Disco de Euler

El Disco de Euler, inventado entre 1987 y 1990 por Joseph Bendik, es un juguete educativo científico de marca registrada. Se utiliza para ilustrar y estudiar el sistema dinámico de un disco que gira y rueda sobre una superficie plana o curva. Ha sido objeto de varios artículos científicos.

Descubrimiento

Joseph Bendik notó por primera vez el interesante movimiento del disco giratorio mientras trabajaba en Hughes Aircraft (Centro de Investigación de Carlsbad), después de hacer girar un pesado plato de pulido en su escritorio un día durante el almuerzo.

El aparato es una espectacular visualización de los intercambios de energía en tres procesos diferentes y estrechamente acoplados. A medida que el disco disminuye gradualmente su rotación azimutal, también hay una disminución en la amplitud y un aumento en la frecuencia de la precesión axial del disco.

La evolución de la precesión axial del disco se visualiza fácilmente en un vídeo en cámara lenta mirando el costado del disco siguiendo un único punto marcado en el disco. La evolución de la rotación del disco se visualiza fácilmente en cámara lenta mirando la parte superior del disco siguiendo una flecha dibujada en el disco que representa su radio.

A medida que el disco libera la energía inicial dada por el usuario y se acerca a detenerse, su rotación alrededor del eje vertical se ralentiza, mientras que la oscilación del punto de contacto aumenta. Iluminado desde arriba, con su punto de contacto y el borde inferior cercano en la sombra, el disco parece levitar antes de detenerse.

Bendik nombró el juguete en honor al matemático Leonhard Euler.

El juguete comercial consta de un disco de acero cromado, pesado y grueso, y una base de espejo rígida, ligeramente cóncava. Se pueden colocar pegatinas magnéticas holográficas incluidas en el disco para mejorar el efecto visual del bamboleo. Sin embargo, estos apegos pueden hacer que sea más difícil ver y comprender los procesos en funcionamiento.

Cuando se hace girar sobre una superficie plana, el disco exhibe un movimiento giratorio/rodante, progresando lentamente a través de velocidades y tipos de movimiento variables antes de detenerse. En particular, la tasa de precesión del eje de simetría del disco aumenta a medida que el disco gira hacia abajo. La base del espejo proporciona una superficie de baja fricción; su ligera concavidad evita que el disco "vague" fuera de la superficie.

Cualquier disco, hecho girar sobre una superficie razonablemente plana (como una moneda girada sobre una mesa), exhibirá esencialmente el mismo tipo de movimiento que un disco de Euler, pero durante un tiempo mucho más corto. Los discos comerciales proporcionan una demostración más efectiva del fenómeno, ya que tienen una relación de aspecto optimizada y un borde ligeramente redondeado y pulido con precisión para maximizar el tiempo de giro/rollo.

Física

Un disco de spinning/rolling en última instancia llega a descansar bastante abruptamente, la etapa final del movimiento acompañado por un sonido de azotes de frecuencia creciente rápidamente. A medida que el disco roda, el punto de contacto rodante describe un círculo que oscila con una velocidad angular constante ⋅ ⋅ {displaystyle omega }. Si el movimiento no es disipador (sin fricción), ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es constante, y la moción persiste para siempre; esto es contrario a la observación, ya que ⋅ ⋅ {displaystyle omega } no es constante en situaciones de vida real. De hecho, la tasa de precesión del eje de la simetría se aproxima a una singularidad de tiempo finito modelada por una ley de poder con un exponente aproximado −1/3 (dependiendo de condiciones específicas).

Hay dos efectos disipativos notorios: la fricción por rodadura cuando el disco se desliza a lo largo de la superficie y el arrastre del aire debido a la resistencia del aire. Los experimentos muestran que la fricción por rodadura es la principal responsable de la disipación y el comportamiento; los experimentos en el vacío muestran que la ausencia de aire afecta el comportamiento sólo ligeramente, mientras que el comportamiento (tasa de precesión) depende sistemáticamente del coeficiente de fricción. En el límite del ángulo pequeño (es decir, inmediatamente antes de que el disco deje de girar), la resistencia del aire (específicamente, la disipación viscosa) es el factor dominante, pero antes de esta etapa final, la fricción por rodadura es el efecto dominante.

Movimiento constante con el centro del disco en reposo

El comportamiento de un disco giratorio cuyo centro está en reposo puede describirse como sigue. Deje que la línea desde el centro del disco hasta el punto de contacto con el plano se llame eje 3^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf {}}. Puesto que el centro del disco y el punto de contacto están instantáneamente en reposo (asumiendo que no hay deslizamiento) eje 3^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf {}} es el eje instantáneo rotación. El impulso angular es L=kMa2⋅ ⋅ 3^ ^ {displaystyle mathbf {L} =kMa^{2}omega {fnMicrosoft} {}} que sostiene para cualquier disco delgado circularmente simétrico con masa M{displaystyle M}; k=1/2{displaystyle k=1/2} para un disco con masa concentrada en el borde, k=1/4{displaystyle k=1/4} para un disco uniforme (como el disco Euler), a{displaystyle a} es el radio del disco, y ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es la velocidad angular 3^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf {}}.

La fuerza de contacto F{displaystyle mathbf {F} es Mgz^ ^ {displaystyle Mg{widehat {mathbf {z} } Donde g{displaystyle g} es la aceleración gravitacional y z^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf} } es el eje vertical apuntando hacia arriba. El par del centro de masa es N=a3^ ^ × × Mgz^ ^ =dLdt{displaystyle mathbf {N} =a{widehat {mathbf {3}times Mg{widehat {mathbf {z} }={frac {dmathbf {L} {dt}}} que podemos reescribir dLdt=Ω Ω × × L{fnMicroc {fnMithbf {L} {dt}={boldsymbol {Omega}times mathbf {L} Donde Ω Ω =− − gak⋅ ⋅ z^ ^ {displaystyle {boldsymbol ################################################################################################################################################################################################################################################################ }=-{frac {g}{akomega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}} {f}} {f}} {fnMitbf {f}}}}}} {fnMitbf} {f}}}} {f}}}} {fnMitbf} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {m} {f}}} {f}}}}}} {f}}} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}} {f}}}\\m} {m}}} {m}}}}}}}m}} {mm}m}sigualhat {m} {m} {m} {m}m} {m}m}m}m} {m} {m} }. Podemos concluir que tanto el impulso angular L{displaystyle mathbf {L}, y el disco está precediendo sobre el eje vertical z^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf} } al ritmo

Ω Ω =gak⋅ ⋅ {displaystyle Omega = {frac {g}{akomega }

()1)

Al mismo tiempo Ω Ω {displaystyle Omega } es la velocidad angular del punto de contacto con el avión. Definimos el eje 1^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf {1}}} tumbarse a lo largo del eje de simetría del disco y apuntar hacia abajo. Entonces sostiene que z^ ^ =− − #⁡ ⁡ α α 1^ ^ − − pecado⁡ ⁡ α α 3^ ^ {displaystyle {widehat {mathbf} }=- cos alpha {fnMicrosoft} {1}}-sin alpha {fnMicrosoft} {}}, donde α α {displaystyle alpha } es el ángulo de inclinación del disco con respecto al plano horizontal. La velocidad angular se puede pensar como compuesta de dos partes ⋅ ⋅ 3^ ^ =Ω Ω z^ ^ +⋅ ⋅ rel1^ ^ {displaystyle omega {fnMithbf {fnK}=Omega {fnMitbf} }+omega _{text{rel} {nMithbf {1}}} {f}}, donde ⋅ ⋅ rel{displaystyle omega _{rel}} es la velocidad angular del disco a lo largo de su eje de simetría. Desde la geometría concluimos fácilmente que:

⋅ ⋅ =− − Ω Ω pecado⁡ ⁡ α α ,⋅ ⋅ rel=Ω Ω #⁡ ⁡ α α {displaystyle {begin{aligned}omega >Omega sin alpha\omega _{text{rel} {fn} {fn}}} {fnfnfnfn}fn} Omega cos alpha \end{aligned}}

Enchufe ⋅ ⋅ =− − Ω Ω pecado⁡ ⁡ α α {displaystyle omega =-Omega sin alpha } en la ecuación1Finalmente tenemos

Ω Ω 2=gakpecado⁡ ⁡ α α {displaystyle Omega ^{2}={frac {g}{aksin alpha }

()2)

As α α {displaystyle alpha } adiabaticamente se acerca a cero, la velocidad angular del punto de contacto Ω Ω {displaystyle Omega } se vuelve muy grande, y se oye un sonido de alta frecuencia asociado con el disco giratorio. Sin embargo, la rotación de la figura en la cara de la moneda, cuya velocidad angular es Ω Ω − − ⋅ ⋅ rel=Ω Ω ()1− − #⁡ ⁡ α α ),{displaystyle Omega -omega _{text{rel}= Omega (1-cos alpha),} enfoques cero. La velocidad angular total ⋅ ⋅ =− − gpecado⁡ ⁡ α α ak{displaystyle omega =-{sqrt {frac {gsin alpha ♪♪ también desaparece, así como la energía total

E=Mgapecado⁡ ⁡ α α +12kMa2⋅ ⋅ 2=Mgapecado⁡ ⁡ α α +12Mka2gpecado⁡ ⁡ α α ak=32Mgapecado⁡ ⁡ α α {displaystyle E=Mgasin alpha +{tfrac {1}{2}kMa^{2}omega ^{2}=Mgasin alpha +{tfrac {1}{2}Mka^{2}{frac} {gsin alpha }={tfrac {3}{2}Mgasin alpha }

como α α {displaystyle alpha } enfoques cero. Aquí hemos utilizado la ecuación (2).

As α α {displaystyle alpha } se acerca cero el disco finalmente pierde contacto con la mesa y el disco entonces rápidamente se instala en la superficie horizontal. Uno escucha sonido a una frecuencia Ω Ω 2π π {displaystyle {frac {Omega}{2pi}}, que se vuelve dramáticamente más alto, 12π π gak1pecado⁡ ⁡ α α {displaystyle {frac}{2pi} }{sqrt {frac {} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {f}}}}} {f}}}} {fnf}} {f}f}}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f}}f}}}}f}f} {f} {f} {f} {f} {f}}f}f}}}}}}f}f}}f} {f} {f}f}fnf}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}fnfnf}f}f}f}f}f}}}}}}fn }, como la tasa de rotación de la figura disminuye, 2gak()pecado⁡ ⁡ α α 2)2pecado⁡ ⁡ α α {displaystyle 2{sqrt {f} {fn} {fnMicroc {fnfnfnfn} {fn}}}} {fnsqrt {sin alpha}}}}}}} {fnfnf}}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}}} }Hasta que el sonido cese abruptamente.

Levitation Illusion

Como un disco circularmente simétrico se asienta, la separación entre un punto fijo en la superficie de soporte y el disco en movimiento sobre oscila a una frecuencia creciente, en sincronía con el ángulo del eje de rotación fuera vertical.

La ilusión de levitación resulta cuando el borde del disco refleja la luz cuando se inclina ligeramente por encima de la superficie de apoyo, y en la sombra cuando se inclina ligeramente hacia abajo en contacto. La sombra no es percibida, y las rápidas reflexiones del borde sobre la superficie de soporte se perciben como elevación constante. Vea la persistencia de la visión.

La ilusión de levitación se puede mejorar optimizando la curva del borde inferior para que la línea de sombra permanezca alta mientras el disco se asienta. Un espejo puede mejorar aún más el efecto al ocultar la superficie de soporte y mostrar la separación entre superficie del disco en movimiento e imagen especular.

Las imperfecciones del disco, vistas en la sombra, que podrían obstaculizar la ilusión, pueden ocultarse en un patrón de piel que se vuelve borroso con el movimiento.

Ejemplo del trimestre de EE. UU.

Una moneda de veinticinco centavos estadounidense limpia (acuñada entre 1970 y 2022), que gira sobre un espejo de mano plano, vista desde un lado cerca de la superficie del espejo, demuestra el fenómeno durante unos segundos.

Iluminado por una fuente puntual directamente sobre el centro del barrio que pronto se asentará, las crestas laterales se iluminan cuando el eje de rotación está lejos del espectador, y en sombra cuando el eje de rotación está hacia el espectador. La vibración desdibuja las crestas y las cabezas o colas están demasiado escorzadas para mostrar la rotación.

Historia de la investigación

Moffatt

A principios de la década de 2000, la investigación fue provocada por un artículo en la edición del 20 de abril de 2000 de Nature, donde Keith Moffatt demostró que la disipación viscosa en la fina capa de aire entre el disco y la mesa sería suficiente para explicar la brusquedad observada en el proceso de asentamiento. También demostró que el movimiento concluía en una singularidad de tiempo finito. Su primera hipótesis teórica fue contradicha por investigaciones posteriores, que demostraron que la fricción de rodadura es en realidad el factor dominante.

Moffatt mostró eso, como el tiempo t{displaystyle t} acerca de un tiempo determinado t0{displaystyle T_{0} (que es matemáticamente una constante de integración), la disipación viscosa se acerca al infinito. La singularidad que esto implica no se realiza en la práctica, porque la magnitud de la aceleración vertical no puede exceder la aceleración debido a la gravedad (el disco pierde contacto con su superficie de soporte). Moffatt sigue mostrando que la teoría se descompone a la vez τ τ {displaystyle tau } antes del tiempo final de solución t0{displaystyle T_{0}, dado por:

τ τ ≃ ≃ [()2a9g)32π π μ μ aM]1/5{displaystyle tau simeq left[left({frac {2a}{9g}right)^{3}{frac {2pimu a} {}derecha]}{1/5}

Donde a{displaystyle a} es el radio del disco, g{displaystyle g} es la aceleración debido a la gravedad de la Tierra, μ μ {displaystyle mu } la viscosidad dinámica del aire, y M{displaystyle M} la masa del disco. Para el juguete de disco de Euler disponible comercialmente (ver enlace en "Acoplamientos externos" abajo), τ τ {displaystyle tau } Es sobre 10− − 2{displaystyle 10^{-2} segundos, en cuyo momento el ángulo entre la moneda y la superficie, α α {displaystyle alpha }, es aproximadamente 0.005 radios y la velocidad angular de rodamiento, Ω Ω {displaystyle Omega }, es alrededor de 500 Hz.

Utilizando la notación anterior, el tiempo total de giro/rollo es:

t0=α α 03M2π π μ μ a{displaystyle ## {0}={frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft}fnh} ¿Qué?

Donde α α 0{displaystyle alpha ¿Qué? es la inclinación inicial del disco, medida en radians. Moffatt también mostró que, si tau }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t0− − t■τ τ {displaystyle t.tau }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548fc5a6accc1326824752ddfa58a5fa62112117" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.874ex; height:2.343ex;"/>, la singularidad del tiempo finito en Ω Ω {displaystyle Omega } es dado por

Ω Ω ♪ ♪ ()t0− − t)− − 1/6{displaystyle Omega sim (t_{0}-t)^ {-1/6}}

Resultados experimentales

El trabajo teórico de Moffatt inspiró a varios otros trabajadores a investigar experimentalmente el mecanismo disipante de un disco spinning/rolling, con resultados que contradecían parcialmente su explicación. Estos experimentos utilizaron objetos giratorios y superficies de varias geometrías (discos y anillos), con coeficientes variables de fricción, tanto en el aire como en el vacío, e instrumentación utilizada como la fotografía de alta velocidad para cuantificar el fenómeno.

In the 30 November 2000 issue of Naturalezafísicos Van den Engh, Nelson y Roach discuten experimentos en los que los discos se lanzaron en un vacío. Van den Engh utilizó un rijksdaalder, una moneda holandesa, cuyas propiedades magnéticas le permitieron ser lanzada a un ritmo determinado. Encontraron que el deslizamiento entre el disco y la superficie podría dar cuenta de observaciones, y la presencia o ausencia de aire sólo afecta ligeramente el comportamiento del disco. Señalaron que el análisis teórico de Moffatt predicería un tiempo de giro muy largo para un disco en un vacío, que no se observó.

Moffatt respondió con una teoría generalizada que debería permitir la determinación experimental de qué mecanismo de disipación es dominante, y señaló que el mecanismo de disipación dominante siempre sería disipación viscosa en el límite de la pequeña α α {displaystyle alpha } (es decir, justo antes de que el disco se calme).

Trabajos posteriores en la Universidad de Guelph realizados por Petrie, Hunt y Gray demostraron que la realización de experimentos en el vacío (presión de 0,1 pascales) no afectó significativamente la tasa de disipación de energía. Petrie et al. también demostraron que las velocidades no se vieron afectadas en gran medida al reemplazar el disco con una forma de anillo, y que la condición de no deslizamiento se cumplió para ángulos mayores a 10°. Otro trabajo de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier y Vandewalle ha concluido que el aire es una fuente menor de disipación de energía. El principal proceso de disipación de energía es el rodamiento y deslizamiento del disco sobre la superficie de soporte. Se demostró experimentalmente que el ángulo de inclinación, la tasa de precesión y la velocidad angular siguen el comportamiento de la ley de potencia.

En varias ocasiones durante la huelga de 2007-2008 Writers Guild of America, el anfitrión del programa Conan O'Brien haría girar su anillo de boda en su escritorio, tratando de girar el anillo durante el mayor tiempo posible. La búsqueda de lograr tiempos de giro más largos y más largos le llevó a invitar al profesor del MIT Peter Fisher a experimentar con el problema. Girar el anillo en un vacío no tenía ningún efecto identificable, mientras que una superficie de apoyo giratorio Teflon dio un tiempo récord de 51 segundos, corroborando la afirmación de que la fricción rodante es el mecanismo primario para la disipación de energía cinética. Varios tipos de fricción rodante como mecanismo primario para la disipación de energía han sido estudiados por Leine que confirmó experimentalmente que la resistencia friccional del movimiento del punto de contacto sobre el borde del disco es muy probable que el mecanismo de disipación primaria en una escala de tiempo de segundos.

En la cultura popular

Los discos de Euler aparecen en la película de 2006 Snow Cake y en el programa de televisión The Big Bang Theory, temporada 10, episodio 16, que se emitió el 16 de febrero. , 2017.

El equipo de sonido de la película de 2001 Pearl Harbor utilizó un disco de Euler giratorio como efecto de sonido para los torpedos. Durante las presentaciones de los Premios de la Academia se reprodujo un breve clip del equipo de sonido tocando con el disco de Euler.

Los principios del Disco de Euler se utilizaron con anillos especialmente hechos sobre una mesa como medio de grabación futurista en la película de 1960 La máquina del tiempo.