Densidad de polarización

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Campo vectorial que describe la densidad de los momentos de dipolo eléctrico en un material dieléctrico

En el electromagnetismo clásico, la densidad de polarización (o polarización eléctrica, o simplemente polarización) es el campo vectorial que expresa la densidad volumétrica de la energía permanente. o momentos dipolares eléctricos inducidos en un material dieléctrico. Cuando un dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo, sus moléculas ganan un momento dipolar eléctrico y se dice que el dieléctrico está polarizado.

La polarización eléctrica de una muestra de material dieléctrico dada se define como el cociente del momento dipolar eléctrico (una cantidad vectorial, expresada como culombios*metros (C*m) en unidades SI) y el volumen (metros cúbicos). La densidad de polarización se denota matemáticamente por P; en unidades SI, se expresa en culombios por metro cuadrado (C/m²).

La densidad de polarización también describe cómo responde un material a un campo eléctrico aplicado, así como la forma en que el material cambia el campo eléctrico, y se puede utilizar para calcular las fuerzas que resultan de esas interacciones. Se puede comparar con la magnetización, que es la medida de la respuesta correspondiente de un material a un campo magnético en el magnetismo.

Al igual que los ferroimanes, que tienen una magnetización permanente distinta de cero incluso si no se aplica ningún campo magnético externo, los materiales ferroeléctricos tienen una polarización distinta de cero en ausencia de un campo eléctrico externo.

Definición

Un campo eléctrico externo que se aplica a un material dieléctrico provoca un desplazamiento de elementos cargados unidos.

Una carga unida es una carga que está asociada con un átomo o molécula dentro de un material. Se llama "encuadernado" porque no es libre de moverse dentro del material como cargas gratuitas. Los elementos con carga positiva se desplazan en la dirección del campo y los elementos con carga negativa se desplazan en dirección opuesta a la dirección del campo. Las moléculas pueden permanecer con carga neutra, pero se forma un momento dipolar eléctrico.

Para un determinado elemento de volumen ${displaystyle Delta V}$ en el material, que lleva un momento dipole ${displaystyle Delta mathbf {p} }$ , definimos la densidad de polarización $P$ :

{displaystyle mathbf {P} ={frac {Delta mathbf {p} }{Delta V}}}

En general, el momento de la dipole ${displaystyle Delta mathbf {p} }$ cambios de punto a punto dentro de la dieléctrica. Por lo tanto, la densidad de polarización $P$ de un dieléctrico dentro de un volumen infinitesimal dV con un momento de dipolo infinitesimal $d p$ es:

{displaystyle mathbf {P} ={mathrm {d} mathbf {p} over mathrm {d} V}}

()1)

La carga neta que aparece como resultado de la polarización se llama carga atada y denotada ${displaystyle Q_{b}}$ .

Esta definición de densidad de polarización como "momento dipolar por unidad de volumen" es ampliamente adoptado, aunque en algunos casos puede dar lugar a ambigüedades y paradojas.

Otras expresiones

Dejar un volumen $d V$ estar aislado dentro de la dieléctrica. Debido a la polarización de la carga atada positiva ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{+}}$ será desplazado a distancia ${displaystyle mathbf {d} }$ relativa a la carga negativa atada ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{-}}$ , dando lugar a un momento dipole ${displaystyle mathrm {d} mathbf {p} =mathrm {d} q_{b}mathbf {d} }$ . Sustitución de esta expresión en (1) rendimientos

{displaystyle mathbf {P} ={mathrm {d} q_{b} over mathrm {d} V}mathbf {d} }

Desde el cargo ${displaystyle mathrm {d} q_{b}}$ atado en el volumen $d V$ es igual a ${displaystyle rho _{b}mathrm {d} V}$ la ecuación para $P$ se convierte en:

{displaystyle mathbf {P} =rho _{b}mathbf {d} }

()2)

Donde ${displaystyle rho _{b}}$ es la densidad de la carga atada en el volumen que se examina. Está claro desde la definición anterior que las dipoles son neutrales en general y por lo tanto ${displaystyle rho _{b}}$ está equilibrada por una densidad igual de cargos opuestos dentro del volumen. Las cargas que no se equilibran son parte de la carga gratuita discutida a continuación.

Ley de Gauss para el campo de P

Para un volumen dado $V$ encerrado por una superficie $S$ , la carga atada ${displaystyle Q_{b}}$ dentro es igual al flujo de $P$ a través de $S$ tomada con el signo negativo, o

{displaystyle -Q_{b}=}

{displaystyle {scriptstyle S}}

{displaystyle mathbf {P} cdot mathrm {d} mathbf {A} }

()3)

Prueba

Dejar una superficie $S$ parte del sobre de un dieléctrico. Tras la polarización se desplazarán cargos negativos y positivos. Vamos. $d 1$ y $d 2$ ser las distancias de los cargos atados ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{-}}$ y ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{+}}$ , respectivamente, del plano formado por el elemento del área dA después de la polarización. Y deja $d V 1$ y $d V 2$ los volúmenes que se adjuntan a continuación y por encima de la zona dA.

De ahí que la carga atada negativa ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{-}=rho _{b}^{-} mathrm {d} V_{1}=rho _{b}^{-}d_{1} mathrm {d} A}$ movido de la parte exterior de la superficie dA hacia adentro, mientras que la carga atada positiva ${displaystyle mathrm {d} q_{b}^{+}=rho _{b} mathrm {d} V_{2}=rho _{b}d_{2} mathrm {d} A}$ movido de la parte interior de la superficie hacia fuera.

Por la ley de conservación de carga el cargo total de límites ${displaystyle mathrm {d} Q_{b}}$ izquierda dentro del volumen ${displaystyle mathrm {d} V}$ después de la polarización es:

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} Q_{b}&=mathrm {d} q_{text{in}}-mathrm {d} q_{text{out}}\&=mathrm {d} q_{b}^{-}-mathrm {d} q_{b}^{+}\&=rho _{b}^{-}d_{1} mathrm {d} A-rho _{b}d_{2} mathrm {d} Aend{aligned}}}

Desde

{displaystyle rho _{b}^{-}=-rho _{b}}

y (ver imagen a la derecha)

{displaystyle {begin{aligned}d_{1}&=(d-a)cos(theta)\d_{2}&=acos(theta)end{aligned}}}

La ecuación anterior se convierte

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} Q_{b}&=-rho _{b}(d-a)cos(theta) mathrm {d} A-rho _{b}acos(theta) mathrm {d} A\&=-rho _{b}d mathrm {d} Acos(theta)end{aligned}}}

Por...2) sigue que ${displaystyle rho _{b}d=P}$ Así que tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} Q_{b}&=-P mathrm {d} Acos(theta)\-mathrm {d} Q_{b}&=mathbf {P} cdot mathrm {d} mathbf {A} end{aligned}}}

Y integrando esta ecuación en toda la superficie cerrada S encontramos que

{displaystyle -Q_{b}=}

{displaystyle scriptstyle {S}}

{displaystyle mathbf {P} cdot mathrm {d} mathbf {A} }

que completa la prueba.

Forma diferencial

Por el teorema de la divergencia, la ley de Gauss para el campo P puede ser declarado en forma diferencial como:

{displaystyle -rho _{b}=nabla cdot mathbf {P}}

. P

{displaystyle rho _{b}}

Prueba

Por el teorema de la divergencia tenemos eso

{displaystyle -Q_{b}=iiint _{V}nabla cdot mathbf {P} mathrm {d} V,}

para el volumen V conteniendo la carga fija

{displaystyle Q_{b}}

. Y desde

{displaystyle Q_{b}}

es la parte integral de la densidad de carga atada

{displaystyle rho _{b}}

sobre todo el volumen V por el Secretario General S, la ecuación anterior produce

{displaystyle -iiint _{V}rho _{b} mathrm {d} V=iiint _{V}nabla cdot mathbf {P} mathrm {d} V,}

que es verdad si y sólo si

{displaystyle -rho _{b}=nabla cdot mathbf {P} }

Relación entre los campos de P y E

Dieléctricos homogéneos e isotrópicos

En un medio dieléctrico homogéneo, lineal, no dispersivo e isotrópico, la polarización está alineada y es proporcional al campo eléctrico E:

{displaystyle mathbf {P} =chi varepsilon _{0}mathbf {E}}

donde $ε 0$ es la constante eléctrica y $χ$ es la susceptibilidad eléctrica del medio. Tenga en cuenta que en este caso $χ$ simplifica a un escalar, aunque en términos más generales es un tensor. Este es un caso particular debido a la isotropía del dieléctrico.

Teniendo en cuenta esta relación entre P y E, la ecuación (3) queda:

{displaystyle -Q_{b}=chi varepsilon _{0} }

{displaystyle scriptstyle {S}}

{displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A} }

La expresión en el integral es la ley de Gauss para el campo $E$ que rinde el cargo total, ambos gratis ${displaystyle (Q_{f})}$ y límites ${displaystyle (Q_{b})}$ en el volumen $V$ por el Secretario General $S$ . Por lo tanto,

{displaystyle {begin{aligned}-Q_{b}&=chi Q_{text{total}}\&=chi left(Q_{f}+Q_{b}right)\[3pt]Rightarrow Q_{b}&=-{frac {chi }{1+chi }}Q_{f},end{aligned}}}

que se puede escribir en términos de densidades de carga gratuitas y de carga fija (considerando la relación entre los cargos, sus densidades de carga de volumen y el volumen dado):

{displaystyle rho _{b}=-{frac {chi }{1+chi }}rho _{f}}

Ya que dentro de una dieléctrica homogénea no puede haber cargos gratis ${displaystyle (rho _{f}=0)}$ , por la última ecuación sigue que no hay carga a granel en el material ${displaystyle (rho _{b}=0)}$ . Y puesto que los cargos gratuitos pueden acercarse a la dielectrica en cuanto a su superficie más alta, sigue que la polarización sólo da lugar a la densidad de carga de superficie (denotado) ${displaystyle sigma _{b}}$ para evitar la ambigüedad con la densidad de carga de volumen ${displaystyle rho _{b}}$ ).

${displaystyle sigma _{b}}$ puede estar relacionado con $P$ por la siguiente ecuación:

{displaystyle sigma _{b}=mathbf {hat {n}} _{text{out}}cdot mathbf {P} }

{displaystyle mathbf {hat {n}} _{text{out}}}

S

Dieléctricos anisotrópicos

La clase de dieléctricos donde la densidad de polarización y el campo eléctrico no están en la misma dirección se conocen como materiales anisotrópicos.

En tales materiales, el $i$ -ésimo componente de la polarización está relacionado con el $j$ -ésima componente del campo eléctrico según:

{displaystyle P_{i}=sum _{j}epsilon _{0}chi _{ij}E_{j},}

Esta relación muestra, por ejemplo, que un material puede polarizarse en la dirección x aplicando un campo en la dirección z, y así sucesivamente. El caso de un medio dieléctrico anisotrópico se describe en el campo de la óptica de cristales.

Como en la mayor parte del electromagnetismo, esta relación trata con promedios macroscópicos de los campos y la densidad de los dipolos, de modo que se tiene una aproximación continua de los materiales dieléctricos que ignora los comportamientos a escala atómica. La polarizabilidad de partículas individuales en el medio se puede relacionar con la susceptibilidad promedio y la densidad de polarización mediante la relación Clausius-Mossotti.

En general, la susceptibilidad es función de la frecuencia $ω$ del campo aplicado. Cuando el campo es una función arbitraria del tiempo $t$ , la polarización es una convolución de la transformada de Fourier de $χ (ω)$ con el $E (t)$ . Esto refleja el hecho de que los dipolos del material no pueden responder instantáneamente al campo aplicado, y las consideraciones de causalidad conducen a las relaciones Kramers-Kronig.

Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico $E$ , el medio se denomina no lineal y se describe en el campo de la óptica no lineal. Para una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no haya momentos dipolares permanentes), P suele estar dada por una serie de Taylor en $E</b$ cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

{displaystyle {frac {P_{i}}{epsilon _{0}}}=sum _{j}chi _{ij}^{(1)}E_{j}+sum _{jk}chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+sum _{jkell }chi _{ijkell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{ell }+cdots }

Donde ${displaystyle chi ^{(1)}}$ es la susceptibilidad lineal, ${displaystyle chi ^{(2)}}$ es la susceptibilidad de segundo orden (describa fenómenos tales como el efecto Pockels, rectificación óptica y segunda generación-harmónica), y ${displaystyle chi ^{(3)}}$ es la susceptibilidad de tercera orden (que describe efectos de tercera orden como el efecto Kerr y la rectificación óptica inducida por el campo eléctrico).

En materiales ferroeléctricos, no existe ninguna correspondencia uno a uno entre P y E debido a la histéresis.

Densidad de polarización en las ecuaciones de Maxwell

El comportamiento de los campos eléctricos ( $E$ , $D$ ), campos magnéticos ( $B$ , $H$ ), densidad de carga ( $ρ$ ) y densidad de corriente ( $J$ ) se describen mediante las ecuaciones de Maxwell en la materia.

Relaciones entre E, D y P

En términos de densidades de carga de volumen, gratis densidad de carga ${displaystyle rho _{f}}$ es dado por

{displaystyle rho _{f}=rho -rho _{b}}

Donde ${displaystyle rho }$ es la densidad total de carga. Al considerar la relación de cada uno de los términos de la ecuación anterior a la divergencia de sus campos correspondientes (del campo de desplazamiento eléctrico $D$ , $E$ y $P$ en ese orden), esto se puede escribir como:

{displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P}.}

Esto se conoce como la ecuación constitutiva de los campos eléctricos. Aquí $ε 0$ es la permitividad eléctrica del espacio vacío. En esta ecuación, P es el campo (negativo del) inducido en el material cuando el campo "fijo" Las cargas, los dipolos, se desplazan en respuesta al campo subyacente total E, mientras que D es el campo debido a las cargas restantes, conocido como campo "libre" cargos.

En general, $P$ varía en función de $E$ dependiendo del medio, como se describe más adelante en el artículo. En muchos problemas, es más conveniente trabajar con $D$ y los cargos gratuitos que con $E$ y el cargo total.

Por lo tanto, un medio polarizado, según el teorema de Green, se puede dividir en cuatro componentes.

La densidad de carga volumétrica fija: ${displaystyle rho _{b}=-nabla cdot mathbf {P} }$
La densidad de carga de la superficie atada: ${displaystyle sigma _{b}=mathbf {hat {n}} _{text{out}}cdot mathbf {P} }$
La densidad de carga volumétrica gratuita: ${displaystyle rho _{f}=nabla cdot mathbf {D} }$
La densidad de carga de superficie libre: ${displaystyle sigma _{f}=mathbf {hat {n}} _{text{out}}cdot mathbf {D} }$

Densidad de polarización variable en el tiempo

Cuando la densidad de polarización cambia con el tiempo, la densidad de carga ligada dependiente del tiempo crea una densidad de corriente de polarización de

{displaystyle mathbf {J} _{p}={frac {partial mathbf {P} }{partial t}}}

de modo que la densidad de corriente total que entra en las ecuaciones de Maxwell está dada por

{displaystyle mathbf {J} =mathbf {J} _{f}+nabla times mathbf {M} +{frac {partial mathbf {P} }{partial t}}}

donde J_f es la densidad de corriente de carga libre y el segundo término es la densidad de corriente de magnetización (también llamada densidad de corriente ligada), una contribución de los dipolos magnéticos a escala atómica (cuando están presentes).

Ambigüedad de polarización

Ejemplo de cómo la densidad de polarización en un cristal de vracs es ambiguo. a) Un cristal sólido. b) Al emparejar los cargos positivos y negativos de cierta manera, el cristal parece tener una polarización ascendente. c) Al emparejar los cargos de manera diferente, el cristal parece tener una polarización descendente.

Materiales cristalinos

La polarización dentro de un sólido no es, en general, únicamente definida. Debido a que un sólido grueso es periódico, uno debe elegir una célula unidad en la que computar la polarización (ver figura). En otras palabras, dos personas, Alice y Bob, mirando el mismo sólido, pueden calcular diferentes valores de PY ninguno de ellos estará equivocado. Por ejemplo, si Alice elige una célula unitaria con iones positivos en la parte superior y Bob elige la célula unitaria con iones negativos en la parte superior, su computación P vectores tendrán direcciones opuestas. Alice y Bob estarán de acuerdo en el campo eléctrico microscópico E en el sólido, pero no está de acuerdo con el valor del campo de desplazamiento ${displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} }$ .

Por otro lado, aunque el valor de P no está definido de forma única en un sólido a granel, existen variaciones en P están definidos de forma única. Si el cristal cambia gradualmente de una estructura a otra, habrá una corriente dentro de cada celda unitaria, debido al movimiento de los núcleos y los electrones. Esta corriente da como resultado una transferencia macroscópica de carga de un lado del cristal al otro y, por lo tanto, se puede medir con un amperímetro (como cualquier otra corriente) cuando se conectan cables a los lados opuestos del cristal. La integral de tiempo de la corriente es proporcional al cambio en P. La corriente se puede calcular en simulaciones por computadora (como la teoría funcional de la densidad); La fórmula de la corriente integrada resulta ser un tipo de fase de Berry.

La no unicidad de P no es problemática, porque cada consecuencia mensurable de P es de hecho una consecuencia de un cambio continuo en P >. Por ejemplo, cuando un material se coloca en un campo eléctrico E, que aumenta desde cero hasta un valor finito, las posiciones electrónica e iónica del material cambian ligeramente. Esto cambia P y el resultado es la susceptibilidad eléctrica (y por tanto la permitividad). Como otro ejemplo, cuando algunos cristales se calientan, sus posiciones electrónica e iónica cambian ligeramente, cambiando P. El resultado es piroelectricidad. En todos los casos, las propiedades de interés están asociadas a un cambio en P.

Aunque la polarización en principio no es única, en la práctica a menudo (no siempre) se define por convención de una manera específica y única. Por ejemplo, en un cristal perfectamente centrosimétrico, P es exactamente cero debido al razonamiento de simetría.

Esto se puede ver en un material piroeléctrico. Por encima de la temperatura de Curie el material no está polarizado y tiene una configuración centrosimétrica. Bajar la temperatura por debajo de la temperatura de Curie induce una transición de fase estructural que rompe la centrosimetría. La P del material crece proporcionalmente a la distorsión, permitiendo así definirla sin ambigüedades.

Materiales amorfos

Otro problema en la definición de P se relaciona con la opción arbitraria del "volumen de unidad", o más precisamente con el sistema escala. Por ejemplo, en microscópico escala un plasma se puede considerar como un gas gratis cargos, por lo tanto P debería ser cero. Al contrario, en un macroscópica escala el mismo plasma se puede describir como un medio continuo, mostrando un permiso ${displaystyle varepsilon (omega)neq 1}$ y por lo tanto una polarización neta $P ل 0$ .

Referencias y notas

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