Desatar

Dos simples diagramas del no-knot

En la teoría matemática de los nudos, el un nudo, no nudo, o nudo trivial, es el menos anudado de todos los nudos. Intuitivamente, el desanudado es un lazo cerrado de cuerda sin nudo, sin anudar. Para un teórico de nudos, un desanudado es cualquier círculo topológico incrustado en la esfera 3 que es isotópico ambiental (es decir, deformable) a un círculo geométricamente redondo, el desanudado estándar.

El desnudo es el único nudo que es el límite de un disco incrustado, lo que da la caracterización de que solo los desnudos tienen el género Seifert 0. De manera similar, el desnudo es el elemento de identidad con respecto a la operación de suma de nudos.

Problema de desanudamiento

Decidir si un nudo en particular es el desanudado fue una fuerza impulsora importante detrás de las invariantes de nudos, ya que se pensó que este enfoque posiblemente proporcionaría un algoritmo eficiente para reconocer el desanudado de alguna presentación, como un diagrama de nudos. Se sabe que el reconocimiento de unknot está tanto en NP como en co-NP.

Se sabe que la homología de nudo Floer y la homología de Khovanov detectan el desanudado, pero no se sabe que sean computables eficientemente para este propósito. No se sabe si el polinomio de Jones o los invariantes de tipo finito pueden detectar el desanudamiento.

Ejemplos

Puede ser difícil encontrar una manera de desenredar una cuerda, aunque el hecho de que comenzó desenredada prueba que la tarea es posible. Thistlethwaite y Ochiai proporcionaron muchos ejemplos de diagramas de nudos que no tienen una forma obvia de simplificarlos, lo que requiere que uno aumente temporalmente el número de cruces del diagrama.

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  Thistlethwaite unknot

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  Uno de los unknots de Ochiai

Si bien la cuerda generalmente no tiene la forma de un bucle cerrado, a veces hay una forma canónica de imaginar que los extremos se unen. Desde este punto de vista, muchos nudos prácticos útiles son en realidad los desnudos, incluidos los que se pueden atar en un nudo.

Cada nudo se puede representar como un enlace, que es una colección de segmentos de línea rígidos conectados por juntas universales en sus puntos finales. El número de barra es la cantidad mínima de segmentos necesarios para representar un nudo como un vínculo, y un desanudado atascado es un vínculo particular sin anudar que no se puede reconfigurar en un polígono convexo plano. Al igual que el número de cruce, es posible que un vínculo deba hacerse más complejo al subdividir sus segmentos antes de que pueda simplificarse.

Invariantes

El polinomio de Alexander-Conway y el polinomio de Jones del desanudado son triviales:

Δ Δ ()t)=1,Silencio Silencio ()z)=1,V()q)=1.{displaystyle Delta (t)=1,quad nabla (z)=1,quad V(q)=1.}

Ningún otro nudo con 10 cruces o menos tiene un polinomio de Alexander trivial, pero el nudo de Kinoshita-Terasaka y el nudo de Conway (ambos tienen 11 cruces) tienen los mismos polinomios de Alexander y Conway que el desanudado. Es un problema abierto si cualquier nudo no trivial tiene el mismo polinomio de Jones que el nudo.

El desanudado es el único nudo cuyo grupo de nudos es un grupo cíclico infinito, y su complemento de nudo es homeomorfo a un toro sólido.