Difracción de Fraunhofer

En óptica, la ecuación de difracción de Fraunhofer se utiliza para modelar la difracción de ondas cuando ondas planas inciden en un objeto difractor y el patrón de difracción se observa a una distancia suficientemente larga (una distancia que satisface Condición de Fraunhofer) del objeto (en la región del campo lejano) y también cuando se observa en el plano focal de una lente de imagen. Por el contrario, el patrón de difracción creado cerca del objeto difractor y (en la región del campo cercano) viene dado por la ecuación de difracción de Fresnel.

La ecuación recibió su nombre en honor a Joseph von Fraunhofer, aunque en realidad no participó en el desarrollo de la teoría.

Este artículo explica dónde se puede aplicar la ecuación de Fraunhofer y muestra los patrones de difracción de Fraunhofer para varias aperturas. En la ecuación de difracción de Fraunhofer se ofrece un tratamiento matemático detallado de la difracción de Fraunhofer.

Ecuación

Cuando un obstáculo bloquea parcialmente un haz de luz, parte de la luz se dispersa alrededor del objeto y a menudo se ven bandas claras y oscuras en el borde de la sombra; este efecto se conoce como difracción. Estos efectos pueden modelarse utilizando el principio de Huygens-Fresnel; Huygens postuló que cada punto en un frente de onda actúa como una fuente de ondas secundarias esféricas y la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda que procede en cualquier momento posterior, mientras que Fresnel desarrolló una ecuación utilizando las ondas de Huygens junto con el principio de superposición. de ondas, que modela bastante bien estos efectos de difracción.

Por lo general, no es sencillo calcular la amplitud de la onda dada por la suma de las ondas secundarias (la suma de las ondas también es una onda), cada una de las cuales tiene su propia amplitud, fase y dirección de oscilación (polarización), ya que esto implica la adición de muchas ondas de diferente amplitud, fase y polarización. Cuando se suman dos ondas luminosas como campos electromagnéticos (suma vectorial), la amplitud de la suma de ondas depende de las amplitudes, las fases e incluso las polarizaciones de las ondas individuales. En una determinada dirección donde se proyectan campos de ondas electromagnéticas (o considerando una situación donde dos ondas tienen la misma polarización), dos ondas de igual amplitud (proyectada) que están en fase (misma fase) dan la amplitud de la suma de ondas resultante como doble las amplitudes de onda individuales, mientras que dos ondas de igual amplitud que están en fases opuestas dan la amplitud cero de la onda resultante cuando se cancelan entre sí. Generalmente, se debe resolver una integral bidimensional sobre variables complejas y, en muchos casos, no se dispone de una solución analítica.

La ecuación de Difracción Fraunhofer es una versión simplificada de la fórmula de difracción de Kirchhoff y se puede utilizar para modelar la difracción de la luz cuando tanto una fuente de luz como un plano de visualización (un plano de observación donde se observa la onda difractada) están infinitamente distantes de una abertura difusa. Con una fuente de luz suficientemente distante de una abertura difusa, la luz del incidente a la abertura es efectivamente una onda de avión para que la fase de la luz en cada punto en la abertura sea la misma. En un plano suficientemente distante de observación desde la abertura, la fase de la onda que viene de cada punto en la abertura varía linealmente con la posición de punto en la abertura, haciendo el cálculo de la suma de las ondas en un punto de observación en el plano de observación relativamente sencillo en muchos casos. Incluso las amplitudes de las ondas secundarias provenientes de la abertura en el punto de observación pueden ser tratadas igual o constantes para un simple cálculo de onda de difracción en este caso. Diffraction en tal requisito geométrico se llama Difracción de Fraunhofer, y la condición donde la difusión de Fraunhofer es válida se llama Fraunhofer condition, como se muestra en la caja derecha. A menudo se llama onda difractada Campo lejano si al menos parcialmente satisfice Fraunhofer condición tal que la distancia entre la abertura y el plano de observación ${displaystyle L.$ es ${displaystyle L 'gg {frac {W^{2}{lambda }$.

Por ejemplo, si un agujero circular de 0,5 mm de diámetro se ilumina con una luz láser con una longitud de onda de 0,6 μm, entonces se produce la difracción de Fraunhofer si la distancia de visión es superior a 1000 mm.

Derivación de la condición de Fraunhofer

La derivación de la condición de Fraunhofer aquí se basa en la geometría descrita en el cuadro de la derecha. La trayectoria de la onda difractada r₂ se puede expresar en términos de otra trayectoria de la onda difractada r₁ y la distancia < i>b entre dos puntos de difracción utilizando la ley de los cosenos;

$${displaystyle {c}= {c}c}c}c}c}c}c}c}c}c} left({frac {cHFF} ¿Qué? {1}{2}={1}{left(1+{frac} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {fn} {fn}}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {p}}} {p}} {p}}} {p}} {p} {p}} {p}} {f}}}}}}}}}} {p}}} {p} {f}} {p} {f} {p}}}}}} {f}} {pp}}}} {f} {p}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} { {fnK} {fn}}}2 {fnMicroc} {b} {r_{1}}sin theta right)}{frac {1}{2}}$$

Esto se puede ampliar calculando la serie Taylor de la expresión a segundo orden con respecto a ${fnMicroc} {b} {r_{1}}}$,

$${displaystyle {fnK}={1}left(1+{frac}= {fnK} {fnh}} {f}}}}left(1+{frac} {fnfnfnh} {fn}}} {fnh}}}}} {fnh}} {fn}}}}}}}}}}}}}left(1}left(1+{eft(1+{m} {m} {m} {m} {m} {m}{m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}m}m}m}m}m}}}}}}}m}}}}}}}}}}}}}}m}m}m}m}}m}m} {b} {r_{1}sin theta +{frac {B^{2}{2r_{1}}cos ^{2}theta +cdots right)={r_{1}+bsin theta +{frac {B^{2} {2r_{1}}cos ^{2}theta + 'cdots ~.}$$

La diferencia de fase entre las ondas que se propagan a lo largo de las trayectorias r₂ y r₁ son, con el número de onda donde λ es la longitud de onda de la luz,

$${displaystyle K{r_{2}-k{r_{1}=kbsin theta +k{frac {b^{2} {2r_{1}}cos ^{2}theta +cdots.}$$

Si ${displaystyle k{frac {B^{2} {2{1}}cos ^{2}theta =pi} {fnMicroc {B}{2}{lambda {}}cos ^{2}theta llpi}$ Así que... ${fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}} {}}cos ^{2}theta ll 1}$, entonces la diferencia de fase es ${displaystyle kr_{2}-kr_{1}approx kbsin theta }$. La implicación geométrica de esta expresión es que los caminos r₂ y r₁ son aproximadamente paralelos entre sí. Puesto que puede haber un plano de difracción - plano de observación difraccionado vía onda que ángulo con respecto a una línea recta paralela al eje óptico está cerca de 0, esta condición de aproximación se puede simplificar más como ${fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}} ♪♪ L.$ Donde L es la distancia entre dos planos a lo largo del eje óptico. Debido al hecho de que una ola de incidente en un plano diffrante es efectivamente una ola de avión si ${fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}} ♪♪ L.$ Donde L es la distancia entre el plano de difracción y la fuente de onda punto está satisfecha, condición de Fraunhofer es ${fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}} ♪♪ L.$ Donde L es la más pequeña de las dos distancias, una es entre el plano de difracción y el plano de observación y la otra es entre el plano de difracción y la fuente de onda punto.

Focal plano de una lente positiva como el plano de campo lejano

En el campo lejano, las rutas de propagación de las ondas desde cada punto de una apertura hasta un punto de observación son aproximadamente paralelas, y una lente positiva (lente de enfoque) enfoca los rayos paralelos hacia la lente hasta un punto en el plano focal (el La posición del punto de enfoque en el plano focal depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Entonces, si se coloca una lente positiva con una distancia focal suficientemente larga (para que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico de las ondas en el foco) se coloque después de una apertura, entonces la lente prácticamente genera el patrón de difracción de Fraunhofer de la apertura en su focal. plano cuando los rayos paralelos se encuentran en el foco.

Ejemplos

En cada uno de estos ejemplos, la apertura está iluminada por una onda plana monocromática con incidencia normal.

Difracción por una rendija rectangular estrecha

El ancho de la rendija es W. El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con un gráfico de la intensidad frente al ángulo θ. El patrón tiene una intensidad máxima en θ = 0 y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, α, subtendido por estos dos mínimos viene dado por:

$${displaystyle alpha approx {frac {2lambda } {W}$$

Así, cuanto menor es la apertura, mayor es el ángulo α subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia z viene dado por

$${displaystyle ♪♪{f}={frac {2lambda.$$

Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5 mm de ancho se ilumina con luz de longitud de onda de 0,6 μm y se ve a una distancia de 1000 mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4 mm.

Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección y ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.

Si W < λ, la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si D << λ, la onda difractada es cilíndrica.

Análisis semicuantitativo de difracción de rendija simple

Podemos encontrar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. Considere la luz difractada en un ángulo θ donde la distancia CD es igual a la longitud de onda de la luz iluminadora. El ancho de la rendija es la distancia AC. La componente de la ondícula emitida desde el punto A que viaja en la dirección θ está en contrafase con la onda del punto B en el medio de la rendija, de modo que la contribución neta en el ángulo θ de estas dos ondas sea cero. Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de A y B, etcétera. Por lo tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección θ es cero. Tenemos:

$${displaystyle theta _{ min}approx {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}} {f}fnMicroc {fnMicroc {fnK}} {fn}}}} {fnMicroc {f}fnMicroc {f}fnfnf}f}fnfn}}fnfnfnfnfnfnfnMicroc}f}fn}}f}fnfnfnfnfnf}fnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}}fnfn - Sí.$$

El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es entonces, como arriba:

$${displaystyle alpha =2theta {fnMicroc {2fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$$

No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.

Difracción de rendija simple usando Huygens N#39; principio

Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de un conjunto continuo de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Sea la matriz de longitud a paralela al eje y con su centro en el origen como se indica en la figura de la derecha. Entonces el campo diferencial es:

$${displaystyle dE={frac {A}{1}}e^{iomega [t-(r_{1}/c)}y={frac {}{r_{1}}}}e^{i(omega t-beta r_{1})}y}$$

Donde ${displaystyle beta =omega /c=2pi /lambda }$. Sin embargo ${displaystyle r_{1}=r-ysin theta$ e integración desde ${displaystyle -a/2}$ a ${displaystyle a/2}$,

$${displaystyle Esimeq A'int - ¿Por qué? - Sí.$$

${displaystyle A'={frac {Ae^{i(omega t-beta r)} {r}} {r}$

Integrando obtenemos

$${displaystyle E={frac {2A'}{betatheta }sin left({frac {beta a}{2}sin theta right)}}$$

Letting ${displaystyle psi ^{'}=beta asin theta =alpha _{r}sin theta }$ donde la longitud de la matriz en radians es ${displaystyle a_{r}=beta a=2pi a/lambda$Entonces,

$${displaystyle E=A'a{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Difracción por una abertura rectangular

La forma del patrón de difracción dada por una apertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). Hay un pico central semirectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija mediante la misma relación que para una rendija única, de modo que la dimensión mayor en la imagen difractada corresponde a la dimensión más pequeña en la rendija. La separación de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la hendidura.

Si el haz de luz no ilumina toda la longitud vertical de la rendija, la separación de las franjas verticales está determinada por las dimensiones del haz de luz. Un examen minucioso del patrón de difracción de doble rendija a continuación muestra que hay franjas de difracción horizontales muy finas encima y debajo del punto principal, así como las franjas horizontales más obvias.

Difracción por una apertura circular

El patrón de difracción dado por una apertura circular se muestra en la figura de la derecha. Esto se conoce como patrón de difracción de Airy. Se puede observar que la mayor parte de la luz se encuentra en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como disco de Airy, es

$${displaystyle alpha approx {frac {1.22lambda } {W}$$

El disco Airy puede ser un parámetro importante para limitar la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos ubicados muy cerca.

Difracción por una apertura con perfil gaussiano

El patrón de difracción obtenido dado por una apertura con perfil gaussiano, por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisividad tiene una variación gaussiana, también es una función gaussiana. La forma de la función está representada a la derecha (arriba, para una tableta) y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. Esta técnica se puede utilizar en un proceso llamado apodización: la apertura está cubierta por un filtro gaussiano, lo que da un patrón de difracción sin anillos secundarios.

El perfil de salida de un rayo láser monomodo puede tener un perfil de intensidad gaussiano y la ecuación de difracción se puede utilizar para mostrar que mantiene ese perfil sin importar lo lejos que se propague de la fuente.

Difracción por doble rendija

En el experimento de la doble rendija, las dos rendijas se iluminan con un solo haz de luz. Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menos que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos están superpuestos, y la amplitud, y por tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. Estos flecos se conocen a menudo como flecos de Young.

El espaciado angular de las franjas está dado por

$${displaystyle theta _{text{f}=lambda /d.}$$

El espaciado de las franjas a una distancia z de las rendijas viene dado por

$${displaystyle w_{text{f}=ztheta ¿Qué?$$

Las franjas de la imagen se obtuvieron utilizando luz amarilla de una luz de sodio (longitud de onda = 589 nm), con rendijas separadas por 0,25 mm, y proyectadas directamente sobre el plano de la imagen de una cámara digital.

Las franjas de interferencia de doble rendija se pueden observar cortando dos rendijas en un trozo de tarjeta, iluminándola con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1 m. Si la separación de las rendijas es de 0,5 mm y la longitud de onda del láser es de 600 nm, entonces el espaciado de las franjas vistas a una distancia de 1 m sería de 1,2 mm.

Explicación semicuantitativa de las franjas de doble rendija

La diferencia de fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.

Si la distancia de visualización es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano), la diferencia de fase se puede encontrar utilizando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo θ está dada por

$${displaystyle dsin theta approx dtheta.}$$

Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a un número entero de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima, y cuando están en antifase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a media longitud de onda, una longitud de onda y media, etc., entonces las dos ondas se cancelan y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia.

Los máximos de la franja de interferencia se producen en ángulos

$${displaystyle dtheta ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

$${displaystyle theta _{text{f}approx lambda /d.}$$

Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es z, el espaciado de las franjas es igual a zθ y es el mismo que el anterior:

$${displaystyle w=zlambda /d.}$$

Difracción por rejilla

Una rejilla se define en Born y Wolf como "cualquier disposición que impone a una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".

Una rejilla cuyos elementos están separados por S difracta un haz de luz normalmente incidente en un conjunto de haces, en ángulos θ_n dado por:

$${displaystyle ~sin theta ¿Qué? } {S},quad n=0,pm 1,pm 2,ldots }$$

Esto se conoce como ecuación de rejilla. Cuanto menor sea la separación de las rejillas, mayor será la separación angular de los haces difractados.

Si la luz incide en un ángulo θ₀, la ecuación de la rejilla es:

$${displaystyle sin theta ¿Qué? }{S}+sin theta _{0},quad n=0,pm 1,pm 2,ldots }$$

La estructura detallada del patrón repetido determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.

La imagen de la derecha muestra un rayo láser difractado por una rejilla en n = 0 y ±1 haces. Los ángulos de las vigas de primer orden son de unos 20°; Si asumimos que la longitud de onda del rayo láser es de 600 nm, podemos inferir que la separación entre rejillas es de aproximadamente 1,8 μm.

Explicación semicuantitativa

Una rejilla simple consiste en una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que viaja en un ángulo θ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que la intensidad máxima de La luz difractada se obtiene cuando:

$${displaystyle Wsin theta =nlambdaquad n=0,pm 1,pm 2,ldots }$$

Esta es la misma relación que se proporciona arriba.