Dominio ideal principal

En matemáticas, un dominio ideal principal, o PID, es un dominio integral en el que todo ideal es principal, es decir, puede ser generado por un solo elemento. De manera más general, un anillo ideal principal es un anillo conmutativo distinto de cero cuyos ideales son principales, aunque algunos autores (por ejemplo, Bourbaki) se refieren a los PID como anillos principales. La distinción es que un anillo ideal principal puede tener cero divisores mientras que un dominio ideal principal no puede.

Los dominios ideales principales son, por lo tanto, objetos matemáticos que se comportan un poco como los números enteros, con respecto a la divisibilidad: cualquier elemento de un PID tiene una descomposición única en elementos primos (por lo que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética); dos elementos cualquiera de un PID tienen un máximo común divisor (aunque puede que no sea posible encontrarlo usando el algoritmo euclidiano). Si x y y son elementos de un PID sin divisores comunes, entonces cada elemento del PID se puede escribir en la forma ax + by.

Los dominios ideales principales son noetherianos, son integralmente cerrados, son dominios de factorización única y dominios de Dedekind. Todos los dominios euclidianos y todos los campos son dominios ideales principales.

Los principales dominios ideales aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases:

rngs. anillos. Anillos conmutativos. dominios integrales. dominios cerrados integralmente. dominios GCD. dominios de factorización únicos. principales dominios ideales. Euclidean domains. campos. campos cerrados algebraicamente

Ejemplos

Los ejemplos incluyen:

• ${displaystyle K}$: cualquier campo,
• ${displaystyle mathbb {Z}$: el anillo de los enteros,
• ${displaystyle K[x]}$: anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un campo. (El contrario también es cierto, es decir, si ${displaystyle A[x]}$ es un PID entonces ${displaystyle A}$ es un campo.) Además, un anillo de serie de potencia formal en una variable sobre un campo es un PID ya que cada ideal es de la forma ${displaystyle (x^{k})}$,
• ${displaystyle mathbb {Z} [i]$: el anillo de los enteros gausianos,
• ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]$ (donde) ${displaystyle omega }$ es una raíz de cubo primitiva de 1): los enteros Eisenstein,
• Cualquier anillo de valoración discreto, por ejemplo el anillo de enteros p-adic ${displaystyle mathbb {Z} _{p}$.

No ejemplos

Ejemplos de dominios integrales que no son PID:

• ${displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-3}}}$ es un ejemplo de un anillo que no es un dominio de factorización único, ya que ${displaystyle 4=2cdot 2=(1+{sqrt {-3})(1-{sqrt {-3}}).}$ Por lo tanto no es un dominio ideal principal porque los dominios ideales principales son dominios de factorización únicos.

• ${displaystyle mathbb {Z} [x]$: el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros. No es el principal porque ${displaystyle langle 2,xrangle }$ es un ejemplo de un ideal que no puede ser generado por un solo polinomio.
• ${displaystyle K[x,y]}$: anillos de polinomios en dos variables. El ideal ${displaystyle langle x,yrangle }$ no es el director.
• La mayoría de anillos de enteros algebraicos no son dominios ideales principales porque tienen ideales que no son generados por un solo elemento. Esta es una de las principales motivaciones detrás de la definición de Dedekind de los dominios de Dedekind ya que un entero primario ya no puede ser factorado en elementos, en lugar de ser ideales primos. De hecho muchos ${displaystyle mathbb {Z} [zeta _{p}}$ para la p-t raíz de la unidad ${displaystyle zeta _{p}$ no son dominios ideales principales. De hecho, el número de clase de un anillo de enteros algebraicos ${fnMicrosoft Sans Serif}$ da una noción de "cuán lejos" es de ser un dominio ideal principal.

Módulos

El resultado clave es el teorema de la estructura: Si R es un dominio ideal principal, y M es un finito generados R- Bien, entonces. ${displaystyle M}$ es una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos con un generador. Los módulos cíclicos son isomorfos a ${displaystyle R/xR}$ para algunos ${displaystyle xin R}$ (notice that ${displaystyle x}$ puede ser igual a ${displaystyle 0}$, en cuyo caso ${displaystyle R/xR}$ es ${displaystyle R.$).

Si M es un módulo gratuito sobre un dominio ideal principal R, entonces cada submodulo de M es otra vez libre. Esto no se mantiene para módulos sobre anillos arbitrarios, como el ejemplo ${displaystyle (2,X)subseteq mathbb {Z} [X]}$ de módulos sobre ${displaystyle mathbb {Z} [X]}$ espectáculos.

Propiedades

En un dominio ideal principal, dos elementos cualesquiera a,b tienen un máximo común divisor, que puede ser obtenido como generador del ideal (a, b).

Todos los dominios de Euclidean son dominios ideales principales, pero el converso no es cierto. Un ejemplo de un dominio ideal principal que no es un dominio euclidiano es el anillo ${displaystyle mathbb {Z} left[{frac {1+{sqrt {-19}} {2}derecha]$ En este dominio no q y r existen, con 0 ≤ latitudrTENIDASAsí que ${displaystyle (1+{sqrt {-19})=(4)q+r}$, a pesar de ${displaystyle 1+{sqrt {-19}}$ y ${displaystyle 4}$ tener un mayor divisor común 2.

Cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único (UFD). El converso no se mantiene desde entonces para cualquier UFD K, el anillo K[X, Y] de polinomios en 2 variables es un UFD pero no es un PID. (Para probar esta mirada al ideal generado por ${displaystyle leftlangle X,Yrightrangle.}$ No es todo el anillo ya que no contiene polinomios de grado 0, pero no puede ser generado por ningún elemento único.)

1. Cada dominio ideal principal es Noetherian.
2. En todos los anillos unitarios, los ideales máximos son primos. En los principales dominios ideales unas poses cercanas al revés: cada ideal no cero es maximal.
3. Todos los dominios ideales principales están cerrados integralmente.

Las tres afirmaciones anteriores dan la definición de un dominio de Dedekind y, por lo tanto, todo dominio ideal principal es un dominio de Dedekind.

Sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un PID.
2. Cada ideal primo de A es el director.
3. A es un dominio Dedekind que es un UFD.
4. Cada ideal finitamente generado A es el principal (es decir, A es un dominio Bézout) y A satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales.
5. A admite una norma Dedekind-Hasse.

Cualquier norma euclidiana es una norma de Dedekind-Hasse; por tanto, (5) muestra que un dominio euclidiano es un PID. (4) se compara con:

• Un dominio integral es un UFD si y sólo si es un dominio GCD (es decir, un dominio donde cada dos elementos tienen un divisor común más grande) satisfaciendo la condición de cadena ascendente en ideales principales.

Un dominio integral es un dominio de Bézout si y solo si dos elementos cualesquiera tienen un mcd que es una combinación lineal de los dos. Un dominio de Bézout es, por lo tanto, un dominio de GCD, y (4) da otra prueba más de que un PID es un UFD.