π / 3$ , el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo es $π / 3$ , el triángulo es equilátero, la inelipse de Steiner es simplemente la circunferencia inscrita del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real, y por lo tanto la derivada tiene raíces reales duplicadas.

Grupo Galois

Dado un polinomio cúbico irreducible sobre un campo $K$ de característica distinta de 2 y 3, el grupo de Galois sobre $K$ es el grupo de automorfismos de campo que fijan $K$ de la extensión más pequeña de $K$ (campo de división). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es el grupo $S 3$ de las seis permutaciones de las tres raíces, o el grupo $A 3$ de las tres permutaciones circulares.

El discriminante $Δ$ de la cúbica es el cuadrado de

{displaystyle {sqrt {Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}

Donde $a$ es el coeficiente líder del cúbico, y $r 1$ , $r 2$ y $r 3$ son las tres raíces del cúbico. As ${displaystyle {sqrt {Delta }}}$ cambios de signo si se intercambian dos raíces, ${displaystyle {sqrt {Delta }}}$ es fijado por el grupo Galois sólo si el grupo Galois es $A 3$ . En otras palabras, el grupo Galois es $A 3$ si y sólo si el discriminante es el cuadrado de un elemento $k$ .

Como la mayoría de los enteros no son cuadrados, cuando se trabaja sobre el campo $Q$ de los números racionales, el grupo de Galois de la mayoría de los polinomios cúbicos irreducibles es el grupo $S 3$ con seis elementos. Un ejemplo de un grupo de Galois $A 3$ con tres elementos lo da $p (x) = x 3 - 3 x - 1$ , cuyo discriminante es $81 = 9 2$ .

Derivación de las raíces

Esta sección reagrupa varios métodos para derivar la fórmula de Cardano.

El método de Cardano

Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia, pero lleva el nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).

Este método se aplica a una cúbica deprimida $t 3 + pt + q = 0$ . La idea es introducir dos variables $u$ y $v$ tal que $u + v = t$ y sustituir esto en la cúbica deprimida, dando

{displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}

En este punto, Cardano impuso la condición $3 uv + p = 0$ . Esto elimina el tercer término en la igualdad anterior, lo que lleva al sistema de ecuaciones

{displaystyle {begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\uv&=-{frac {p}{3}}.end{aligned}}}

Conocer la suma y el producto de $u 3$ y $v 3$ , se deduce que son las dos soluciones de la ecuación cuadrática

{displaystyle (x-u^{3})(x-v^{3})=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}=0,}

entonces

{displaystyle x^{2}+qx-{frac {p^{3}}{27}}=0,}

El discriminante de esta ecuación es ${displaystyle Delta =q^{2}+{frac {4p^{3}}{27}}}$ , y suponiendo que es positivo, las soluciones reales a esta ecuación son (después de la división plegable por 4 bajo la raíz cuadrada):

{displaystyle -{frac {q}{2}}pm {sqrt {{frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}}}}.}

Entonces (sin pérdida de generalidad al elegir u o v):

{displaystyle u={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}+{sqrt {{frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}}}}}}.}

{displaystyle v={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}-{sqrt {{frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}}}}}}.}

Como $u + v = t$ , la suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Eso es

{displaystyle t={sqrt[{3}]{-{q over 2}+{sqrt {{q^{2} over 4}+{p^{3} over 27}}}}}+{sqrt[{3}]{-{q over 2}-{sqrt {{q^{2} over 4}+{p^{3} over 27}}}}}}

es una raíz de la ecuación; esta es la fórmula de Cardano.

Esto funciona bien cuando $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">4p3+27q2■0,{displaystyle 4p^{3}+27q^{2} título0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f884e579deddff4e0acad1e9f51c8f25483e803" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.593ex; height:3.009ex;"/>$ pero, si $<math alttext="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}4p3+27q2.0,{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}traducido0,}<img alt="{displaystyle 4p^{3}+27q^{2}$ la raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un número complejo tiene tres raíces de cubo, usando la fórmula de Cardano sin cuidado proporcionaría nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado primero por Rafael Bombelli en su libro L'Algebra (1572). La solución es utilizar el hecho de que $uv = - p / 3$ , eso es $v = - p / 3 u$ . Esto significa que sólo una raíz de cubo necesita ser computada, y conduce a la segunda fórmula dada en la fórmula de § Cardano.

Las otras raíces de la ecuación pueden obtenerse cambiando la raíz del cubo, o, equivalentemente, multiplicando la raíz del cubo por cada una de las dos raíces primitivas del cubo de la unidad, que son ${displaystyle {frac {-1pm {sqrt {-3}}}{2}}.}$

Sustitución de Vieta

La sustitución de Vieta es un método introducido por François Viète (Vieta es su nombre en latín) en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de § Cardano y evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes.

A partir de la cúbica deprimida $t 3 + pt + q = 0$ , la sustitución de Vieta es $t = w - p / 3 w$ .

La sustitución $t = w - p / 3 w$ transforma el cúbico deprimido en

{displaystyle w^{3}+q-{frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}

Multiplicando por $w 3$ , se obtiene una ecuación cuadrática en $w 3$ :

{displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{frac {p^{3}}{27}}=0.}

Dejar

{displaystyle W=-{frac {q}{2}}pm {sqrt {{frac {p^{3}}{27}}+{frac {q^{2}}{4}}}}}

ser cualquier raíz no cero de esta ecuación cuadrática. Si $w 1$ , $w 2$ y $w 3$ son las tres raíces del cubo $W$ , entonces las raíces del cúbico original deprimido son $w 1 - p / 3 w 1$ , $w 2 - p / 3 w 2$ , y $w 3 - p / 3 w 3$ . La otra raíz de la ecuación cuadrática es ${displaystyle textstyle -{frac {p^{3}}{27W}}.}$ Esto implica que cambiar el signo de los intercambios de raíz cuadrados $w i$ y $- p / 3 w i$ para $i = 1, 2, 3$ , y por lo tanto no cambia las raíces. Este método sólo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir, cuando $p = q = 0$ , en cuyo caso la única raíz del cúbico deprimido es $0$ .

Método de Lagrange

En su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Pensamientos sobre la resolución algebraica de ecuaciones"), Joseph Louis Lagrange introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de bajo grado de manera uniforme, con la esperanza de poder generalizarlo para grados superiores. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y de cuarto grado, pero Lagrange no logró aplicarlo a una ecuación de quinto grado, porque requiere resolver un polinomio resolvente de grado al menos seis. Aparte del hecho de que nadie lo había logrado antes, este fue el primer indicio de la inexistencia de una fórmula algebraica para los grados 5 y superiores; como se demostró más tarde por el teorema de Abel-Ruffini. Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones quínticas resolubles se basan principalmente en el método de Lagrange.

En el caso de ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange da la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general $ax 3 + bx 2 + cx + d = 0$ , pero el cálculo es más simple con la ecuación cúbica deprimida, $t 3 + pt + q = 0$ .

La idea principal de Lagrange era trabajar con la discreta transformación Fourier de las raíces en lugar de con las propias raíces. Más precisamente, dejemos $.$ ser una tercera raíz primitiva de la unidad, es un número tal que $. 3 = 1$ y $. 2 + . + 1 = 0$ (al trabajar en el espacio de números complejos, uno tiene ${displaystyle textstyle xi ={frac {-1pm i{sqrt {3}}}{2}}=e^{2ipi /3},}$ pero esta compleja interpretación no se utiliza aquí). Denotación $x 0$ , $x 1$ y $x 2$ las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, dejar

{displaystyle {begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\s_{1}&=x_{0}+xi x_{1}+xi ^{2}x_{2},\s_{2}&=x_{0}+xi ^{2}x_{1}+xi x_{2},end{aligned}}}

sea la transformada discreta de Fourier de las raíces. Si $s 0$ , $s 1$ y $s 2$ , las raíces se pueden recuperar de ellos con el inverso Transformada de Fourier que consiste en invertir esta transformación lineal; eso es,

{displaystyle {begin{aligned}x_{0}&={tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\x_{1}&={tfrac {1}{3}}(s_{0}+xi ^{2}s_{1}+xi s_{2}),\x_{2}&={tfrac {1}{3}}(s_{0}+xi s_{1}+xi ^{2}s_{2}).end{aligned}}}

Por las fórmulas de Vieta, se sabe que $s 0$ es cero en el caso de una persona deprimida. cúbico y $- b / a$ para la cúbica general. Entonces, solo $s 1$ y $s 2$ deben calcularse. No son funciones simétricas de las raíces (intercambiando $x 1$ y $x 2$ intercambia también $s 1$ y $s 2$ ), pero algunas funciones simétricas simples de $s 1$ y $s 2$ también son simétricos en las raíces de la cúbica ecuación a resolver. Por lo tanto, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) de la cúbica original, y esto permite eventualmente expresar el $s i$ como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos. Esto funciona bien para todos los grados, pero, en grados superiores a cuatro, el polinomio resultante que tiene el $s i$ como raíces tiene un grado mayor que el del polinomio inicial y, por lo tanto, no es útil para resolver. Esta es la razón por la cual el método de Lagrange falla en los grados cinco y superiores.

En el caso de una ecuación cúbica, ${displaystyle P=s_{1}s_{2},}$ y ${displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$ son polinomios simétricos (ver abajo). De ello se desprende que $s_{1}^{3}$ y $s_{2}^{3}$ son las dos raíces de la ecuación cuadrática ${displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$ Así la resolución de la ecuación puede ser terminada exactamente como con el método de Cardano, con $s_{1}$ y $s_{2}$ en lugar de $u$ y $v$ .

En el caso del cúbico deprimido, uno tiene ${displaystyle x_{0}={tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$ y ${displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$ mientras que en el método de Cardano hemos establecido ${displaystyle x_{0}=u+v}$ y ${displaystyle uv={tfrac {1}{3}}p.}$ Así, hasta el intercambio de $u$ y $v$ , tenemos $s_{1}=3u$ y ${displaystyle s_{2}=3v.}$ En otras palabras, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange computan exactamente las mismas cosas, hasta un factor de tres en las variables auxiliares, la diferencia principal es que el método de Lagrange explica por qué estas variables auxiliares aparecen en el problema.

Cálculo de S y P

Un cálculo sencillo usando las relaciones $ξ 3 = 1$ y $ξ 2 + ξ + 1 = 0$ da

{displaystyle {begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.end{aligned}}}

Esto muestra que $P$ y $S$ son funciones simétricas de las raíces. Usando las identidades de Newton, es sencillo expresarlas en términos de las funciones simétricas elementales de las raíces, dando

{displaystyle {begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},end{aligned}}}

con $e 1 = 0$ , $e 2 = p$ y $e 3 = - q$ en el caso de un cúbico deprimido, y $e 1 = - b / a$ , $e 2 = c / a$ y $e 3 = - d / a$ , en el caso general.

Aplicaciones

Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.

En matemáticas

La trisección angosta y duplicando el cubo son dos problemas antiguos de geometría que han demostrado no ser solvables por la construcción de tracción y brújula, porque son equivalentes a resolver una ecuación cúbica.
El teorema de Marden afirma que el foci de la inellipsa Steiner de cualquier triángulo se puede encontrar utilizando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el plano complejo de los tres vértices del triángulo. Las raíces del primer derivado de este cúbico son las coordenadas complejas de esos foci.
El área de un heptógono regular se puede expresar en términos de las raíces de un cúbico. Además, las proporciones de la larga diagonal al lado, el lado a la corta diagonal, y el negativo de la corta diagonal a la larga diagonal todos satisfacen una ecuación cúbica particular. Además, la relación del inradius con el circumradius de un triángulo heptagonal es una de las soluciones de una ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos relacionados con ${displaystyle 2pi /7}$ satisfacer ecuaciones cúbicas.
Dado el cosino (o otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el cosino de un tercio de ese ángulo es una de las raíces de un cúbico.
La solución de la ecuación cuartica general se basa en la solución de su cúbico resuelto.
Los eigenvalues de una matriz 3×3 son las raíces de un polinomio cúbico que es el polinomio característico de la matriz.
La ecuación característica de un coeficientes constantes de tercera orden o Cauchy-Euler (eficientes variables equidimensionales) ecuación diferencial lineal o ecuación diferencial es una ecuación cúbica.
Los puntos de intersección de la curva cúbica Bézier y la línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva Bézier.
Los puntos críticos de una función cuartic se encuentran resolviendo una ecuación cúbica (el conjunto derivativo igual a cero).
Los puntos de inflexión de una función quinética son la solución de una ecuación cúbica (el segundo conjunto derivativo igual a cero).

En otras ciencias

En la química analítica, la ecuación Charlot, que se puede utilizar para encontrar el pH de soluciones de amortiguación, se puede resolver utilizando una ecuación cúbica.
En la termodinámica, las ecuaciones de estado (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia), por ejemplo la ecuación de estado de Van der Waals, son cúbicas en el volumen.
Las ecuaciones cinemáticas que implican tasas lineales de aceleración son cúbicas.
La velocidad de las ondas sísmicas Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de onda Rayleigh.
La velocidad constante del estado de un vehículo que se mueve en una pendiente con fricción de aire para una potencia de entrada dada se resuelve por una ecuación cúbica deprimida.

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