Difeomorfismo

En matemáticas, un difeomorfismo es un isomorfismo de variedades suaves. Es una función invertible que asigna una variedad diferenciable a otra tal que tanto la función como su inversa son diferenciables.

La imagen de una cuadrícula rectangular en un cuadrado bajo un difeomorfismo de la plaza en sí misma.

Definición

Dados dos manifolds M{displaystyle M} y N{displaystyle N}, un mapa diferente f:: M→ → N{displaystyle fcolon Mrightarrow N} se llama diffeomorfismo si es una bijección y su inverso f− − 1:: N→ → M{displaystyle f^{-1} Nrightarrow M} es diferente también. Si estas funciones son r{displaystyle r} tiempos continuamente diferentes, f{displaystyle f} se llama Cr{displaystyle C^{r}-diffeomorfismo.

Dos manifolds M{displaystyle M} y N{displaystyle N} son diffeomorfo (normalmente denotado) M≃ ≃ N{displaystyle Msimeq N}) si hay un diffeomorfismo f{displaystyle f} desde M{displaystyle M} a N{displaystyle N}. Ellos son Cr{displaystyle C^{r}-diffeomorfo si hay un r{displaystyle r} mapa bijetivo continuamente diferenciable entre ellos cuyo inverso también r{displaystyle r} tiempos continuamente diferentes.

Difeomorfismos de subconjuntos de variedades

Dado un subconjunto X{displaystyle X} de un múltiple M{displaystyle M} y un subconjunto Y{displaystyle Sí. de un múltiple N{displaystyle N}, una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. se dice que es suave si para todos p{displaystyle p} dentro X{displaystyle X} hay un barrio U⊂ ⊂ M{displaystyle Usubset M} de p{displaystyle p} y una función suave g:U→ → N{displaystyle g:Uto N} tal que las restricciones estén de acuerdo: gSilencioU∩ ∩ X=fSilencioU∩ ∩ X{displaystyle g. Ucap X} (nota que g{displaystyle g} es una extensión de f{displaystyle f}). La función f{displaystyle f} se dice que es un diffeomorfismo si es bijetivo, liso y su inverso es suave.

Descripción local

Hadamard-Caccioppoli Theorem

Si U{displaystyle U}, V{displaystyle V} están conectados subconjuntos abiertos de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} tales que V{displaystyle V} es simplemente conectado, un mapa diferente f:U→ → V{displaystyle f:Uto V} es un diffeomorfismo si es apropiado y si el diferencial Dfx:Rn→ → Rn{displaystyle Df_{x}:mathbb {R} {n}to mathbb {R} {fn} es bijetivo (y por lo tanto un isomorfismo lineal) en cada punto x{displaystyle x} dentro U{displaystyle U}.

Primera observación

Es esencial para V{displaystyle V} para estar simplemente conectado para la función f{displaystyle f} ser globalmente invertible (bajo la única condición de que su derivado sea un mapa bijetivo en cada punto). Por ejemplo, considere la "realización" de la compleja función cuadrada

{}f:R2∖ ∖ {}()0,0)}→ → R2∖ ∖ {}()0,0)}()x,Sí.)↦ ↦ ()x2− − Sí.2,2xSí.).{displaystyle {begin{cases}f:mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)to mathbb {R} ^{2}setminus {(0,0)\(x,y)mapsto (x^{2}-y^{2},2xy). {Enviar}}}

Entonces... f{displaystyle f} es subjetivo y satisfice

DetDfx=4()x2+Sí.2)ل ل 0.{displaystyle det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2}neq 0.}

Así, aunque Dfx{displaystyle Df_{x} es bijetivo en cada punto, f{displaystyle f} no es invertible porque no es inyectable (por ejemplo. f()1,0)=()1,0)=f()− − 1,0){displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}).

Segunda observación

Desde el diferencial en un punto (para una función diferenciable)

Dfx:TxU→ → Tf()x)V{displaystyle Df_{x}:T_{x}Uto T_{f(x)}V}

es un mapa lineal, tiene un inverso bien definido si y sólo si Dfx{displaystyle Df_{x} es una bijeción. La representación de la matriz Dfx{displaystyle Df_{x} es n× × n{displaystyle ntimes n} matriz de derivados parciales de primer orden cuya entrada en i{displaystyle i}-a la fila y j{displaystyle j}- la columna es ∂ ∂ fi/∂ ∂ xj{displaystyle partial f_{i}/partial x_{j}}. Esta llamada matriz jacobiana se utiliza a menudo para computaciones explícitas.

Tercera observación

Los difeomorfismos son necesariamente entre los múltiples de la misma dimensión. Imagínate. f{displaystyle f} de la dimensión n{displaystyle n} a la dimensión k{displaystyle k}. Si <math alttext="{displaystyle nn.k{displaystyle No.<img alt="n entonces Dfx{displaystyle Df_{x} nunca podría ser subjetivo, y si k}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■k{displaystyle n títulok}k}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8afbc0693bee3f48a31d2c991ddc8b6b4a35322" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.704ex; height:2.176ex;"/> entonces Dfx{displaystyle Df_{x} Nunca podría ser inyectable. En ambos casos, por consiguiente, Dfx{displaystyle Df_{x} no es una bijeción.

Cuarta observación

Si Dfx{displaystyle Df_{x} es una bijeción x{displaystyle x} entonces f{displaystyle f} se dice que es un diffeomorfismo local (ya que, por continuidad, DfSí.{displaystyle Df_{y} también será bijetivo para todos Sí.{displaystyle y} suficientemente cerca x{displaystyle x}).

Quinta observación

Dado un mapa suave de la dimensión n{displaystyle n} a la dimensión k{displaystyle k}, si Df{displaystyle Df. (o, localmente, Dfx{displaystyle Df_{x}) es subjetivo, f{displaystyle f} se dice que es una sumersión (o, localmente, una "mersión local"); y si Df{displaystyle Df. (o, localmente, Dfx{displaystyle Df_{x}) es inyectable, f{displaystyle f} se dice que es una inmersión (o, localmente, una "inmersión local").

Sexta observación

Una bijección diferenciable no necesariamente un diffeomorfismo. f()x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}, por ejemplo, no es un diffeomorfismo de R{displaystyle mathbb {R} a sí mismo porque su derivado desaparece a 0 (y por lo tanto su inverso no es diferente a 0). Este es un ejemplo de un homeomorfismo que no es un diffeomorfismo.

Séptima observación

Cuando f{displaystyle f} es un mapa entre diferentes manifolds, a diffeomorphic f{displaystyle f} es una condición más fuerte que una homeomorfa f{displaystyle f}. Para un diffeomorfismo, f{displaystyle f} y su inversa necesidad de ser diferente; para un homeomorfismo, f{displaystyle f} y su inversa necesidad sólo ser continua. Cada diffeomorfismo es un homeomorfismo, pero no todo homeomorfismo es un diffeomorfismo.

f:M→ → N{displaystyle f:Mto N} se llama diffeomorfismo si, en las tablas de coordenadas, satisface la definición anterior. Más precisamente: Escoja cualquier cubierta de M{displaystyle M} por tablas de coordenadas compatibles y hacer lo mismo para N{displaystyle N}. Vamos φ φ {displaystyle phi } y ↑ ↑ {displaystyle psi } ser gráficos en, respectivamente, M{displaystyle M} y N{displaystyle N}, con U{displaystyle U} y V{displaystyle V} como, respectivamente, las imágenes de φ φ {displaystyle phi } y ↑ ↑ {displaystyle psi }. El mapa ↑ ↑ fφ φ − − 1:U→ → V{displaystyle psi fphi ^{-1}:Uto V} es entonces un diffeomorfismo como en la definición anterior, siempre que f()φ φ − − 1()U))⊆ ⊆ ↑ ↑ − − 1()V){displaystyle f(phi ^{-1}(U)subseteq psi ^{-1}(V)}.

Ejemplos

Puesto que cualquier múltiple puede ser parametrizado localmente, podemos considerar algunos mapas explícitos de R2{displaystyle mathbb {R} {2}} en R2{displaystyle mathbb {R} {2}}.

• Vamos

f()x,Sí.)=()x2+Sí.3,x2− − Sí.3).{displaystyle f(x,y)=left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}right). }

Podemos calcular la matriz Jacobiana:

Jf=()2x3Sí.22x− − 3Sí.2).{displaystyle J_{f}={begin{pmatrix}2x ventaja3y^{2}2x 3y^{2}end{pmatrix}}}

La matriz Jacobiana tiene cero determinante si y sólo si xSí.=0{displaystyle xy=0}. Lo vemos. f{displaystyle f} sólo podría ser un diffeomorfismo lejos del x{displaystyle x}-eje y el Sí.{displaystyle y}-Eje. Sin embargo, f{displaystyle f} no es bijetivo ya f()x,Sí.)=f()− − x,Sí.){displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}, y por lo tanto no puede ser un diffeomorfismo.

• Vamos

g()x,Sí.)=()a0+a1,0x+a0,1Sí.+⋯ ⋯ ,b0+b1,0x+b0,1Sí.+⋯ ⋯ ){displaystyle g(x,y)=left (a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+cdots b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+cdots right)}

Donde ai,j{displaystyle a_{i,j} y bi,j{displaystyle B_{i,j} son números reales arbitrarios, y los términos omitidos son de grado al menos dos en x y Sí.. Podemos calcular la matriz Jacobiana 0:

Jg()0,0)=()a1,0a0,1b1,0b0,1).{displaystyle ¿Qué?

Lo vemos. g es un diffeomorfismo local 0 si, y sólo si,

a1,0b0,1− − a0,1b1,0ل ل 0,{displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}neq 0,}

i.e. los términos lineales en los componentes g son linealmente independientes como polinomios.

• Vamos

h()x,Sí.)=()pecado⁡ ⁡ ()x2+Sí.2),#⁡ ⁡ ()x2+Sí.2)).{displaystyle h(x,y)=left(sin(x^{2}+y^{2}),cos(x^{2}+y^{2})right). }

Podemos calcular la matriz Jacobiana:

Jh=()2x#⁡ ⁡ ()x2+Sí.2)2Sí.#⁡ ⁡ ()x2+Sí.2)− − 2xpecado⁡ ⁡ ()x2+Sí.2)− − 2Sí.pecado⁡ ⁡ ()x2+Sí.2)).{displaystyle J_{h}={begin{pmatrix}2xcos(x^{2}+y^{2}) implica2ycos(x^{2}+y^{2})\2xsin(x^{2}+y^{2}) ventaja-2ysin(x^{2}+y^{2})end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}={begin{begin{h}}}}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}}={h}}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}={h}}}={h}

¡La matriz Jacobiana tiene cero determinante en todas partes! De hecho vemos que la imagen h es el círculo de la unidad.

Deformaciones de la superficie

En la mecánica, una transformación inducida por el estrés se llama deformación y puede ser descrita por un diffeomorfismo. Un diffeomorfismo f:U→ → V{displaystyle f:Uto V} entre dos superficies U{displaystyle U} y V{displaystyle V} tiene una matriz Jacobiana Df{displaystyle Df. es una matriz invertible. De hecho, se requiere que para p{displaystyle p} dentro U{displaystyle U}, hay un barrio p{displaystyle p} en la cual el Jacobiano Df{displaystyle Df. se mantiene no-singular. Supongamos que en un gráfico de la superficie, f()x,Sí.)=()u,v).{displaystyle f(x,y)=(u,v). }

El diferencial total de u es

du=∂ ∂ u∂ ∂ xdx+∂ ∂ u∂ ∂ Sí.dSí.{displaystyle du={frac {partial u}{partial x}dx+{frac {partial u}{partial y}}y}}} {f}}, y de forma similar para v.

Entonces la imagen ()du,dv)=()dx,dSí.)Df{displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df} es una transformación lineal, fijando el origen, y expresible como la acción de un número complejo de un tipo particular. Cuandodx,dy) también se interpreta como ese tipo de número complejo, la acción es de la multiplicación compleja en el plano número complejo adecuado. Como tal, hay un tipo de ángulo (Euclidán, hiperbólico o pendiente) que se conserva en tal multiplicación. Due to Df siendo invertible, el tipo de número complejo es uniforme sobre la superficie. En consecuencia, una deformación superficial o diffeomorfismo de superficies tiene la bienes inmuebles de preservar (el tipo apropiado de) ángulos.

Grupo de difeomorfismo

Vamos M{displaystyle M} ser un manifold diferente que es de segunda cuenta y Hausdorff. El grupo diffeomorfismo de M{displaystyle M} es el grupo de todos Cr{displaystyle C^{r} diffeomorfismos de M{displaystyle M} a sí mismo, denotado por Diffr()M){displaystyle {text{Diff}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif} o, cuando r{displaystyle r} se entiende, Diff()M){displaystyle {text{Diff}(M)}. Este es un grupo "grande", en el sentido de que —proporcionado M{displaystyle M} no es dimensional-no es localmente compacto.

Topología

El grupo de difeomorfismos tiene dos topologías naturales: débil y fuerte (Hirsch 1997). Cuando la variedad es compacta, estas dos topologías concuerdan. La topología débil siempre es metrizable. Cuando la variedad no es compacta, la topología fuerte captura el comportamiento de las funciones "en el infinito" y no es metrizable. Sin embargo, sigue siendo Baire.

Arreglar una métrica Riemanniana M{displaystyle M}, la topología débil es la topología inducida por la familia de las métricas

dK()f,g)=Supx▪ ▪ Kd()f()x),g()x))+.. 1≤ ≤ p≤ ≤ rSupx▪ ▪ K.Dpf()x)− − Dpg()x).{displaystyle d_{K}(f,g)=sup nolimits _{xin K}d(f(x),g(x))+sum nolimits _{1leq pleq r}sup nolimits _{xin K}leftD^{p}f(x)-D^{p}g}

como K{displaystyle K} varies over compact subsets of M{displaystyle M}. Ciertamente, desde M{displaystyle M} es σ σ {displaystyle sigma }-compacto, hay una secuencia de subconjuntos compactos Kn{displaystyle K_{n} cuya unión es M{displaystyle M}. Entonces:

d()f,g)=.. n2− − ndKn()f,g)1+dKn()f,g).{displaystyle d(f,g)=sum nolimits _{n}2^{-n}{frac {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF}}} {cHFF}}} {cHFF}}}}} {cHFF}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccH}}}}}}}}}}}} {ccH}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ccccccccccccccHFF}}

El grupo diffeomorfismo equipado con su débil topología es localmente homeomorfa al espacio Cr{displaystyle C^{r} campos vectoriales (Leslie 1967). Sobre un subconjunto compacto M{displaystyle M}, esto sigue arreglando una métrica Riemanniana M{displaystyle M} y usando el mapa exponencial para esa métrica. Si r{displaystyle r} es finito y el múltiple es compacto, el espacio de los campos vectoriales es un espacio de Banach. Además, los mapas de transición de un gráfico de este atlas a otro son suaves, haciendo que el grupo diffeomorfismo en un conjunto de Banach con traducciones suaves derecha; traducciones izquierdas e inversión son sólo continuas. Si r=JUEGO JUEGO {displaystyle r=infty}, el espacio de los campos vectoriales es un espacio Fréchet. Además, los mapas de transición son suaves, haciendo que el grupo de diffeomorfismo se convierta en un conjunto de Fréchet e incluso en un grupo regular de Fréchet Lie. Si el múltiple es σ σ {displaystyle sigma }-compactar y no compactar el grupo de diffeomorfismo completo no es localmente contractual para ninguna de las dos topologías. Uno tiene que restringir el grupo controlando la desviación de la identidad cercana al infinito para obtener un grupo de diffeomorfismo que es un múltiple; véase (Michor & Mumford 2013).

Álgebra de mentira

El álgebra de Lie del grupo diffeomorfismo M{displaystyle M} consiste en todos los campos vectoriales en M{displaystyle M} equipado con el soporte Lie de campos vectoriales. Algo formal, esto se ve haciendo un pequeño cambio a la coordinación x{displaystyle x} en cada punto del espacio:

xμ μ ↦ ↦ xμ μ +ε ε hμ μ ()x){displaystyle x^{mu}mapsto x^{mu }+varepsilon h^{mu }(x)}

entonces los generadores infinitesimales son los campos vectoriales

Lh=hμ μ ()x)∂ ∂ ∂ ∂ xμ μ .{displaystyle L_{h}=h^{mu }(x){frac {partial }{partial x^{mu }}}

Ejemplos

• Cuando M=G{displaystyle M=G. es un grupo de Lie, hay una inclusión natural de G{displaystyle G. en su propio grupo de diffeomorfismo a través de la traducción izquierda. Vamos Diff()G){displaystyle {text{Diff}(G)} denota el grupo diffeomorfismo G{displaystyle G., entonces hay una división Diff()G)≃ ≃ G× × Diff()G,e){displaystyle {text{Diff}(G)simeq Gtimes {text{Diff}(G,e)}, donde Diff()G,e){displaystyle {text{Diff}(G,e)} es el subgrupo de Diff()G){displaystyle {text{Diff}(G)} que fija el elemento de identidad del grupo.
• El grupo diffeomorfismo del espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} consta de dos componentes, que consisten en los diffeomorfismos orientadores y que revierten la orientación. De hecho, el grupo lineal general es un retracto de deformación del subgrupo Diff()Rn,0){displaystyle {text{Diff} {cH00} {fn}} {fn}}} de diffeomorfismos fijando el origen bajo el mapa f()x)→ → f()tx)/t,t▪ ▪ ()0,1]{displaystyle f(x)to f(tx)/t,tin (0,1]}. En particular, el grupo lineal general es también un retracto de deformación del grupo de diffeomorfismo completo.
• Para un conjunto finito de puntos, el grupo diffeomorfismo es simplemente el grupo simétrico. Del mismo modo, si M{displaystyle M} es cualquier múltiple hay una extensión de grupo 0→ → Diff0()M)→ → Diff()M)→ → .. ()π π 0()M)){displaystyle 0to {text{Diff}_{0}(M)to {text{Diff}(M)to Sigma (pi _{0}(M)}. Aquí. Diff0()M){displaystyle {text{Diff}_{0}(M)} es el subgrupo de Diff()M){displaystyle {text{Diff}(M)} que conserva todos los componentes M{displaystyle M}, y .. ()π π 0()M)){displaystyle Sigma (pi _{0}(M)} es el grupo de permutación del conjunto π π 0()M){displaystyle pi _{0}(M)} (los componentes de M{displaystyle M}). Además, la imagen del mapa Diff()M)→ → .. ()π π 0()M)){displaystyle {text{Diff}(M)to Sigma (pi _{0}(M)} es la bijetura de π π 0()M){displaystyle pi _{0}(M)} que preservan las clases de diffeomorfismo.

Transitividad

Para un manifold conectado M{displaystyle M}, el grupo diffeomorfismo actúa transitivamente M{displaystyle M}. Más generalmente, el grupo diffeomorfismo actúa transitivamente en el espacio de configuración CkM{displaystyle C_{k}M}. Si M{displaystyle M} es al menos bidimensional, el grupo diffeomorfismo actúa transitivamente en el espacio de configuración FkM{displaystyle F_{k}M} and the action on M{displaystyle M} se multiplica transitiva (Banyaga 1997, pág. 29).

Extensiones de difeomorfismos

En 1926, Tibor Radó preguntó si la extensión armónica de cualquier homeomorfismo o difeomorfismo del círculo unitario al disco unitario produce un difeomorfismo en el disco abierto. Hellmuth Kneser proporcionó una prueba elegante poco después. En 1945, Gustave Choquet, aparentemente sin darse cuenta de este resultado, produjo una prueba completamente diferente.

El grupo de diffeomorfismo (orientación-preservación) del círculo está conectado con el camino. Esto se puede ver notando que cualquier diffeomorfismo puede ser levantado a un diffeomorfismo f{displaystyle f} de los reinos satisfactoria [f()x+1)=f()x)+1]{displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}; este espacio es convexo y por lo tanto conectado a la ruta. Un camino suave y eventualmente constante a la identidad da una segunda manera más elemental de extender un difeomorfismo del círculo al disco de unidad abierta (un caso especial del truco de Alexander). Además, el grupo diffeomorfismo del círculo tiene el tipo homotopy del grupo ortogonal O()2){displaystyle O(2)}.

El problema de extensión correspondiente para la difusión de las esferas de mayor dimensión Sn− − 1{displaystyle S^{n-1} fue muy estudiado en los años 50 y 1960, con notables contribuciones de René Thom, John Milnor y Stephen Smale. Una obstrucción a tales extensiones es dada por el grupo abeliano finito .. n{displaystyle "Gamma", el "grupo de esferas retorcidas", definido como el cociente del grupo de componentes abelianos del grupo diffeomorfismo por el subgrupo de clases que se extiende a los diffeomorfismos de la bola Bn{displaystyle B^{n}.

Conectividad

Para variedades, el grupo de difeomorfismo generalmente no está conectado. Su grupo de componentes se llama el grupo de clase de mapeo. En la dimensión 2 (es decir, superficies), el grupo de clase de mapeo es un grupo presentado finitamente generado por giros de Dehn (Dehn, Lickorish, Hatcher). Max Dehn y Jakob Nielsen demostraron que se puede identificar con el grupo de automorfismos exterior del grupo fundamental de la superficie.

William Thurston refina este análisis clasificando elementos del grupo de clase cartográfica en tres tipos: los equivalentes a un diffeomorfismo periódico; los equivalentes a un diffeomorfismo dejando una curva cerrada simple invariante; y los equivalentes a los pseudo-Anosov diffeomorfismos. En el caso del toro S1× × S1=R2/Z2{displaystyle S^{1}times S^{1}=mathbb {R} ^{2}/Mathbb {Z}, el grupo de clase de mapeo es simplemente el grupo modular SL()2,Z){displaystyle {text{SL}(2,mathbb {Z}} y la clasificación se convierte en clásica en términos de matrices elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Thurston logró su clasificación observando que el grupo de clase cartográfica actuó naturalmente en una compactación del espacio de Teichmüller; como este espacio ampliado era homeomorfo a una bola cerrada, el teorema de punto fijo Brouwer se hizo aplicable. Smale conjeured that if M{displaystyle M} es un manifold cerrado suave orientado, el componente de identidad del grupo de diffeomorfismos orientados a la orientación es simple. Esto había sido probado por primera vez para un producto de círculos por Michel Herman; fue probado en plena generalidad por Thurston.

Tipos de homotopía

• El grupo diffeomorfismo S2{displaystyle S^{2} tiene el tipo homotopy del subgrupo O()3){displaystyle O(3)}. Esto fue probado por Steve Smale.
• El grupo diffeomorfismo del toro tiene el tipo homotopy de sus automorfismos lineales: S1× × S1× × GL()2,Z){displaystyle S^{1}times S^{1}times {text{GL}(2,mathbb {Z}.
• Los grupos diffeomorfistas de superficies orientables del género 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■1{displaystyle g título1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3aa256fb29a830d501693b50832d0e09f65557" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.377ex; height:2.509ex;"/> tienen el tipo homotopy de sus grupos de clase de mapeo (es decir, los componentes son contractuales).
• El tipo homotopy de los grupos de diffeomorfismo de 3-manifolds se entienden bastante bien a través del trabajo de Ivanov, Hatcher, Gabai y Rubinstein, aunque hay algunos casos abiertos destacados (principalmente 3-manifolds con grupos fundamentales finitos).
• El tipo homotopy de los grupos de diffeomorfismo n{displaystyle n}- Manifolds para 3}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■3{displaystyle n confiado3}3" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257030caae597fd034c2cbcff2cff9dfc4272d20" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> son mal entendidos. Por ejemplo, es un problema abierto, ya sea o no Diff()S4){displaystyle {text{Diff} {4}}}} tiene más de dos componentes. Via Milnor, Kahn and Antonelli, however, it is known that provided 6}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■6{displaystyle n confía6}6}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255e18708489bb215e50c53a18726f6a93255002" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>, Diff()Sn){displaystyle {text{Diff}}(S^{n}}} no tiene el tipo homotopy de un complejo CW finito.

Homeomorfismo y difeomorfismo

Dado que todo difeomorfismo es un homeomorfismo, todas las variedades difeomorfas son homeomorfas, pero lo contrario no es cierto. Si bien es fácil encontrar homeomorfismos que no sean difeomorfismos, es más difícil encontrar un par de variedades homeomorfas que no sean difeomorfas. En las dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades lisas homeomorfas son difeomorfas. En dimensión 4 o mayor, se han encontrado ejemplos de pares homeomorfos pero no difeomorfos. El primer ejemplo de este tipo fue construido por John Milnor en la dimensión 7. Él construyó una variedad suave de 7 dimensiones (llamada ahora esfera de Milnor) que es homeomorfa a la 7 esfera estándar pero no difeomorfa a ella. Hay, de hecho, 28 clases de difeomorfismos orientados de variedades homeomorfas a la 7-esfera (cada una de ellas es el espacio total de un haz de fibras sobre la 4-esfera con la 3-esfera como fibra).

Se producen fenómenos más inusuales para 4 mangas. A principios de los años 80, una combinación de resultados debido a Simon Donaldson y Michael Freedman llevó al descubrimiento de exóticos R4{displaystyle mathbb {R} {4}}: hay incontablemente muchos subconjuntos abiertos pares no-diffeomorfos de R4{displaystyle mathbb {R} {4}} cada uno de los cuales es homeomorfo R4{displaystyle mathbb {R} {4}}, y también hay incontablemente muchos manifolds diferenciables pares no-diffeomorfos homeomorfo a R4{displaystyle mathbb {R} {4}} que no incrustan suavemente en R4{displaystyle mathbb {R} {4}}.