Derivada total

En matemáticas, la derivada total de una función f en un punto es la mejor forma lineal. aproximación cerca de este punto de la función con respecto a sus argumentos. A diferencia de las derivadas parciales, la derivada total se aproxima a la función con respecto a todos sus argumentos, no solo a uno. En muchas situaciones, esto equivale a considerar todas las derivadas parciales simultáneamente. El término "derivado total" se utiliza principalmente cuando f es una función de varias variables, porque cuando f es una función de una sola variable, la derivada total es la misma que la derivada ordinaria de la función.

La derivada total como un mapa lineal

Vamos. ${displaystyle Usubseteq mathbb {R} {fn}$ ser un subconjunto abierto. Entonces una función ${displaystyle f:Uto mathbb {R} {m}$ se dice que es (Totalmente) diferentes en un momento ${displaystyle ain U}$ si existe una transformación lineal ${displaystyle # Mathbb # {R} ^{n}to mathbb {R} {m}$ tales que

${displaystyle lim _{xto a}{frac {f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)f}{h tum--af}=0.}$

El mapa lineal ${displaystyle df_{a}$ se llama eltotal) derivados o (total) diferencial de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$. Otras notaciones para el derivado total incluyen ${displaystyle D_{a}f}$ y ${displaystyle Df(a)}$. Una función es (Totalmente) diferentes si su derivado total existe en cada punto de su dominio.

Conceptualmente, la definición del derivado total expresa la idea de que ${displaystyle df_{a}$ es la mejor aproximación lineal a ${displaystyle f}$ en el punto ${displaystyle a}$. Esto se puede hacer precisa cuantificando el error en la aproximación lineal determinada por ${displaystyle df_{a}$. Para hacerlo, escriba

${displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+varepsilon (h),}$

Donde ${displaystyle varepsilon (h)}$ iguala el error en la aproximación. Decir que el derivado de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$ es ${displaystyle df_{a}$ equivale a la declaración

${displaystyle varepsilon (h)=o(lVert hrVert),}$

Donde ${displaystyle o}$ es poca notación e indica que ${displaystyle varepsilon (h)}$ es mucho más pequeño que ${displaystyle lVert hr Vert$ como ${displaystyle hto 0}$. El derivado total ${displaystyle df_{a}$ es único transformación lineal para la cual el término de error es tan pequeño, y este es el sentido en el que es la mejor aproximación lineal ${displaystyle f}$.

La función ${displaystyle f}$ es diferente si y sólo si cada uno de sus componentes ${displaystyle f_{i}colon Uto mathbb {R}$ es diferente, por lo que al estudiar los derivados totales, a menudo es posible trabajar una coordinación a la vez en el codomain. Sin embargo, lo mismo no es cierto de las coordenadas en el dominio. Es verdad que si ${displaystyle f}$ es diferente en ${displaystyle a}$, entonces cada derivación parcial ${displaystyle partial f/partial x_{i}}$ existe ${displaystyle a}$. El contrario no sostiene: puede suceder que todos los derivados parciales de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$ existen, pero ${displaystyle f}$ no es diferente en ${displaystyle a}$. Esto significa que la función es muy "rough" en ${displaystyle a}$, a tal extremo que su comportamiento no puede ser descrito adecuadamente por su comportamiento en las direcciones de coordenadas. Cuando ${displaystyle f}$ no es tan duro, esto no puede suceder. Más precisamente, si todos los derivados parciales de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$ existen y son continuos en un barrio ${displaystyle a}$Entonces ${displaystyle f}$ es diferente en ${displaystyle a}$. Cuando esto sucede, entonces, además, el derivado total de ${displaystyle f}$ es la transformación lineal correspondiente a la matriz Jacobiana de derivados parciales en ese punto.

La derivada total como forma diferencial

Cuando la función que se examina es de valor real, el derivado total se puede retransmitir utilizando formas diferenciales. Por ejemplo, supongamos que ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R}$ es una función diferenciable de variables ${displaystyle x_{1},ldotsx_{n}$. El derivado total de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$ puede ser escrito en términos de su matriz Jacobiana, que en este caso es una matriz de fila:

${displaystyle Df_{a}={begin{bmatrix}{frac {partial f}{partial x_{1}} {cdots > {frac {partial f}{partial f}{partial f} {cdots > {fn}(a)end{bmatrix}}}$

La propiedad de aproximación lineal de la derivada total implica que si

${displaystyle Delta x={begin{bmatrix} Delta x_{1} golpecdots > Delta {fn} {fn} {fnMitsf}}$

es un pequeño vector ${displaystyle {Mathsf}}$ denotes transpose, para que este vector sea un vector de columna), entonces

${displaystyle f(a+Delta x)-f(a)approx Df_{a}cdot Delta x=sum _{i=1}{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}(a)cdot Delta x_{i}$

Heurísticamente, esto sugiere que si ${displaystyle dx_{1},ldotsdx_{n}$ son incrementos infinitesimal en las direcciones de coordenadas, entonces

${displaystyle Df_{a}=sum {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$

De hecho, la noción del infinitesimal, que es meramente simbólica aquí, se puede equipar con extensa estructura matemática. Técnicas, como la teoría de formas diferenciales, dan efectivamente descripciones analíticas y algebraicas de objetos como incrementos infinitesimal, ${displaystyle dx_{i}$. Por ejemplo, ${displaystyle dx_{i}$ puede ser inscrito como un funcional lineal en el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$. Evaluación ${displaystyle dx_{i}$ en un vector ${displaystyle h}$ dentro ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ medidas cuanta ${displaystyle h}$ puntos en ${displaystyle i}$Coordina la dirección. El derivado total ${displaystyle df_{a}$ es una combinación lineal de funcionalidades lineales y por lo tanto es en sí mismo un funcional lineal. La evaluación ${displaystyle df_{a}(h)}$ medidas cuanta ${displaystyle h}$ puntos en la dirección determinada por ${displaystyle f}$ a ${displaystyle a}$, y esta dirección es el gradiente. Este punto de vista hace que el derivado total sea una instancia del derivado exterior.

Supongamos ahora que ${displaystyle f}$ es una función de valor vectorial, es decir, ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} {m}$. En este caso, los componentes ${displaystyle F_{i}$ de ${displaystyle f}$ son funciones de valor real, por lo que tienen formas diferenciales asociadas ${displaystyle ♪ ♪$. El derivado total ${displaystyle df}$ amalgama estas formas en un solo objeto y es por lo tanto una instancia de una forma diferencial valorada por vectores.

La regla de la cadena para derivados totales

La regla de la cadena tiene una declaración particularmente elegante en términos de derivados totales. Dice que, para dos funciones ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$, el derivado total de la función compuesta ${displaystyle fcirc g}$ a ${displaystyle a}$ satisfizo

${displaystyle d(fcirc g)_{a}=df_{g(a)}cdot dg_{a}$

Si los derivados totales de ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ son identificados con sus matrices jacobinas, entonces el compuesto en el lado derecho es simplemente multiplicación de matriz. Esto es enormemente útil en aplicaciones, ya que permite dar cuenta de dependencias esencialmente arbitrarias entre los argumentos de una función compuesta.

Ejemplo: diferenciación con dependencias directas

Supongamos que f es una función de dos variables, x y Sí.. Si estas dos variables son independientes, de modo que el dominio de f es ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, entonces el comportamiento de f puede ser entendido en términos de sus derivados parciales en los x y Sí. direcciones. Sin embargo, en algunas situaciones, x y Sí. puede ser dependiente. Por ejemplo, podría suceder que f se limita a una curva ${displaystyle y=y(x)}$. En este caso, estamos realmente interesados en el comportamiento de la función compuesta ${displaystyle f(x,y(x)}$. El derivado parcial de f con respecto a x no da la verdadera tasa de cambio f con respecto al cambio x porque cambiar x necesariamente cambios Sí.. Sin embargo, la regla de cadena del derivado total tiene en cuenta esas dependencias. Escriba ${displaystyle gamma (x)=(x,y(x)}$. Entonces, la regla de cadena dice

${displaystyle d(fcirc gamma)_{x_{0}=df_{(x_{0},y(x_{0})}cdot dgamma - ¿Qué?$

Al expresar la derivada total usando matrices jacobianas, esto se convierte en:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}(x_{0} {0} {$