Dispersión de Rutherford

En física de partículas, la dispersión de Rutherford es la dispersión elástica de partículas cargadas por la interacción de Coulomb. Es un fenómeno físico explicado por Ernest Rutherford en 1911 que condujo al desarrollo del modelo planetario de Rutherford del átomo y, finalmente, al modelo de Bohr. La dispersión de Rutherford se denominó primero como dispersión de Coulomb porque se basa únicamente en el potencial eléctrico estático (de Coulomb), y la distancia mínima entre partículas se establece completamente por este potencial. El proceso clásico de dispersión de Rutherford de partículas alfa contra núcleos de oro es un ejemplo de "dispersión elástica" porque ni las partículas alfa ni los núcleos de oro están excitados internamente. La fórmula de Rutherford (ver más abajo) ignora aún más la energía cinética de retroceso del núcleo objetivo masivo.

El descubrimiento inicial fue realizado por Hans Geiger y Ernest Marsden en 1909 cuando realizaron el experimento de la lámina de oro en colaboración con Rutherford, en el que dispararon un haz de partículas alfa (núcleos de helio) a láminas de pan de oro de solo unos pocos átomos. grueso. En el momento del experimento, se pensaba que el átomo era análogo a un pudín de ciruelas (como lo propuso J. J. Thomson), con los electrones cargados negativamente (las ciruelas) salpicados por una matriz esférica positiva (el pudín). Si el modelo del budín de ciruelas fuera correcto, el "pudín" positivo, al estar más disperso que en el modelo correcto de un núcleo concentrado, no sería capaz de ejercer fuerzas culómbicas tan grandes, y las partículas alfa deberían solo se desviarán en ángulos pequeños a medida que pasan.

Gráfico 1 En una cámara de nube, una pista de partículas de alfa 5.3 MeV desde una fuente de plomo-210 pines cerca del punto 1 sufre Rutherford dispersándose cerca del punto 2, desviando por un ángulo de unos 30°. Se dispersa una vez más cerca del punto 3, y finalmente llega a descansar en el gas. El núcleo objetivo del gas de cámara podría haber sido un nitrógeno, oxígeno, carbono o núcleo de hidrógeno. Recibió suficiente energía cinética en la colisión elástica para causar una corta pista de recorte visible cerca punto 2. (La escala está en centímetros.)

Sin embargo, los intrigantes resultados mostraron que alrededor de 1 de cada 20 000 partículas alfa se desviaron en ángulos muy grandes (más de 90°), mientras que el resto pasó con poca desviación. A partir de esto, Rutherford concluyó que la mayor parte de la masa estaba concentrada en una diminuta región cargada positivamente (el núcleo) rodeada de electrones. Cuando una partícula alfa (positiva) se acerca lo suficiente al núcleo, es repelida con la suficiente fuerza como para rebotar en ángulos elevados. El pequeño tamaño del núcleo explicaba el reducido número de partículas alfa que eran repelidas de esta forma. Rutherford demostró, utilizando el método descrito a continuación, que el tamaño del núcleo era menor que aproximadamente 10⁻¹⁴ m (cuánto menos que este tamaño, Rutherford no pudo determinarlo solo con este experimento; vea más abajo sobre este problema del tamaño más bajo posible). Como ejemplo visual, la Figura 1 muestra la desviación de una partícula alfa por un núcleo en el gas de una cámara de niebla.

La dispersión de Rutherford ahora es explotada por la comunidad científica de materiales en una técnica analítica llamada retrodispersión de Rutherford.

Derivación

La sección transversal diferencial puede derivarse de las ecuaciones de movimiento para dos partículas de punto carga que interactúan a través de un potencial central. En general, las ecuaciones de movimiento que describen dos partículas que interactúan bajo una fuerza central se pueden desvincular en el centro de masa y el movimiento de las partículas relativas entre sí. Considere la situación en que una partícula (marcada 1), con masa ${displaystyle m_{1}$y cargo ${displaystyle q_{1}=Z_{1}e}$ con ${displaystyle e confía0}$ la carga elemental, es incidente desde muy lejos con alguna velocidad inicial ${displaystyle v_{10}$ sobre una segunda partícula (marcada 2) con masa ${displaystyle m_{2}$ y cargo ${displaystyle q_{2}=Z_{2}e}$ inicialmente descansando. Para el caso de partículas de alfa livianas dispersando núcleos pesados, como en el experimento realizado por Rutherford, la masa reducida, esencialmente la masa de la partícula alfa y el núcleo fuera del cual se dispersa, es esencialmente estacionario en el marco del laboratorio.

Sustitución en la ecuación de Binet, con el origen del sistema de coordenadas ${displaystyle (r,theta)}$ para la partícula 1 sobre el objetivo (scatterer, partícula 2), produce la ecuación de la trayectoria como

${fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}}}}f}f}fnMicroc}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { ^{2}+u=-{frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}{4piepsilon ¿Qué?$

donde u = 1/r y b es el parámetro de impacto.

La solución general de la ecuación diferencial anterior es

${displaystyle u=u_{0}cos left(theta -theta _{0}right)-kappa}$

y la condición de frontera es

${displaystyle uto 0quad {text{and}quad rsin theta to bquad {text{as}quad theta to pi.}$

Resolviendo las ecuaciones u → 0 usando esas condiciones de contorno:

${displaystyle {frac {fnfnfnfnfnfnMicrosoft\\fn\fn\\fn\fn\\\fn\\\\\fn\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué?$

y su derivada du/dθ → −1/b utilizando esas condiciones de contorno

${displaystyle {frac {}{dtheta Sin...$

Podemos obtener

${displaystyle theta ¿Qué? } {2}+arctan bkappa.}$

En el ángulo de deflexión . después de la colisión, ${displaystyle uto 0}$:

${displaystyle 0=u_{0}cos(Theta -theta _{0})-kappa }$

Entonces el ángulo de desviación Θ se puede expresar como:

${displaystyle {begin{aligned} Theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicroc {Z_{2}e^{2}{4piepsilon {0}mv_{10} {2}b}}end{aligned}}$

b se puede resolver para dar

${displaystyle b={frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}{4piepsilon ¿Por qué? } {2}}.$

Para encontrar la sección transversal de dispersión a partir de este resultado, considere su definición

${displaystyle {frac {sigma} }{dOmega } {Omega)dOmega ={hbox{number of particles disperseed into solid angle }d Omega {hbox{ per unit time}} {hbox{incident intensity}}} {hbox {hbox{incident intensity}}} {hbox{incident intensity}}}}} {hbox {hbox{incident intensity}}}}} {hbox {hbox{incident intensity}}}}}}}}}}}} {hbox {hbox {hbox {hbox {hbox{hbox{hbox{hbox{hbox{hbox{hbox{hbox{incident intensity {hbox{incident intensity {hbox {hbox{hbox {hbox {hbox{hbox {hbox {hbox {hbox {hbox {hbox {hbox {hbox{incident intensity}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Dado el potencial de Coulomb y la energía cinética inicial de las partículas entrantes, el ángulo de dispersión Θ está determinado únicamente por el parámetro de impacto b. Por lo tanto, el número de partículas dispersas en un ángulo entre Θ y Θ + < i>dΘ debe ser igual al número de partículas con parámetros de impacto asociados entre b y b + db. Para una intensidad incidente I, esto implica la siguiente igualdad

${displaystyle 2pi Ibleft detaineddbright sobre la vida=I{frac {dsigma }{d Omega Omega$

Para un potencial de dispersión radialmente simétrico, como en el caso del potencial de Coulomb, dΩ = 2π sen Θ dΘ , dando la expresión para la sección transversal de dispersión

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega }={frac {b}{fn} {Theta}}left forever{frac} {db}{d} Theta.$

Conectando la expresión derivada previamente para el parámetro de impacto b(Θ) encontramos la cruz de dispersión diferencial de Rutherford sección

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega {Z_{1}Z_{2}e^{2}{8piepsilon ¿Qué? ^{4}{frac {Theta } {2}}.$

Este mismo resultado se puede expresar alternativamente como

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega {Z_{1}Z_{2}alpha (hbar c)}{4E_{mathrm {K} 10}sin ^{2}{frac] {Theta}{2}}} {2}}}}}} {2}}$

donde α ≈ 1/137 es la constante de estructura fina adimensional, < i>E_K10 es la energía cinética inicial no relativista de la partícula 1 en MeV, y ħc ≈ 197 MeV·fm.

Detalles del cálculo del tamaño nuclear máximo

Para colisiones frontales entre partículas alfa y el núcleo (con parámetro de impacto cero), toda la energía cinética de la partícula alfa se convierte en energía potencial y la partícula está en reposo. La distancia desde el centro de la partícula alfa al centro del núcleo (r_min) en este punto es un límite superior para el radio nuclear, si es evidente a partir del experimento que el proceso de dispersión obedece a la fórmula de sección transversal dada anteriormente.

Aplicando la ley del cuadrado inverso entre las cargas de la partícula alfa y el núcleo, se puede escribir: Suposiciones: 1. No hay fuerzas externas actuando sobre el sistema. Por tanto, la energía total (K.E.+P.E.) del sistema es constante. 2. Inicialmente, las partículas alfa están a una distancia muy grande del núcleo.

${displaystyle {frac {2}mv^{2}={1}{4piepsilon ¿Qué? {fnK}} {fnK}}} {fnK}}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

Reorganización:

${displaystyle ¿Qué? {1}{4piepsilon ¿Qué? {2q_{2}{2} {mvv^{2}}} {2q_}} {c}} {c}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Para una partícula alfa:

• m (masa) = 6.64424×10⁻²⁷kg = 3.7273×10⁹eV/c²
• q₁ (para helio) = 2 × 1.6×10⁻¹⁹C = 3.2×10⁻¹⁹C
• q₂ (por oro) = 79 × 1.6×10⁻¹⁹C = 1.27×10⁻¹⁷C
• v (velocidad inicial) = 2×10⁷m/s (por este ejemplo)

Sustituir estos da el valor de aproximadamente 2.7×10⁻¹⁴ m, o 27 fm. (El radio real es de aproximadamente 7,3 fm). El radio real del núcleo no se recupera en estos experimentos porque los alfas no tienen suficiente energía para penetrar a más de 27 fm del centro nuclear, como se señaló, cuando el radio real de el oro es 7.3 fm. Rutherford se dio cuenta de esto, y también se dio cuenta de que el impacto real de los alfas en el oro provoca cualquier desviación de la fuerza de la 1/r el potencial de culombio cambiaría la forma de su curva de dispersión en ángulos de dispersión altos (los parámetros de impacto más pequeños) de una hipérbola a otra cosa. Esto no se vio, lo que indica que la superficie del núcleo de oro no había sido 'tocada'. de modo que Rutherford también sabía que el núcleo de oro (o la suma de los radios de oro y alfa) era más pequeño que 27 fm.

Extensión a situaciones con partículas relativistas y retroceso del objetivo

La extensión de la dispersión de tipo Rutherford de baja energía a energías relativistas y partículas que tienen espín intrínseco está más allá del alcance de este artículo. Por ejemplo, la dispersión de electrones del protón se describe como dispersión de Mott, con una sección transversal que se reduce a la fórmula de Rutherford para electrones no relativistas. Si no se produce ninguna excitación de energía interna del haz o de la partícula objetivo, el proceso se denomina "dispersión elástica", ya que la energía y el momento tienen que conservarse en cualquier caso. Si la colisión hace que uno u otro de los constituyentes se exciten, o si se crean nuevas partículas en la interacción, entonces se dice que el proceso es "dispersión inelástica".

El retroceso del objetivo se puede manejar con bastante facilidad. Todavía consideramos la situación descrita anteriormente, con la partícula 2 inicialmente en reposo en el marco del laboratorio. Todos los resultados anteriores se aplican en el marco del centro de masa. En el marco de laboratorio, denotado por un subíndice L, el ángulo de dispersión para un potencial central general es

${displaystyle tan Theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{s+cos Theta }$

Donde ${displaystyle S=m_{1}/m_{2}$. Para ${displaystyle sll cos Theta }$, ${displaystyle Theta _{L}approx Theta }$. Para una partícula pesada 1, ${displaystyle sgg 1}$ y ${displaystyle Theta _{L}approx sin Theta /s}$, es decir, la partícula del incidente se desvía a través de un ángulo muy pequeño. La energía cinética final de la partícula 2 en el marco del laboratorio, ${displaystyle E_{K2L}$, es

${displaystyle {frac {fnK2L}{E_{K1L}}=Fcos ^{2}{frac {pi}} {f}f}f}} - 'Theta }{2},qquad Fequiv {frac {4s}{(1+s)}}}$

F es entre 0 y 1, y satisfies ${displaystyle F(1/s)=F(s)}$, lo que significa que es lo mismo si cambiamos las masas de partículas. La relación de energía maximiza a F para una colisión frontal con ${displaystyle b=0}$ y así ${displaystyle Theta =pi }$. Para ${displaystyle sll 1}$, ${displaystyle Fapprox 4s}$. maximiza a 1 para ${displaystyle s=1}$, lo que significa que en una colisión frontal con masas iguales, toda la energía de la partícula 1 se transfiere a partículas 2. Para ${displaystyle sgg 1}$, o una partícula de incidentes pesados, ${displaystyle Fapprox 4/s}$ y se acerca a cero, lo que significa que la partícula del incidente mantiene casi toda su energía cinética. Para cualquier potencial central, la sección transversal diferencial en el marco de laboratorio está relacionada con eso en el marco central de masa por

${displaystyle {frac {sigma} }{d Omega {fnMicroc {(1+2cos Theta +s^{2}}{3/2}{1+scos Theta}{frac {dsigma }{d Omega }$

Para dar un sentido de la importancia del retroceso, evaluamos la relación de energía de la cabeza sobre un incidente de partículas alfa (número de masa ${displaystyle approx 4}$) dispersando un núcleo de oro (número de masa ${displaystyle approx 197}$): ${displaystyle Fapprox 0.0780}$. En el caso contrario del incidente de oro en un alfa, F tiene el mismo valor, como se ha señalado anteriormente. Para el caso más extremo de un electrón dispersando un protón, ${displaystyle sapprox 1/1836}$ y ${displaystyle Fapprox 0,00218}$.

Libros de texto

• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Mecánica clásica (tercera edición). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.