Desigualdad (matemáticas)

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Relación matemática expresada con

Las regiones viables de programación lineal se definen por un conjunto de desigualdades.

En matemáticas, una desigualdad es una relación que hace una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. Se usa con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica por su tamaño. Hay varias notaciones diferentes que se utilizan para representar diferentes tipos de desigualdades:

La notación a. b significa que a es menos que b.
La notación a ■ b significa que a es más grande que b.

En cualquier caso, a no es igual a b. Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, lo que significa que a es estrictamente menor o estrictamente mayor que b. Se excluye la equivalencia.

A diferencia de las desigualdades estrictas, existen dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:

La notación a ≤ b o a ⩽ b significa que a es menos que o igual a b (o, equivalentemente, en la mayoría b, o no mayor que b).
La notación a ≥ b o a ⩾ b significa que a es mayor o igual a b (o, equivalentemente, al menos b, o no menos que b).

La relación no mayor que también se puede representar mediante a ≯ b, el símbolo de "mayor que" dividido en dos por una barra inclinada, "no". Lo mismo es cierto para no menos que y a ≮ b.

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b; esta desigualdad a veces se considera una forma de desigualdad estricta. No dice que uno sea mayor que el otro; ni siquiera requiere que a y b sean miembros de un conjunto ordenado.

En ciencias de la ingeniería, el uso menos formal de la notación es afirmar que una cantidad es "mucho mayor" que otro, normalmente en varios órdenes de magnitud.

La notación a ≪ b significa que a es mucho menos que b.
La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b.

Esto implica que el valor menor puede despreciarse con poco efecto sobre la precisión de una aproximación (como el caso del límite ultrarrelativista en física).

En todos los casos anteriores, dos símbolos cualesquiera que se reflejen entre sí son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.

Propiedades en la recta numérica

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades. Todas estas propiedades también se cumplen si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (< y >) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a estrictamente monótonas.

Conversar

Las relaciones ≤ y ≥ son inversas entre sí, lo que significa que para cualquier número real a y b:

a ≤ b y b ≥ a son equivalentes.

Transitividad

La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a, b, c:

Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.

Si cualquiera de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:

Si a ≤ b y b. c, entonces a. c.

Si a. b y b ≤ c, entonces a. c.

Sumas y restas

Si x. Sí., entonces x + a. Sí. + a.

Una constante común c se puede sumar o restar de ambos lados de una desigualdad. Entonces, para cualquier número real a, b, c:

Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y a − c ≤ b − c.

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado en la suma.

Multiplicación y división

Si x. Sí. y a Entonces, ax. ay.

Si x. Sí. y a # 0, entonces ax ■ ay.

Las propiedades que se ocupan de la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a, b y distinto de cero c:

Si a ≤ b y c Entonces, ac ≤ bc y a/c ≤ b/c.

Si a ≤ b y c # 0, entonces ac ≥ bc y a/c ≥ b/c.

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la multiplicación y división con constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. Más generalmente, esto se aplica a un campo ordenado. Para obtener más información, consulte § Campos ordenados.

Inverso aditivo

La propiedad del inverso aditivo establece que para cualquier número real a y b:

Si a ≤ b, entonces −a ≥ −b.

Inversa multiplicativa

(feminine)

Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la de los números originales. Más específicamente, para cualquier número real distinto de cero a y b que sean ambos positivos (o ambos negativos):

Si a ≤ b, entonces 1a ≥ 1b.

Todos los casos para los signos de a y b también se pueden escribir en notación encadenada, de la siguiente manera:

Si 0 a ≤ b, entonces 1a ≥ 1b ■ 0.

Si a ≤ b 0, entonces 0 1a ≥ 1b.

Si a " 0 " b, entonces 1a " 0 " 1b.

Aplicando una función a ambos lados

El gráfico de Sí. = x

Cualquier función monótonamente creciente, por su definición, puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de la aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta (a < b, a > b) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad permanece estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para los inversos aditivos y multiplicativos son ejemplos de la aplicación de una función estrictamente monótonamente decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

Raising both sides of an inequality to a power n (equiv., −n 0), cuando a y b son números reales positivos:
0 ≤ a ≤ b ≤ aⁿ ≤ bⁿ.

0 ≤ a ≤ b. a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ ≥ 0.
Tomando el logaritmo natural en ambos lados de una desigualdad, cuando a y b son números reales positivos:
0 a ≤ b.a≤ lnb).

0 a. b.a)b).
(esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente.)

Definiciones formales y generalizaciones

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexivo, antisimétrico y transitivo. Es decir, para todo a, b y c en P, debe cumplir las tres cláusulas siguientes:

a ≤ a (reflexividad)
si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría)
si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad)

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado. Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden tiene que satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes en un conjunto P incluyen:

Por todos a y b dentro P, a ≤ b o b ≤ a (orden total).
Para todos a y b dentro P para la cual a. b, hay un c dentro P tales que a. c. b (ordenado).
Cada subconjunto no vacío P con un borde superior tiene un límite inferior (suplemento) P (propiedad por lo menos).

Campos ordenados

Si (F, +, ×) es un campo y ≤ es un pedido total en F, entonces (F, +, ×, ≤) se denomina campo ordenado si y solo si:

a ≤ b implicación a + c ≤ b + c;
0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Ambos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son campos ordenados, pero ≤ no se puede definir para hacer (C, +, ×, ≤) un campo ordenado, porque −1 es el cuadrado de i y por lo tanto sería positivo.

Además de ser un campo ordenado, R también tiene la propiedad Least-upper-bound. De hecho, R se puede definir como el único campo ordenado con esa calidad.

Notación encadenada

La notación a < b < c significa "a < b y b < c", de donde, por la propiedad de transitividad anterior, también se deduce que a < c. Según las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las desigualdades si ese número es negativo. Por lo tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a − e < b < c − e.

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a₁ ≤ a₂ ≤... ≤ a_n significa que a_i ≤ a_i+1 para i = 1, 2,..., n − 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a_i ≤ a_j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Cuando se resuelven desigualdades usando notación encadenada, es posible ya veces necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante suma o resta. En su lugar, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, dando como resultado x < 1/2 y x ≥ −1 respectivamente, que se pueden combinar en la solución final −1 ≤ x < 1/2.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de una pose en zigzag se escribe como a₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆ >.... La notación encadenada mixta se usa más a menudo con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b, b = c y c ≤ d. Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python. Por el contrario, en lenguajes de programación que ordenan el tipo de resultados de comparación, como C, incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente.

Desigualdades agudas

Se dice que una desigualdad es aguda si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama aguda si, para cada desigualdad cuantificada universalmente válida ψ, si ψ ⇒ φ se cumple, luego ψ ⇔ φ también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad ∀a ∈ R. a² ≥ 0 es aguda, mientras que la desigualdad ∀a ∈ R. a² ≥ −1 no es agudo.

Desigualdades entre medias

Hay muchas desigualdades entre las medias. Por ejemplo, para cualquier número positivo a₁, a₂,..., a_n tenemos H ≤ G ≤ A ≤ Q, donde representan las siguientes medias de la secuencia:

Significado armónico: ${displaystyle H={frac {n}{{frac {1}{a_{1}}}+{frac {1}{a_{2}}}+cdots +{frac {1}{a_{n}}}}}}$
Medio geométrico: $G={sqrt[{n}]{a_{1}cdot a_{2}cdots a_{n}}}$
Arithmetic media: $A={frac {a_{1}+a_{2}+cdots +a_{n}}{n}}$
quadratic mean: $Q={sqrt {frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio producto interior es cierto que

{displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}leq langle mathbf {u}mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v}mathbf {v} rangle}

langle cdotcdot rangle

Rⁿ

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}right)^{2}leq left(sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}right).}

Desigualdades de poder

Una "desigualdad de poder" es una desigualdad que contiene términos de la forma a^b, donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. A menudo aparecen en ejercicios de olimpiadas matemáticas.

Ejemplos

Para cualquier real x, ${displaystyle e^{x}geq 1+x.}$
Si x " 0 " p Entonces, ${displaystyle {frac {x^{p}-1}{p}}geq ln(x)geq {frac {1-{frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$ En el límite p → 0, los límites superiores e inferiores convergen a ln(x).
Si x Entonces, ${displaystyle x^{x}geq left({frac {1}{e}}right)^{frac {1}{e}}.}$
Si x Entonces, ${displaystyle x^{x^{x}}geq x.}$
Si x, Sí., z Entonces, $2.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()x+Sí.)z+()x+z)Sí.+()Sí.+z)x■2.{displaystyle left(x+yright)^{z}+left(x+zright)^{y}+left(y+zright)^{x}]2.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec45587332a9bbb0a108c0633baa4c2ecdc8d370" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.908ex; height:3.009ex;"/>$
Para cualquier número real distinto a y b, $e^{(a+b)/2}.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">eb− − eab− − a■e()a+b)/2.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}e^{(a+b)/2}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3d7eb1234d577313d353e289a0ecb3947bfde9" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.721ex; height:6.009ex;"/>$
Si x, Sí. Ø 0 y 0 p 1o $left(x+yright)^{p}.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">xp+Sí.p■()x+Sí.)p.{displaystyle x^{p}+y^{p}left(x+yright)}}left(x+yright)^{p}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d8c10ce76bab041361391904aa4f0fb4b861cf" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.388ex; height:3.009ex;"/>$
Si x, Sí., z Entonces, ${displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}geq left(xyzright)^{(x+y+z)/3}.}$
Si a, b Entonces, ${displaystyle a^{a}+b^{b}geq a^{b}+b^{a}.}$
Si a, b Entonces, ${displaystyle a^{ea}+b^{eb}geq a^{eb}+b^{ea}.}$
Si a, b, c Entonces, ${displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$
Si a, b Entonces, $1.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ab+ba■1.{displaystyle a^{b}+b^{a} {}}} {f}}1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab8ce78e5ad52f41e67ce45a00b066dbb88e2ba" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.015ex; height:2.843ex;"/>$

Desigualdades conocidas

Los matemáticos suelen utilizar desigualdades para limitar cantidades cuyas fórmulas exactas no se pueden calcular fácilmente. Algunas desigualdades se usan con tanta frecuencia que tienen nombres:

Inequidad de Azuma
La desigualdad de Bernoulli
La desigualdad de Bell
La desigualdad de Boole
Inequidad Cauchy-Schwarz
La desigualdad de Chebyshev
La desigualdad de Chernoff
Inequidad Cramér-Rao
La desigualdad de Hoeffding
La desigualdad de Hölder
Calidad de los medios aritméticos y geométricos
La desigualdad de Jensen
La desigualdad de Kolmogorov
La desigualdad de Markov
Inequidad de Minkowski
La desigualdad de Nesbitt
La desigualdad de Pedoe
Poincaré inequality
La desigualdad de Samuelson
Inequidad del triángulo

Números complejos y desigualdades

El conjunto de números complejos ℂ con sus operaciones de suma y multiplicación es un campo, pero es imposible definir cualquier relación ≤ tal que (C, +, ×, ≤) se convierte en un campo ordenado. Para convertir a (ℂ, +, ×, ≤) en un campo ordenado, debería satisfacer las siguientes dos propiedades:

si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c;
si 0 ≤ a y 0 ≤ b, entonces 0 ≤ ab.

Debido a que ≤ es un pedido total, para cualquier número a, ya sea 0 ≤ a o a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ −a). En cualquier caso 0 ≤ a²; esto significa que i² > 0 y 1² > 0; entonces −1 > 0 y 1 > 0, lo que significa (−1 + 1) > 0; contradicción.

Sin embargo, se puede definir una operación ≤ para satisfacer solo la primera propiedad (es decir, "if a ≤ b, luego a + c ≤ b + c"). A veces se utiliza la definición de orden lexicográfico:

a ≤ b, si
- Re(a)b), o
- Re(aRe.b) y Im(a≤ Im(b)

Se puede probar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c.

Desigualdades vectoriales

Las relaciones de desigualdad similares a las definidas anteriormente también se pueden definir para vectores de columna. Si dejamos los vectores ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{n}}$ (que significa que ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldotsx_{n})^{mathsf {T}}}$ y ${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldotsy_{n})^{mathsf {T}}}$ , donde $x_{i}$ y $y_{i}$ son números reales para $i=1,ldotsn$ ), podemos definir las siguientes relaciones:

${displaystyle x=y}$ , si ${displaystyle x_{i}=y_{i}}$ para $i=1,ldotsn$ .
$<math alttext="{displaystyle xx.Sí.{displaystyle xtraducidos} <img alt="x$ , si $<math alttext="{displaystyle x_{i}xi.Sí.i{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle x_{i}$ para $i=1,ldotsn$ .
$xleq y$ , si $x_{i}leq y_{i}$ para $i=1,ldotsn$ y $xneq y$ .
$xleqq y$ , si $x_{i}leq y_{i}$ para $i=1,ldotsn$ .

Del mismo modo, podemos definir relaciones para $y}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■Sí.{displaystyle x confianzay}y" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8432c5c4451b66818abae111d41f27d6de8623" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle xgeq y}$ , y ${displaystyle xgeqq y}$ . Esta notación es consistente con la utilizada por Matthias Ehrgott en Optimización multicriterios (ver Referencias).

La propiedad tricotomía (como se indicó anteriormente) no es válida para las relaciones vectoriales. Por ejemplo, cuando ${displaystyle x=(2,5)^{mathsf {T}}}$ y ${displaystyle y=(3,4)^{mathsf {T}}}$ , no existe una relación de desigualdad válida entre estos dos vectores. Sin embargo, para el resto de las propiedades mencionadas, existe una propiedad paralela para las desigualdades vectoriales.

Sistemas de desigualdades

Los sistemas de desigualdades lineales se pueden simplificar mediante la eliminación de Fourier-Motzkin.

La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite probar si un sistema de ecuaciones polinómicas y desigualdades tiene soluciones y, en caso de existir, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un dominio de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.

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