Derivada logarítmica

En matemáticas, específicamente en cálculo y análisis complejos, la derivada logarítmica de una función f se define mediante la fórmula

f.f{displaystyle {frac} {f}}}}

f.{displaystyle f'}

f.,{displaystyle f',}

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma real, valores estrictamente positivos, esto es igual a la derivada de ln(f), o el logaritmo natural de f. Esto se sigue directamente de la regla de la cadena:

ddxIn⁡ ⁡ f()x)=1f()x)df()x)dx{displaystyle {frac {dx}ln f(x)={frac {1}{f(x)}{frac {df(x)}{dx}}} {f}}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}

Propiedades básicas

Muchas propiedades del logaritmo real también se aplican a la derivada logarítmica, incluso cuando la función no toma valores en reales positivos. Por ejemplo, como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, tenemos

()log⁡ ⁡ uv).=()log⁡ ⁡ u+log⁡ ⁡ v).=()log⁡ ⁡ u).+()log⁡ ⁡ v)..{displaystyle (log uv)'=(log u+log v)'=(log u)'+(log v)'.}

()uv).uv=u.v+uv.uv=u.u+v.v.{displaystyle {frac {}{uv}={frac {u'v+uv}}={frac {u}{u}+{frac {v'} {v}}.

Un corolario de esto es que la derivada logarítmica del recíproco de una función es la negación de la derivada logarítmica de la función:

()1/u).1/u=− − u./u21/u=− − u.u,{displaystyle {frac {/u}{1/u}={frac {-u'/u^{2}{1/u}}=-{frac {u} {u}},}

De manera más general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y el divisor:

()u/v).u/v=()u.v− − uv.)/v2u/v=u.u− − v.v,{displaystyle {frac {(u/v)}{u/v}={frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={frac {u'}-{frac {v'}}}}}}}}}}}}} {f} {fnMicroc {f} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Generalizando en otra dirección, la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante) es el producto del exponente por la derivada logarítmica de la base:

()uk).uk=kuk− − 1u.uk=ku.u,{displaystyle {frac {fnMicroc}} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}} {fnK}}} {f}}}} {fnMicroc}}}} {f}}}}} {f}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {u} {u}},}

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos tienen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente y una regla de la potencia (compare la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas está relacionado mediante la derivada logarítmica.

Calcular derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas

Los derivados logarítmicos pueden simplificar la computación de derivados que requieren la regla del producto mientras producen el mismo resultado. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que f()x)=u()x)v()x){displaystyle f(x)=u(x)v(x)} y que queremos computar f.()x){displaystyle f'(x)}. En lugar de computarlo directamente como f.=u.v+v.u{displaystyle f'=u'v+v'u}, computamos su derivado logarítmico. Es decir, computamos:

f.f=u.u+v.v.{displaystyle {frac {f}}={frac} {u}{u}+{frac {v'} {v}}.

Multiplying through by ƒ computers <if′:

f.=f⋅ ⋅ ()u.u+v.v).{displaystyle f'=fcdot left({frac {u'}+{frac {v'}right).}

Esta técnica es más útil cuando ƒ es un producto de una gran cantidad de factores. Esta técnica permite calcular f′ calculando la derivada logarítmica de cada factor, sumando y multiplicando por f.

Por ejemplo, podemos calcular el derivado logarítmico de ex2()x− − 2)3()x− − 3)()x− − 1)− − 1{displaystyle e^{x^{2}(x-2)}(x-3)(x-1)^{-1} para ser 2x+3x− − 2+1x− − 3− − 1x− − 1{displaystyle 2x+{frac}{x-2}+{frac} {1}{x-3}-{frac {1}{x-1}.

Factores integrantes

La idea de la derivada logarítmica está estrechamente relacionada con el método del factor integrador para ecuaciones diferenciales de primer orden. En términos de operador, escriba

D=ddx{displaystyle D={frac {dx}}

M− − 1DM{displaystyle M^{-1}DM}

D+MAlternativa Alternativa {displaystyle D+M^{*}

MAlternativa Alternativa {displaystyle M^{*}

G.G{displaystyle {frac {G}{G}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}}} {fn}}}}}

En la práctica nos dan un operador como

D+F=L{displaystyle D+F=L

L()h)=f{displaystyle L(h)=f}

G.G=F{displaystyle {frac {fnK}=F}

exp()∫ ∫ F){displaystyle exp textstyle (int F)}

Análisis complejo

La fórmula dada se puede aplicar más ampliamente; por ejemplo, si f(z) es una función meromórfica, tiene sentido en todos los valores complejos de z en los que f no tiene ni cero ni polo. Además, en un cero o en un polo, la derivada logarítmica se comporta de una manera que se analiza fácilmente en términos del caso particular.

con n un número entero, n ≠ 0. La derivada logarítmica es entonces

n/z{displaystyle n/z}

En el campo de la teoría de Nevanlinna, un lemma importante afirma que la función de proximidad de un derivado logarítmico es pequeña con respecto a la característica de Nevanlinna de la función original, por ejemplo, m()r,h./h)=S()r,h)=o()T()r,h)){displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h)}.

El grupo multiplicativo

Detrás del uso de la derivada logarítmica se encuentran dos hechos básicos sobre GL₁, es decir, el grupo multiplicativo de números reales u otros campos. El operador diferencial

XddX{displaystyle X{frac {d}{dX}}

dxX{displaystyle {frac {dx}{X}}

dFF{displaystyle {frac {f} {f}}}

Ejemplos

• El crecimiento exponencial y la decadencia exponencial son procesos con derivación logarítmica constante.
• En las finanzas matemáticas, el griegoλ es el derivado logarítmico del precio derivado con respecto al precio subyacente.
• En el análisis numérico, el número de condición es el cambio relativo infinitesimal en la salida para un cambio relativo en la entrada, y es por lo tanto una relación de derivados logarítmicos.