Dimensión de Hausdorff

Ejemplo de dimensiones no-integer. Las cuatro primeras iteraciones de la curva Koch, donde después de cada iteración, todos los segmentos de línea originales se reemplazan con cuatro, cada una una una copia auto-similar que es 1/3 la longitud del original. Un formalismo de la dimensión Hausdorff utiliza el factor de escala (S = 3) y el número de objetos autosimilares (N = 4) para calcular la dimensión, D, después de la primera iteración a ser D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ♥ 1.26.

En matemáticas, la dimensión de Hausdorff es una medida de la rugosidad, o más específicamente, la dimensión fractal, que fue introducida por primera vez en 1918 por el matemático Felix Hausdorff. Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de un solo punto es cero, de un segmento de línea es 1, de un cuadrado es 2 y de un cubo es 3. Es decir, para conjuntos de puntos que definen una forma suave o una forma que tiene un pequeño número de esquinas, las formas de la geometría y la ciencia tradicionales, la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con el sentido habitual de dimensión, también conocida como dimensión topológica. Sin embargo, también se han desarrollado fórmulas que permiten el cálculo de la dimensión de otros objetos menos simples, donde, únicamente sobre la base de sus propiedades de escala y autosimilitud, se llega a la conclusión de que objetos particulares, incluidos los fractales, no tienen -dimensiones enteras de Hausdorff. Debido a los importantes avances técnicos realizados por Abram Samoilovitch Besicovitch que permiten el cálculo de dimensiones para superficies altamente irregulares o "ásperas" conjuntos, esta dimensión también se conoce comúnmente como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Más específicamente, la dimensión Hausdorff es un número dimensional asociado con un espacio métrico, es decir, un conjunto donde se definen las distancias entre todos los miembros. La dimensión se extrae de los números reales extendidos, ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {R}}$, a diferencia de la noción más intuitiva de dimensión, que no está asociada a espacios métricos generales, y sólo toma valores en los enteros no negativos.

En términos matemáticos, la dimensión de Hausdorff generaliza la noción de la dimensión de un espacio vectorial real. Es decir, la dimensión de Hausdorff de un espacio de producto interno n-dimensional es igual a n. Esto subyace a la afirmación anterior de que la dimensión de Hausdorff de un punto es cero, la de una línea es uno, etc., y que los conjuntos irregulares pueden tener dimensiones de Hausdorff no enteras. Por ejemplo, el copo de nieve de Koch que se muestra a la derecha está construido a partir de un triángulo equilátero; en cada iteración, los segmentos de línea que lo componen se dividen en 3 segmentos de longitud unitaria, el segmento central recién creado se usa como la base de un nuevo triángulo equilátero que apunta hacia afuera, y este segmento base se elimina para dejar un objeto final del iteración de longitud unitaria de 4. Es decir, después de la primera iteración, cada segmento de línea original ha sido reemplazado por N=4, donde cada copia autosimilar tiene 1/S = 1/3 de la longitud del original. Dicho de otra manera, hemos tomado un objeto con dimensión euclidiana, D, y reducido su escala lineal en 1/3 en cada dirección, de modo que su longitud aumenta a N=S^D. Esta ecuación se resuelve fácilmente para D, dando como resultado la proporción de logaritmos (o logaritmos naturales) que aparecen en las figuras y dando, en el caso de Koch y otros casos de fractales, dimensiones no enteras para estos objetos.

La dimensión de Hausdorff es la sucesora de la dimensión de Minkowski-Bouligand, más simple pero generalmente equivalente, de conteo de cajas.

Intuición

El concepto intuitivo de dimensión de un objeto geométrico X es el número de parámetros independientes que uno necesita para elegir un punto único en su interior. Sin embargo, cualquier punto especificado por dos parámetros puede ser especificado por uno, porque la cardinalidad del plano real es igual a la cardinalidad de la línea real (esto se puede ver mediante un argumento que implica entrelazar los dígitos de dos números para producir un solo número que codifica la misma información). El ejemplo de una curva que llena el espacio muestra que uno puede incluso mapear la línea real al plano real sobreyectivamente (tomando un número real en un par de números reales de manera que todos los pares de números estén cubiertos) y continuamente , de modo que un objeto unidimensional llena completamente un objeto de dimensiones superiores.

Cada curva que llena el espacio llega a algunos puntos varias veces y no tiene un inverso continuo. Es imposible mapear dos dimensiones en una de una manera que sea continua y continuamente invertible. La dimensión topológica, también llamada dimensión de cobertura de Lebesgue, explica por qué. Esta dimensión es el entero mayor n tal que en cada cobertura de X por pequeñas bolas abiertas hay al menos un punto donde n + 1 bolas superposición. Por ejemplo, cuando se cubre una línea con intervalos abiertos cortos, algunos puntos deben cubrirse dos veces, dando la dimensión n = 1.

Pero la dimensión topológica es una medida muy cruda del tamaño local de un espacio (tamaño cerca de un punto). Una curva que casi llena el espacio aún puede tener una dimensión topológica uno, incluso si llena la mayor parte del área de una región. Un fractal tiene una dimensión topológica entera, pero en términos de la cantidad de espacio que ocupa, se comporta como un espacio de dimensión superior.

La dimensión de Hausdorff mide el tamaño local de un espacio teniendo en cuenta la distancia entre puntos, la métrica. Considere el número N(r) de bolas de radio como máximo r necesario para cubrir X por completo. Cuando r es muy pequeño, N(r) crece polinómicamente con 1/r. Para un X suficientemente bueno, la dimensión de Hausdorff es el único número d tal que N(r) crece como 1/ r^d cuando r tiende a cero. Más precisamente, esto define la dimensión de conteo de cajas, que es igual a la dimensión de Hausdorff cuando el valor d es un límite crítico entre las tasas de crecimiento que son insuficientes para cubrir el espacio y las tasas de crecimiento que son sobreabundantes.

Para formas que son suaves o formas con una pequeña cantidad de esquinas, las formas de la geometría y la ciencia tradicionales, la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con la dimensión topológica. Pero Benoit Mandelbrot observó que los fractales, conjuntos con dimensiones de Hausdorff no enteras, se encuentran en todas partes en la naturaleza. Observó que la idealización adecuada de la mayoría de las formas ásperas que ves a tu alrededor no es en términos de formas idealizadas suaves, sino en términos de formas idealizadas fractales:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni el relámpago viaja en línea recta.

Para los fractales que ocurren en la naturaleza, la dimensión de Hausdorff y la del conteo de cajas coinciden. La dimensión de empaquetamiento es otra noción similar que da el mismo valor para muchas formas, pero hay excepciones bien documentadas donde todas estas dimensiones difieren.

Definición formal

La definición formal de la dimensión de Hausdorff se obtiene definiendo primero la medida de Hausdorff, un análogo de dimensión fraccionaria de la medida de Lebesgue. Primero, se construye una medida exterior: Sea X un espacio métrico. Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞),

${displaystyle H_{delta }{d}(S)=infleft{sum _{i=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{i} - ¿Por qué? }U_{i}supseteq S,operatorname {diam} U_{i}traducidodelta right}$

donde se toma el infimum sobre todas las cubiertas contables U_i de S. La medida exterior de Hausdorff se define entonces como ${displaystyle {Mathcal {H}} {d}=lim _{deltato 0}H_{delta } {} {d} {}}} {}} {cH}} {cH} {cH} {cH} {cH}}} {cH}} {cH}}} {cH}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}}}}}}}} {cH}}}}} {b}}}}} {b}} {b}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b} {b} {b}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}$, y la restricción de la asignación a conjuntos mensurables lo justifica como una medida, llamada la d-dimensional Measure Hausdorff.

Dimensión de Hausdorff

El Dimensión Hausdorff ${displaystyle dim _{fone {H}{(X)}$ de X se define por

${displaystyle dim _{operatorname {H}{(X)}:=inf{dgeq 0:{mathcal {H}{d}(X)=0}$

Esto es lo mismo que el supremo del conjunto de d ∈ [0, ∞) tal que la medida de Hausdorff d-dimensional de X es infinito (excepto que cuando este último conjunto de números d está vacío, la dimensión de Hausdorff es cero).

Contenido de Hausdorff

El contenido de Hausdorff ilimitado d-dimensional de S está definido por

${displaystyle ¿Qué? U_{k} ¿Qué? }U_{k}supseteq Sright$

En otras palabras, ${displaystyle C_{H} {d}(S)}$ tiene la construcción de la medida Hausdorff donde se permite que los conjuntos de cubierta tengan tamaños arbitrariamente grandes (Aquí, utilizamos la convención estándar que inf Ø = ∞). La medida Hausdorff y el contenido de Hausdorff pueden utilizarse para determinar la dimensión de un conjunto, pero si la medida del conjunto no es cero, sus valores reales pueden estar en desacuerdo.

Ejemplos

Dimensión de otro ejemplo fractal. El triángulo Sierpinski, un objeto con la dimensión Hausdorff de log(3)/log(2)Ω1.58.

• Sets contables tienen dimensión Hausdorff 0.
• El espacio Euclideano Rⁿ tiene la dimensión Hausdorff n, y el círculo S¹ tiene la dimensión Hausdorff 1.
• Los fragmentos a menudo son espacios cuya dimensión Hausdorff supera estrictamente la dimensión topológica. Por ejemplo, el conjunto Cantor, un espacio topológico de cero dimensiones, es una unión de dos copias de sí mismo, cada copia arrugada por un factor 1/3; por lo tanto, se puede demostrar que su dimensión Hausdorff es ln(2)/ln(3) ♥ 0,63. El triángulo Sierpinski es una unión de tres copias de sí mismo, cada copia arrugada por un factor de 1/2; esto produce una dimensión Hausdorff de ln(3)/ln(2) ♥ 1.58. Estas dimensiones de Hausdorff están relacionadas con el " exponente crítico" del teorema maestro para resolver las relaciones de recurrencia en el análisis de algoritmos.
• Las curvas de llenado de espacio como la curva Peano tienen la misma dimensión Hausdorff que el espacio que llenan.
• La trayectoria del movimiento marroniano en la dimensión 2 y superior se conjetura para ser la dimensión Hausdorff 2.

Estimación de la dimensión Hausdorff de la costa de Gran Bretaña

• Lewis Fry Richardson ha realizado experimentos detallados para medir la dimensión aproximada de Hausdorff para varias costas. Sus resultados han variado de 1.02 para la costa de Sudáfrica a 1.25 para la costa oeste de Gran Bretaña.

Propiedades de la dimensión de Hausdorff

Dimensión de Hausdorff y dimensión inductiva

Sea X un espacio métrico separable arbitrario. Existe una noción topológica de dimensión inductiva para X que se define recursivamente. Siempre es un número entero (o +∞) y se denota como dim_ind(X).

Teorema. Supongamos que X no está vacío. Después

${displaystyle dim _{mathrm {Haus} }(X)geq dim _{operatorname {ind}(X).}$

Además,

${displaystyle inf ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Haus} }(Y)=dim _{operatorname {ind}(X),}$

donde Y varía sobre espacios métricos homeomorfos a X. En otras palabras, X y Y tienen el mismo conjunto subyacente de puntos y la métrica d_Y de Y es topológicamente equivalente a d_X.

Estos resultados fueron establecidos originalmente por Edward Szpilrajn (1907–1976), por ejemplo, véase Hurewicz y Wallman, Capítulo VII.

Dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski

La dimensión de Minkowski es similar y al menos tan grande como la dimensión de Hausdorff, y son iguales en muchas situaciones. Sin embargo, el conjunto de puntos racionales en [0, 1] tiene dimensión cero de Hausdorff y dimensión uno de Minkowski. También hay conjuntos compactos para los que la dimensión de Minkowski es estrictamente mayor que la dimensión de Hausdorff.

Dimensiones de Hausdorff y medidas de Frostman

Si hay una medida μ definida en los subconjuntos de Borel de un espacio métrico X tal que μ(X) > 0 y μ(B(x, r)) ≤ r^s se mantiene para algunas constantes s > 0 y para cada bola B(x, r) en X, luego dim_{Haus(X) ≥ s. El lema de Frostman proporciona una inversa parcial.}

Comportamiento bajo sindicatos y productos

Si ${displaystyle X=bigcup _{iin Yo...$ es una unión finita o contable, entonces

${displaystyle dim _{operatorname ¿Qué? {Haus} (X_{i}).}$

Esto se puede verificar directamente desde la definición.

Si X e Y son espacios métricos no vacíos, entonces la dimensión de Hausdorff de su producto satisface

${displaystyle dim _{operatorname {Haus} }(Xtimes Y)geq dim _{operatorname {Haus} }(X)+dim _{operatorname {Haus} }(Y).}$

Esta desigualdad puede ser estricta. Es posible encontrar dos conjuntos de dimensión 0 cuyo producto tenga dimensión 1. En sentido contrario, se sabe que cuando X e Y son subconjuntos de Borel de Rⁿ, la dimensión de Hausdorff de X × Y está limitada desde arriba por la dimensión de Hausdorff de X más la dimensión de empaque superior de Y. Estos hechos se discuten en Mattila (1995).

Conjuntos autosimilares

Muchos conjuntos definidos por una condición de autosimilitud tienen dimensiones que pueden determinarse explícitamente. Aproximadamente, un conjunto E es autosimilar si es el punto fijo de una transformación de valor conjunto ψ, es decir, ψ(E) = E, aunque la definición exacta se da a continuación.

Theorem. Suppose

${displaystyle psi ¿Qué? {R} {n}rightarrow mathbf {R} {n},quad i=1,ldotsm}$

are contractive mappings on Rⁿ con contracción constante r_j 1. Entonces hay un único no vacía conjunto compacto A tales que

${displaystyle A=bigcup _{i=1} {m}psi _{i}(A). }$

El teorema se deriva del teorema de punto fijo de mapeo contractivo de Stefan Banach aplicado al espacio métrico completo de subconjuntos compactos no vacíos de Rⁿ con la distancia de Hausdorff.

La condición de conjunto abierto

Para determinar la dimensión del conjunto autosimilar A (en ciertos casos), necesitamos una condición técnica llamada condición de conjunto abierto (OSC) en la secuencia de contracciones ψ_i.

Hay un conjunto abierto relativamente compacto V tal que

${displaystyle bigcup _{i=1} {m}psi _{i}(V)subseteq V.$

donde los conjuntos en unión de la izquierda son disjuntos por pares.

La condición de conjunto abierto es una condición de separación que asegura que las imágenes ψ_i(V) no se superpongan "demasiado& #34;.

Teorema. Supongamos que se cumple la condición de conjunto abierto y que cada ψ_i es una semejanza, es decir, una composición de una isometría y una dilatación alrededor de algún punto. Entonces el único punto fijo de ψ es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es s donde s es la única solución de

${displaystyle sum ¿Qué?$

El coeficiente de contracción de una semejanza es la magnitud de la dilatación.

En general, un conjunto E que es un punto fijo de un mapeo

${displaystyle Amapsto psi (A)=bigcup ¿Qué?$

es autosimilar si y solo si las intersecciones

${displaystyle H^{s}left(psi _{i}(E)cap psi _{j}(E)right)=0,}$

donde s es la dimensión de Hausdorff de E y H^s indica la medida de Hausdorff. Esto es claro en el caso de la junta de Sierpinski (las intersecciones son solo puntos), pero también es cierto de manera más general:

Teorema. En las mismas condiciones que el teorema anterior, el único punto fijo de ψ es autosimilar.