Descomposición JSJ

En matemáticas, la descomposición JSJ, también conocida como descomposición toral, es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:

Irreducible orientable cerrado (es decir, compacto y sin límite) 3-manifolds tienen una colección mínima (hasta isotopía) única de tori incompresible descompresiblemente incrustado de tal manera que cada componente del 3-manifold obtenido por el corte a lo largo del tori es atoroidal o Seifert-fibered.

El acrónimo JSJ corresponde a William Jaco, Peter Shalen y Klaus Johannson. Los dos primeros trabajaron juntos, y el tercero trabajó de forma independiente.

La subvariedad característica

Una versión alternativa de los estados de descomposición JSJ:

Un 3-manifold irreducible cerrado M tiene un submanifold ega que es un múltiple Seifert (posiblemente desconectado y con límite) cuyo complemento es atoroidal (y posiblemente desconectado).

La subvariedad Σ con el menor número de toros de frontera se denomina subvariedad característica de M; es único (hasta la isotopía). Cortar la variedad a lo largo de los toros que delimitan la subvariedad característica también se denomina a veces descomposición JSJ, aunque puede tener más toros que la descomposición JSJ estándar.

El límite de la subvariedad característica Σ es una unión de toros que son casi iguales a los toros que aparecen en la descomposición JSJ. Sin embargo, hay una diferencia sutil: si uno de los toros en la descomposición JSJ es 'no separable', entonces el límite de la subvariedad característica tiene dos copias paralelas (y la región entre ellos es un Seifert variedad isomorfa al producto de un toro y un intervalo unitario). El conjunto de toros que limitan la subvariedad característica se puede caracterizar como la colección mínima única (hasta la isotopía) de toros incompresibles incrustados de forma separada, de modo que el cierre de cada componente de la variedad de 3 se obtiene cortando a lo largo de los toros es atoroidal o de fibra de Seifert.

La descomposición JSJ no es exactamente igual que la descomposición en la conjetura de geometrización, porque algunas de las piezas en la descomposición JSJ podrían no tener estructuras geométricas de volumen finito. Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura de sol de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de esto no tiene finito estructura geométrica de volumen.