Desplazamiento angular

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El desplazamiento angular de un cuerpo es el ángulo (en radianes, grados o revoluciones) a través del cual un punto gira alrededor de un centro o un eje específico en un sentido específico. Cuando un cuerpo gira alrededor de su eje, el movimiento no puede analizarse simplemente como una partícula, ya que en el movimiento circular experimenta un cambio de velocidad y aceleración en cualquier momento (t). Cuando se trata de la rotación de un cuerpo, se vuelve más simple considerar que el cuerpo mismo es rígido. Un cuerpo generalmente se considera rígido cuando las separaciones entre todas las partículas permanecen constantes durante el movimiento del cuerpo, por lo que, por ejemplo, partes de su masa no salen volando. En un sentido realista, todas las cosas pueden ser deformables, sin embargo, este impacto es mínimo e insignificante. Por tanto, la rotación de un cuerpo rígido sobre un eje fijo se denomina movimiento de rotación.

Ejemplo

En el ejemplo ilustrado a la derecha (o arriba en algunas versiones móviles), una partícula o cuerpo P está a una distancia fija r del origen, O, girando en sentido antihorario. Entonces se vuelve importante representar la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares (r, θ). En este ejemplo particular, el valor de θ está cambiando, mientras que el valor del radio sigue siendo el mismo. (En coordenadas rectangulares (x, y) tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo, recorre una longitud de arco s, que se relaciona con la posición angular a través de la relación: - ${displaystyle s=rtheta,}$

Mediciones

El desplazamiento angular se puede medir en radianes o grados. El uso de radianes proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo y la distancia r desde el centro. ${ estilo de visualización theta = { frac {s} {r}}}$

Por ejemplo, si un cuerpo gira 360° alrededor de un círculo de radio r, el desplazamiento angular viene dado por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia, que es 2π r, dividida por el radio: $theta ={frac {2pi r}r}$ lo que se simplifica fácilmente a: $theta = 2 pi$ . Por lo tanto, 1 revolución es $2pi$ radianes.

Cuando una partícula viaja del punto P al punto Q sobre $delta t$ , como lo hace en la ilustración de la izquierda, el radio del círculo experimenta un cambio de ángulo ${ estilo de visualización Delta theta = theta _ {2} - theta _ {1}}$ que es igual al desplazamiento angular.

Tres dimensiones

En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con una dirección y una magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe en virtud del teorema de rotación de Euler; la magnitud especifica la rotación en radianes alrededor de ese eje (usando la regla de la mano derecha para determinar la dirección). Esta entidad se llama eje-ángulo.

A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece a la ley conmutativa de la suma. Sin embargo, cuando se trata de rotaciones infinitesimales, los infinitesimales de segundo orden pueden descartarse y en este caso aparece la conmutatividad.

Existen varias formas de describir el desplazamiento angular, como matrices de rotación o ángulos de Euler. Ver gráficos en SO(3) para otros.

Notación matricial

Dado que cualquier cuadro en el espacio puede ser descrito por una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede ser descrito por una matriz de rotación. Siendo $A_{0}$ y $A_f$ dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas se puede obtener como ${displaystyle Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}$ . Cuando este producto se realice teniendo una diferencia muy pequeña entre ambos marcos obtendremos una matriz cercana a la identidad.

En el límite tendremos una matriz de rotación infinitesimal.

Matrices de rotación infinitesimal

Un desplazamiento angular infinitesimal es una matriz de rotación infinitesimal:

Como cualquier matriz de rotación tiene un solo valor propio real, que es +1, este valor propio muestra el eje de rotación.
Su módulo se puede deducir del valor de la rotación infinitesimal.
La forma de la matriz es así: ${displaystyle A={begin{pmatrix}1&-dphi _{z}(t)&dphi _{y}(t)\dphi _{z}(t)&1&-dphi _ {x} (t) \-d phi _ {y} (t) y d phi _ {x} (t) y 1 \ end {pmatriz}}}$

Podemos introducir aquí el tensor de desplazamiento angular infinitesimal o generador de rotación asociado: ${displaystyle dPhi (t)={begin{pmatrix}0&-dphi _{z}(t)&dphi _{y}(t)\dphi _{z}(t) &0&-dphi _{x}(t)\-dphi _{y}(t)&dphi _{x}(t)&0\end{pmatriz}}}$

Tal que su matriz de rotación asociada es ${ Displaystyle A = I + d Phi (t)}$ . Cuando se divide por el tiempo, se obtiene el vector de velocidad angular.

Generadores de rotaciones

Supongamos que especificamos un eje de rotación mediante un vector unitario [ x, y, z ], y supongamos que tenemos una rotación infinitamente pequeña del ángulo Δ θ alrededor de ese vector. Expandiendo la matriz de rotación como una suma infinita y tomando el enfoque de primer orden, la matriz de rotación Δ R se representa como: ${displaystyle Delta R={begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}0&z&-y\-z&0&x\y&-x&0end{bmatrix} },Delta theta =mathbf {I} +mathbf {A} ,Delta theta.}$

Una rotación finita del ángulo θ alrededor de este eje puede verse como una sucesión de pequeñas rotaciones alrededor del mismo eje. Aproximando Δ θ como θ / N donde N es un número grande, una rotación de θ alrededor del eje se puede representar como: ${displaystyle R=left(mathbf {1} +{frac {mathbf {A} theta }{N}}right)^{N}approx e^{mathbf {A} theta }.}$

Se puede ver que el teorema de Euler establece esencialmente que todas las rotaciones pueden representarse de esta forma. El producto $mathbf{A}theta$ es el "generador" de la rotación particular, siendo el vector (x, y, z) asociado con la matriz A. Esto muestra que la matriz de rotación y el formato eje-ángulo están relacionados por la función exponencial.

Se puede derivar una expresión simple para el generador G. Se comienza con un plano arbitrario definido por un par de vectores unitarios perpendiculares a y b. En este plano se puede elegir un vector arbitrario x con perpendicular y. Luego se resuelve para y en términos de x y sustituyendo en una expresión para una rotación en un plano se obtiene la matriz de rotación R que incluye el generador G = ba − ab. ${displaystyle {begin{alineado}x&=acos left(alpha right)+bsin left(alpha right)\y&=-asin left(alpha right) +bcos left(alpha right)\cos left(alpha right)&=a^{T}x\sin left(alpha right)&=b^{T }x\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=left(ba^{T}-ab^{T}right)x\\x'&=xcos left(beta right)+ysin left(beta right)\&=left[Icos left(beta right)+left(ba^{T}-ab^ {T}right)sin left(beta right)right]x\\R&=Icos left(beta right)+left(ba^{T}-ab^{ T}right)sin left(beta right)\&=Icos left(beta right)+Gsin left(beta right)\\G&=ba^ {T}-ab^{T}\end{alineado}}}$

Para incluir vectores fuera del plano en la rotación, es necesario modificar la expresión anterior para R incluyendo dos operadores de proyección que dividen el espacio. Esta matriz de rotación modificada se puede reescribir como una función exponencial. ${displaystyle {begin{alineado}P_{ab}&=-G^{2}\R&=I-P_{ab}+left[Icos left(beta right)+Gsin left(beta right)right]P_{ab}=e^{Gbeta }\end{alineado}}}$

El análisis suele ser más fácil en términos de estos generadores, en lugar de la matriz de rotación completa. El análisis en términos de los generadores se conoce como el álgebra de Lie del grupo de rotación.

Relación con las álgebras de Lie

Las matrices en el álgebra de Lie no son en sí mismas rotaciones; las matrices simétricas oblicuas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real o matriz de rotación infinitesimal tiene la forma $I+A,dtheta~,$

donde dθ es muy pequeño y A ∈ entonces (n), por ejemplo con A = L _x, ${displaystyle dL_{x}={begin{bmatriz}1&0&0\0&1&-dtheta \0&dtheta &1end{bmatriz}}.}$

Las reglas de cálculo son las habituales, excepto que los infinitesimales de segundo orden se eliminan rutinariamente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices ordinarias de rotación finita bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante. Para ver esto ejemplificado, consulte las rotaciones infinitesimales SO(3).

Mapa exponencial

Conectar el álgebra de Lie al grupo de Lie es el mapa exponencial, que se define usando la serie exponencial de matriz estándar para e Para cualquier matriz asimétrica A, exp(A) es siempre una matriz de rotación.

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3. En el grupo de rotación SO(3), se muestra que se puede identificar todo A ∈ so (3) con un vector de Euler ω = θ u, donde u = (x, y, z) es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación su (2) ≅ R, u está en el espacio nulo de A. Por lo tanto, u se deja invariable por exp(A) y por lo tanto es un eje de rotación.

Usando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma de matriz con θ = ^θ ⁄ ₂ + ^θ ⁄ ₂, junto con las fórmulas estándar de doble ángulo, se obtiene, ${displaystyle {begin{alineado}exp(A)&{}=exp(theta ({boldsymbol {ucdot L}}))=exp left(left[{begin{smallmatrix }0&-ztheta &ytheta \ztheta &0&-xtheta \-ytheta &xtheta &0end{smallmatrix}}right]right)={boldsymbol {I}}+ 2cos {frac {theta }{2}}sin {frac {theta }{2}}~{boldsymbol {ucdot L}}+2sin ^{2}{frac { theta {2}}~({boldsymbol {ucdot L}})^{2},end{alineado}}}$

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ en forma de medio ángulo. Para detalles completos, vea el mapa exponencial SO(3).

Note que para ángulos infinitesimales los términos de segundo orden pueden ser ignorados y permanecen exp(A) = I + A

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