Teoría de conjuntos ingenua (libro)

Vea también Teoría de conjunto Naive para el tema matemático.

Primera edición

Teoría de conjuntos ingenua es un libro de texto de matemáticas de Paul Halmos que proporciona una introducción de pregrado a la teoría de conjuntos. Publicado originalmente por Van Nostrand en 1960, se reimprimió en la serie Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics en 1974.

Si bien el título indica que es ingenuo, lo que generalmente se entiende como sin axiomas, el libro presenta todos los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC (excepto el Axioma de la Fundación) y brinda definiciones correctas y rigurosas para los objetos básicos. Donde difiere de un "verdadero" libro de teoría axiomática de conjuntos es su carácter: no hay discusiones sobre minucias axiomáticas, y no hay casi nada sobre temas avanzados como los grandes cardenales. En cambio, trata de ser inteligible para alguien que nunca antes ha pensado en la teoría de conjuntos.

Halmos afirmó más tarde que fue el libro más rápido que escribió, que le tomó alrededor de seis meses, y que el libro "escribió solo".

Ausencia del Axioma de Fundación

Como se señaló anteriormente, el libro omite el Axioma de fundamento (también conocido como Axioma de regularidad). Halmos baila repetidamente en torno a la cuestión de si un decorado puede contenerse a sí mismo o no.

• p. 1: "un conjunto también puede ser un elemento de algunos otros set" (emfasis añadido)
• p. 3: "es A{displaystyle A} ▪ A{displaystyle A} ¿Alguna vez es verdad? Ciertamente no es verdad de ningún conjunto razonable que alguien haya visto jamás."
• p. 6: "B{displaystyle B} ▪ B{displaystyle B}... improbable, pero no obviamente imposible"

Pero Halmos nos permite probar que hay ciertos conjuntos que no pueden contenerse a sí mismos.

• p. 44: Halmos nos permite probar que ⋅ ⋅ {displaystyle omega } ∉ ⋅ ⋅ {displaystyle omega }. Por si ⋅ ⋅ {displaystyle omega } ▪ ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, entonces ⋅ ⋅ {displaystyle omega } −⋅ ⋅ {displaystyle omega }} todavía sería un conjunto sucesor, porque ⋅ ⋅ {displaystyle omega } ل ∅ y ⋅ ⋅ {displaystyle omega } no es el sucesor de ningún número natural. Pero... ⋅ ⋅ {displaystyle omega } no es un subconjunto de ⋅ ⋅ {displaystyle omega } −⋅ ⋅ {displaystyle omega }}, contradiciendo la definición de ⋅ ⋅ {displaystyle omega } como subconjunto de cada conjunto sucesor.
• p. 47: Halmos demuestra la lema de que "ningún número natural es un subconjunto de cualquiera de sus elementos". Esto nos permite probar que ningún número natural puede contenerse. Por si n{displaystyle n} ▪ n{displaystyle n}, donde n{displaystyle n} es un número natural, entonces n{displaystyle n} ⊂ n{displaystyle n} ▪ n{displaystyle n}, que contradice la lema.
• p. 75: "An número ordinal se define como un conjunto bien ordenado α α {displaystyle alpha } tales que s().. )=.. {displaystyle s(xi)=xi } para todos .. {displaystyle xi } dentro α α {displaystyle alpha }; aquí s().. ){displaystyle s(xi)} es, como antes, el segmento inicial {}.. {displaystyle {eta } ▪ α α :{displaystyle alpha:} .. {displaystyle eta }. .. {displaystyle xi }}." El orden del pozo se define como sigue: si .. {displaystyle xi } y .. {displaystyle eta } son elementos de un número ordinal α α {displaystyle alpha }, entonces .. {displaystyle xi }. .. {displaystyle eta } medios .. {displaystyle xi } ▪ .. {displaystyle eta } (pp. 75-76). Por su elección del símbolo, en lugar de ≤, Halmos implica que el bien ordenado es estricto (pág. 55-56). Esta definición de < hace imposible tener .. {displaystyle xi } ▪ .. {displaystyle xi }, donde .. {displaystyle xi } es un elemento de un número ordinal. Eso es porque .. {displaystyle xi } ▪ .. {displaystyle xi } medios .. {displaystyle xi }. .. {displaystyle xi }, lo que implica .. {displaystyle xi } ل .. {displaystyle xi } (porque es estricto), lo que es imposible.
• p. 75: la definición anterior de un número de ordinal también hace imposible tener α α {displaystyle alpha } ▪ α α {displaystyle alpha }, donde α α {displaystyle alpha } es un número ordinal. Eso es porque α α {displaystyle alpha } ▪ α α {displaystyle alpha } implicación α α {displaystyle alpha } = sα α {displaystyle alpha }). Esto nos da α α {displaystyle alpha } ▪ α α {displaystyle alpha } = sα α {displaystyle alpha }) {}.. {displaystyle {eta } ▪ α α :{displaystyle alpha:} .. {displaystyle eta }. α α {displaystyle alpha }}, lo que implica α α {displaystyle alpha }. α α {displaystyle alpha }, lo que implica α α {displaystyle alpha } ل α α {displaystyle alpha } (porque es estricto), lo que es imposible.

Fe de erratas

• p. 4, línea 18: “Caín y Abel” deben ser “Seth, Cain y Abel”.
• p. 30, línea 10: "x en y" debe ser "x en y".
• p. 73, línea 19: "por cada z en X" debe ser "por cada uno en X".
• p. 75, línea 3: "si y sólo si x Iberia F(n)" debe ser "si y sólo si x = {b: S(n, b)}".