Divisor cero

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En álgebra abstracta, un elemento $a$ de un anillo $R$ es llamado un divisor cero a la izquierda si existe un $x$ distinto de cero en $R$ tal que $ax = 0$ , o de manera equivalente si el mapa de $R$ a $R$ que envía $x a ax no es inyectivo. De manera similar, un elemento a de un anillo se denomina divisor de cero a la derecha si existe un y en R tal que ya = 0 . Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos. Un elemento que es un divisor de cero por la izquierda o por la derecha se llama simplemente un divisor de cero . Un elemento a que es un divisor de cero a la izquierda y a la derecha se denomina divisor de cero de dos lados (el elemento distinto de cero x tal que ax = 0 puede ser diferente de cero y tal que ya = 0). Si el anillo es conmutativo, entonces los divisores de cero izquierdo y derecho son iguales.$

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la izquierda se llama regular a la izquierda o cancelable a la izquierda. De manera similar, un elemento de un anillo que no es un divisor de cero por la derecha se llama regular por la derecha o cancelable por la derecha. Un elemento de un anillo que es cancelable por la izquierda y la derecha, y por lo tanto no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable, o un divisor distinto de cero . Un divisor de cero que es distinto de cero se denomina divisor de cero distinto de cero o un divisor de cero no trivial. Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio.

Ejemplos

En el anillo ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ , la clase de residuos ${displaystyle {fnK}}$ es un divisor cero desde ${displaystyle {overline {2}times {overline {2}={overline {4}={overline {0}}$ .
El único divisor cero del anillo ${displaystyle mathbb {Z}$ de enteros es ${displaystyle 0}$ .
Un elemento nilpotente de un anillo no cero es siempre un divisor cero de dos caras.
Un elemento idempotente ${displaystyle eneq 1}$ de un anillo es siempre un divisor cero de dos caras, ya ${displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$ .
El anillo de ${displaystyle ntimes n}$ matrices sobre un campo tiene divisores no cero si ${displaystyle ngeq 2}$ . Ejemplos de cero divisores en el anillo de ${displaystyle 2times 2}$ matrices (sobre cualquier anillo no cero) se muestran aquí: ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {begin} {begin} {pmatrix} {$

Divisor cero

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