Déficit esperado

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El déficit esperado (ES) es una medida de riesgo, un concepto utilizado en el campo de la medición del riesgo financiero para evaluar el riesgo de mercado o el riesgo crediticio de una cartera. El "déficit esperado al nivel del q%" es el rendimiento esperado de la cartera en el peor ${ estilo de visualización q %}$ de los casos. ES es una alternativa al valor en riesgo que es más sensible a la forma de la cola de la distribución de pérdidas.

El déficit esperado también se denomina valor en riesgo condicional (CVaR), valor en riesgo promedio (AVaR), pérdida de cola esperada (ETL) y supercuantil.

ES estima el riesgo de una inversión de forma conservadora, centrándose en los resultados menos rentables. Para valores altos $q$ ignora las posibilidades más rentables pero improbables, mientras que para valores pequeños $q$ se enfoca en las peores pérdidas. Por otro lado, a diferencia de la pérdida máxima descontada, incluso para valores más bajos del $q$ déficit esperado no se considera solo el resultado más catastrófico. Un valor de $q$ usado a menudo en la práctica es 5%.

El déficit esperado se considera una medida de riesgo más útil que el VaR porque es una medida espectral coherente del riesgo de la cartera financiera. Se calcula para un nivel de cuantil determinado $q$ y se define como la pérdida media del valor de la cartera dado que se produce una pérdida en el $q$ cuantil o por debajo de este.

Definicion formal

Si $Xen L^{p}({mathcal {F}})$ (un espacio Lp) es el pago de una cartera en algún momento futuro y <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43eb26b3586c8f17272d05089e2ce832c274dea" alt="0<alfa luego definimos el déficit esperado como ${displaystyle operatorname {ES}_{alpha}(X)=-{frac {1}{alpha}}int_{0}^{alpha}operatorname {VaR}_{gamma} (X),dgamma}$

donde ${ estilo de visualización nombre del operador {VaR} _ { gamma}}$ está el valor en riesgo. Esto se puede escribir de manera equivalente como ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-{frac {1}{alpha }}left(operatorname {E} [X 1_{{Xleq x_{ alfa }}}]+x_{alfa }(alfa -P[Xleq x_{alfa }])derecha)}$

donde ${displaystyle x_{alpha }=inf{xin mathbb {R}:P(Xleq x)geq alpha }}$ es el $alfa$ cuantil inferior y $1_{A}(x)={begin{casos}1&{text{si }}xen A\0&{text{otro}}end{casos}}$ es la función indicadora. La doble representación es ${displaystyle operatorname {ES}_{alpha }(X)=inf_{Qin {mathcal {Q}}_{alpha }}E^{Q}[X]}$

donde ${displaystyle {mathcal {Q}}_{alpha }}$ está el conjunto de medidas de probabilidad que son absolutamente continuas a la medida física $PAG$ tal que ${frac{dQ}{dP}}leqalpha^{-1}$ casi seguro. Tenga en cuenta que ${frac{dQ}{dP}}$ es la derivada de Radon-Nikodym $q$ con respecto a $PAG$ .

El déficit esperado se puede generalizar a una clase general de medidas de riesgo coherentes en $L^{p}$ espacios (espacio Lp) con una caracterización dual correspondiente en el $L^{q}$ espacio dual correspondiente. El dominio se puede ampliar para Corazones Orlicz más generales.

Si la distribución subyacente de $X$ es una distribución continua, entonces el déficit esperado es equivalente a la expectativa condicional de cola definida por ${displaystyle operatorname {TCE} _{alpha }(X)=E[-Xmid Xleq -operatorname {VaR} _{alpha }(X)]}$ .

De manera informal y no rigurosa, esta ecuación equivale a decir "en caso de pérdidas tan severas que ocurren solo el alfa por ciento del tiempo, cuál es nuestra pérdida promedio".

El déficit esperado también se puede escribir como una medida del riesgo de distorsión dada por la función de distorsión<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3250ae8018d7640b1b96fa63eaf3397cf0dd93b4" alt="{displaystyle g(x)={begin{cases}{frac {x}{1-alpha }}&{text{if }}0leq x

Ejemplos

Ejemplo 1. Si creemos que nuestra pérdida promedio en el peor 5 % de los resultados posibles para nuestra cartera es de 1000 EUR, entonces podríamos decir que nuestro déficit esperado es de 1000 EUR para el 5 % final.

Ejemplo 2. Considere una cartera que tendrá los siguientes valores posibles al final del período:

probabilidadde evento	valor finalde la cartera
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Ahora suponga que pagamos 100 al comienzo del período por esta cartera. Entonces la ganancia en cada caso es (valor final −100) o:

probabilidadde evento	ganancia
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

A partir de esta tabla, calculemos el déficit esperado ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {q}}$ para algunos valores de $q$ :

$q$	déficit esperado ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46. 6
40%	40
50%	32
60%	26. 6
80%	20
90%	12. 2
100%	6

Para ver cómo se calcularon estos valores, considere el cálculo de ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {0.05}}$ , la expectativa en el peor 5% de los casos. Estos casos pertenecen a (son un subconjunto de) la fila 1 de la tabla de ganancias, que tienen una ganancia de −100 (pérdida total de los 100 invertidos). El beneficio esperado para estos casos es −100.

Ahora considere el cálculo de ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {0.20}}$ , la expectativa en los peores 20 de 100 casos. Estos casos son los siguientes: 10 casos de la fila uno y 10 casos de la fila dos (tenga en cuenta que 10+10 es igual a los 20 casos deseados). Para la fila 1 hay una ganancia de −100, mientras que para la fila 2 hay una ganancia de −20. Usando la fórmula del valor esperado obtenemos ${frac {{frac {10}{100}}(-100)+{frac {10}{100}}(-20)}{frac {20}{100}}}=-60.$

Del mismo modo para cualquier valor de $q$ . Seleccionamos tantas filas comenzando desde arriba como sean necesarias para dar una probabilidad acumulativa $q$ y luego calculamos una expectativa sobre esos casos. En general, es posible que la última fila seleccionada no se use por completo (por ejemplo, en el cálculo ${ estilo de visualización - nombre del operador {ES} _ {0.20}}$ usamos solo 10 de los 30 casos por 100 proporcionados por la fila 2).

Como ejemplo final, calcule ${ estilo de visualización - nombre del operador {ES} _ {1}}$ . Esta es la expectativa sobre todos los casos, o $0.1(-100)+0.3(-20)+0.4cdot 0+0.2cdot 50=-6.,$

El valor en riesgo (VaR) se proporciona a continuación para comparar.

$q$	$nombre del operador {VaR} _{q}$
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea9fd6c0a0c46f0589981ef72219e9b532e54ab" alt="{displaystyle 0%leqq	−100
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfb6c97ccc748a6d45b61b455665a95883b2052" alt="{displaystyle 10%leqq	−20
<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df59a91de55107e6f2dfc248db8b21013c9aff0" alt="{displaystyle 40%leqq	0
${displaystyle 80%leq qleq 100%}$	50

Propiedades

El déficit esperado ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {q}}$ aumenta a medida que $q$ disminuye.

El déficit esperado del cuantil del 100 % es ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {1}}$ igual al valor esperado de la cartera negativo.

Para una cartera determinada, el déficit esperado ${ estilo de visualización nombre del operador {ES} _ {q}}$ es mayor o igual que el Valor en Riesgo $nombre del operador {VaR} _{q}$ al mismo $q$ nivel.

Optimización del déficit esperado

Se sabe que el déficit esperado, en su forma estándar, conduce a un problema de optimización generalmente no convexo. Sin embargo, es posible transformar el problema en un programa lineal y encontrar la solución global. Esta propiedad hace que el déficit esperado sea la piedra angular de las alternativas a la optimización de cartera de media-varianza, que explican los momentos más altos (p. ej., asimetría y curtosis) de una distribución de rendimiento.

Supongamos que queremos minimizar el déficit esperado de una cartera. La contribución clave de Rockafellar y Uryasev en su artículo de 2000 es introducir la función auxiliar ${displaystyle F_{alpha }(w,gamma)}$ para el déficit esperado:

{displaystyle F_{alpha }(w,gamma)=gamma +{1 over {1-alpha }}int _{ell (w,x)geq gamma }left[ell (w,x)-gammaright]p(x),dx}

Donde ${ estilo de visualización gamma = nombre del operador {VaR} _ { alfa} (X)}$ y ${ estilo de visualización ell (w, x)}$ es una función de pérdida para un conjunto de ponderaciones de cartera ${displaystyle wen mathbb {R} ^{p}}$ que se aplicará a los rendimientos. Rockafellar/Uryasev demostraron que ${displaystyle F_{alpha }(w,gamma)}$ es convexo con respecto $gama$ y es equivalente al déficit esperado en el punto mínimo. Para calcular numéricamente el déficit esperado para un conjunto de rendimientos de cartera, es necesario generar $j$ simulaciones de los componentes de la cartera; esto se hace a menudo usando cópulas. Con estas simulaciones en la mano, la función auxiliar se puede aproximar por:

{displaystyle {widetilde {F}}_{alpha }(w,gamma)=gamma +{1 over {(1-alpha)J}}sum _{j=1}^{J }[ell (w,x_{j})-gamma ]_{+}}

Esto es equivalente a la formulación:

{displaystyle min _{gamma,z,w};gamma +{1 over {(1-alpha)J}}sum _{j=1}^{J}z_{j}, quad {text{st}}z_{j}geq ell (w,x_{j})-gamma,;z_{j}geq 0}

Finalmente, elegir una función de pérdida lineal ${displaystyle ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$ convierte el problema de optimización en un programa lineal. Usando métodos estándar, es fácil encontrar la cartera que minimice el déficit esperado.

Fórmulas para distribuciones de probabilidad continuas

Existen fórmulas de forma cerrada para calcular el déficit esperado cuando el pago de una cartera $X$ o una pérdida correspondiente ${ estilo de visualización L = -X}$ sigue una distribución continua específica. En el primer caso, el déficit esperado corresponde al número opuesto de la expectativa condicional de cola izquierda a continuación ${displaystyle -operatorname {VaR} _{alpha }(X)}$ : ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=E[-Xmid Xleq -operatorname {VaR} _{alpha }(X)]=-{frac {1}{ alpha }}int _{0}^{alpha }operatorname {VaR} _{gamma }(X),dgamma =-{frac {1}{alpha }}int_{ -infty }^{-nombre del operador {VaR} _{alpha }(X)}xf(x),dx.}$

Los valores típicos de ${ estilo de texto alfa}$ en este caso son 5% y 1%.

Para aplicaciones de ingeniería o actuariales, es más común considerar la distribución de pérdidas ${ estilo de visualización L = -X}$ , el déficit esperado en este caso corresponde a la expectativa condicional de cola derecha anterior ${ estilo de visualización nombre del operador {VaR} _ { alfa} (L)}$ y los valores típicos de $alfa$ son 95% y 99%: ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)=operatorname {E} [Lmid Lgeq operatorname {VaR} _{alpha }(L)]={frac {1} {1-alpha }}int _{alpha }^{1}operatorname {VaR} _{gamma }(L)dgamma ={frac {1}{1-alpha }}int _{nombre del operador {VaR}_{alfa}(L)}^{+infty}yf(y),dy.}$

Dado que algunas fórmulas a continuación se derivaron para el caso de la cola izquierda y algunas para el caso de la cola derecha, las siguientes conciliaciones pueden ser útiles: ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-{frac {1}{alpha }}operatorname {E} [X]+{frac {1-alpha }{alpha }}nombre de operador {ES} _ {alpha }(L){text{ y }}nombre de operador {ES}_{alpha }(L)={frac {1}{1-alpha }} nombre del operador {E} [L]+{frac {alpha }{1-alpha }}nombre del operador {ES} _{alpha }(X).}$

Distribución normal

Si el pago de una cartera $X$ sigue una distribución normal (gaussiana) con la pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}e^{-{frac {(x-mu)^{2}}{2 sigma^{2}}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-mu +sigma {frac {varphi (Phi ^{-1}(alpha))}{alpha }}}$ , donde ${displaystyle varphi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {x^{2}}{2}}}}$ es la pdf normal estándar, $fi (x)$ es la cdf normal estándar, y también lo ${ estilo de visualización Phi ^ {-1} ( alfa)}$ es el cuantil normal estándar.

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue una distribución normal, el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)=mu +sigma {frac {varphi (Phi ^{-1}(alpha))}{alpha }}}$ .

Distribución t de Student generalizada

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución t de Student generalizada con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {Gamma left({frac {nu +1}{2}}right)}{Gamma left({frac {nu }{2} }right){sqrt {pi nu }}sigma }}left(1+{frac {1}{nu }}left({frac {x-mu }{sigma } }right)^{2}right)^{-{frac {nu +1}{2}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=mu +sigma {frac {nu +(mathrm {T} ^{-1}(alpha))^{2}} {nu -1}}{frac {tau (mathrm {T} ^{-1}(alpha))}{1-alpha }}}$ , donde ${displaystyle tau (x)={frac {Gamma {bigl (}{frac {nu +1}{2}}{bigr)}}{Gamma {bigl (}{frac {nu }{2}}{bigr)}{sqrt {pi nu }}}}{Bigl (}1+{frac {x^{2}}{nu }}{Bigr)}^{-{frac{nu +1}{2}}}}$ es el pdf de distribución t estándar, ${ estilo de visualización mathrm {T} (x)}$ es el cdf de distribución t estándar, también lo ${ estilo de visualización matemáticas {T} ^ {-1} ( alfa)}$ es el cuantil de distribución t estándar.

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución t de Student generalizada, el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)=mu +sigma {frac {nu +(mathrm {T} ^{-1}(alpha))^{2}} {nu -1}}{frac {tau (mathrm {T} ^{-1}(alpha))}{1-alpha }}}$ .

Distribución de Laplace

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución de Laplace con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{2b}}e^{-|x-mu |/b}}$

y el CDF<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc74653846f1e6243ac2db148976eee1393f69e" alt="{displaystyle F(x)={begin{casos}1-{frac {1}{2}}e^{-(x-mu)/b}&{text{if }}xgeq mu,\[4pt]{frac {1}{2}}e^{(x-mu)/b}&{text{if }}x

entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-mu +b(1-ln 2alpha)}$ para ${ estilo de visualización alfa leq 0.5}$ .

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Laplace, el déficit esperado es igual a<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84aa79aa5d69bffbaf45a3a9bbaa69ef8869cfa" alt="{displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={begin{cases}mu +b{frac {alpha }{1-alpha }}(1-ln 2alpha) &{text{si}}alpha

Distribución logística

Si el pago de una cartera $X$ sigue una distribución logística con la pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{s}}e^{-{frac {x-mu }{s}}}left(1+e^{-{frac {x -mu }{s}}}right)^{-2}}$ y la cdf ${displaystyle F(x)=left(1+e^{-{frac {x-mu }{s}}}right)^{-1}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-mu +sln {frac {(1-alpha)^{1-{frac {1}{alpha }}} {alfa}}}$ .

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue una distribución logística, el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)=mu +s{frac {-alpha ln alpha -(1-alpha)ln(1-alpha)}{1 -alfa }}}$ .

Distribución exponencial

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue una distribución exponencial con la pdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e247c3fa1a3f845592205b2e0bcd5942a084191c" alt="{displaystyle f(x)={begin{casos}lambda e^{-lambda x}&{text{if }}xgeq 0,\0&{text{if }}xy la cdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d45e230a53ddf98bee7bc641faca5d5b242fd06" alt="{displaystyle F(x)={begin{casos}1-e^{-lambda x}&{text{if }}xgeq 0,\0&{text{if }}x, entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={frac {-ln(1-alpha)+1}{lambda }}}$ .

Distribución de Pareto

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Pareto con la pdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311a5fc66e752a05bc99da95e80bef433dcf36ee" alt="{displaystyle f(x)={begin{casos}{frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{text{if }}xgeq x_{ m},\0&{text{si}}xy la cdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95459d63616cf2a93b23c2bd5e814f52f8f106c2" alt="{displaystyle F(x)={begin{casos}1-(x_{m}/x)^{a}&{text{if }}xgeq x_{m},\0&{text {si}}x, entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={frac {x_{m}a}{(1-alpha)^{1/a}(a-1)}}}$ .

Distribución generalizada de Pareto (GPD)

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue GPD con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{s}}left(1+{frac {xi (x-mu)}{s}}right)^{left(-{ frac{1}{xi}}-1derecha)}}$

y el CDF ${displaystyle F(x)={begin{cases}1-left(1+{frac {xi (x-mu)}{s}}right)^{-1/xi }& {text{si}}xi neq 0,\1-exp left(-{frac {x-mu }{s}}right)&{text{si}}xi = 0.end{casos}}}$

entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={begin{cases}mu +sleft[{frac {(1-alpha)^{-xi }}{1- xi }}+{frac {(1-alpha)^{-xi }-1}{xi }}right]&{text{if }}xi neq 0,\mu +sleft[1-ln(1-alpha)right]&{text{si }}xi =0,end{casos}}}$

y el VaR es igual a ${displaystyle operatorname {VaR} _{alpha }(L)={begin{casos}mu +s{frac {(1-alpha)^{-xi }-1}{xi } }&{text{si}}xi neq 0,\mu -sln(1-alpha)&{text{si}}xi =0.end{casos}}}$

Distribución Weibull

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue la distribución de Weibull con la pdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce9efde168257d0f47b137bb40af25a1eccfcd8" alt="{displaystyle f(x)={begin{casos}{frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }}right)^{k-1}e^ {-(x/lambda)^{k}}&{text{si}}xgeq 0,\0&{text{si}}xy la cdf <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3760c8abb92150f6c5f8e15456f248e489fd79" alt="{displaystyle F(x)={begin{casos}1-e^{-(x/lambda)^{k}}&{text{if }}xgeq 0,\0&{text {si}}x, entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={frac {lambda {1-alpha }}Gamma left(1+{frac {1}{k}},- ln(1-alpha)right)}$ , donde $gamma (s,x)$ es la función gamma incompleta superior.

Distribución generalizada de valores extremos (GEV)

Si el pago de una cartera $X$ sigue a GEV con el pdf ${displaystyle f(x)={begin{casos}{frac {1}{sigma }}left(1+xi {frac {x-mu }{sigma }}right)^ {-{frac {1}{xi }}-1}exp left[-left(1+xi {frac {x-mu }{sigma }}right)^{-{ 1}/{xi }}right]&{text{if }}xi neq 0,\{frac {1}{sigma }}e^{-{frac {x-mu }{sigma }}}e^{-e^{-{frac {x-mu }{sigma }}}}&{text{si}}xi =0.end{casos}} }$ y el cdf ${displaystyle F(x)={begin{casos}exp left(-left(1+xi {frac {x-mu }{sigma }}right)^{-{1} /{xi }}right)&{text{if }}xi neq 0,\exp left(-e^{-{frac {x-mu }{sigma }}} right)&{text{si}}xi =0.end{casos}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)={begin{cases}-mu -{frac {sigma }{alpha xi }}{big [}Gamma (1 -xi,-ln alpha)-alpha {big ]}&{text{if }}xi neq 0,\-mu -{frac {sigma }{alpha }} {big [}{text{li}}(alpha)-alpha ln(-ln alpha){big ]}&{text{if }}xi =0.end{casos }}}$ y el VaR es igual a ${displaystyle operatorname {VaR} _{alpha }(X)={begin{cases}-mu -{frac {sigma }{xi }}left[(-ln alpha)^ {-xi }-1right]&{text{if }}xi neq 0,\-mu +sigma ln(-ln alpha)&{text{if }} xi =0.end{casos}}}$ , donde $gamma (s,x)$ es la función gamma incompleta superior, ${displaystyle mathrm {li} (x)=int {frac {dx}{ln x}}}$ es la función integral logarítmica.

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue a GEV, entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)={begin{cases}mu +{frac {sigma }{(1-alpha)xi }}{bigl [} gamma (1-xi,-ln alpha)-(1-alpha){bigr ]}&{text{if }}xi neq 0,\mu +{frac {sigma }{1-alpha }}{bigl [}y-{text{li}}(alpha)+alpha ln(-ln alpha){bigr ]}&{text{if } }xi =0.end{casos}}}$ , donde ${ estilo de visualización gamma (s, x)}$ es la función gamma incompleta inferior, $y$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Distribución secante hiperbólica generalizada (GHS)

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución GHS con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{2sigma }}operatorname {sech} left({frac {pi }{2}}{frac {x-mu }{ sigma }}derecho)}$ y el cdf ${displaystyle F(x)={frac {2}{pi }}arctan left[exp left({frac {pi }{2}}{frac {x-mu }{ sigma }}derecho)derecho]}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-mu -{frac {2sigma }{pi }}ln left(tan {frac {pi alpha } {2}}right)-{frac {2sigma }{pi ^{2}alpha }}ileft[operatorname {Li} _{2}left(-itan {frac {pi alpha {2}}right)-operatorname {Li} _{2}left(itan {frac {pi alpha }{2}}right)right]}$ , donde ${ estilo de visualización nombre del operador {Li} _ {2}}$ es la función de Spence, $i=raíz cuadrada{-1}$ es la unidad imaginaria.

Distribución SU de Johnson

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución SU de Johnson con la cdf ${displaystyle F(x)=Phi left[gamma +delta sinh ^{-1}left({frac {x-xi }{lambda }}right)right]}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-xi -{frac {lambda}{2alpha }}left[exp left({frac {1-2 gamma delta }{2delta ^{2}}}right);Phi left(Phi ^{-1}(alpha)-{frac {1}{delta }}right) -exp left({frac {1+2gamma delta }{2delta ^{2}}}right);Phi left(Phi ^{-1}(alpha)+ {frac {1}{delta}}derecha)derecha]}$ , donde $Fi$ es la cdf de la distribución normal estándar.

Distribución de rebabas tipo XII

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución de Burr tipo XII con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {ck}{beta }}left({frac {x-gamma }{beta }}right)^{c-1}left[1+ left({frac {x-gamma}{beta}}right)^{c}right]^{-k-1}}$ y el cdf ${displaystyle F(x)=1-left[1+left({frac {x-gamma }{beta }}right)^{c}right]^{-k}}$ , el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-gamma -{frac {beta }{alpha }}left((1-alpha)^{-1/k}- 1right)^{1/c}left[alpha -1+{_{2}F_{1}}left({frac {1}{c}},k;1+{frac { 1}{c}};1-(1-alpha)^{-1/k}right)right]}$ , donde $_ {2}F_{1}$ es la función hipergeométrica. Alternativamente, ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-gamma -{frac {beta }{alpha }}{frac {ck}{c+1}}left((1 -alpha)^{-1/k}-1right)^{1+{frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}left(1+{frac { 1}{c}},k+1;2+{frac {1}{c}};1-(1-alpha)^{-1/k}right)}$ .

Distribución de dagum

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución de Dagum con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {ck}{beta }}left({frac {x-gamma }{beta }}right)^{ck-1}left[1+ left({frac {x-gamma}{beta}}right)^{c}right]^{-k-1}}$ y el cdf ${displaystyle F(x)=left[1+left({frac {x-gamma }{beta }}right)^{-c}right]^{-k}}$ , el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=-gamma -{frac {beta }{alpha }}{frac {ck}{ck+1}}left(alpha ^{-1/k}-1right)^{-k-{frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}left(k+1,k+{frac { 1}{c}};k+1+{frac {1}{c}};-{frac {1}{alpha ^{-1/k}-1}}right)}$ , donde $_ {2}F_{1}$ es la función hipergeométrica.

Distribución lognormal

Si el pago de una cartera $X$ sigue una distribución lognormal, es decir, la variable aleatoria ${ estilo de visualización ln (1 + X)}$ sigue una distribución normal con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}e^{-{frac {(x-mu)^{2}}{2 sigma^{2}}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=1-exp left(mu +{frac {sigma ^{2}}{2}}right){frac { Phi left(Phi ^{-1}(alpha)-sigma right)}{alpha }}}$ , donde $fi (x)$ es la cdf normal estándar, también lo ${ estilo de visualización Phi ^ {-1} ( alfa)}$ es el cuantil normal estándar.

Logística de distribución

Si el pago de una cartera $X$ sigue una distribución log-logística, es decir, la variable aleatoria ${ estilo de visualización ln (1 + X)}$ sigue una distribución logística con la fdp ${displaystyle f(x)={frac {1}{s}}e^{-{frac {x-mu }{s}}}left(1+e^{-{frac {x -mu }{s}}}right)^{-2}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=1-{frac {e^{mu }}{alpha }}I_{alpha }(1+s,1-s){ frac {pi s}{sin pi s}}}$ , donde ${ Displaystyle I_ { alfa}}$ es la función beta incompleta regularizada, ${displaystyle I_{alpha }(a,b)={frac {mathrm {B} _{alpha }(a,b)}{mathrm {B} (a,b)}}}$ .

Como la función beta incompleta se define solo para argumentos positivos, para un caso más genérico, el déficit esperado se puede expresar con la función hipergeométrica: ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=1-{frac {e^{mu}alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1 }}(s,s+1;s+2;alfa)}$ .

Si la pérdida de una cartera $L$ sigue una distribución log-logística con pdf ${displaystyle f(x)={frac {{frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{ 2}}}}$ y cdf ${displaystyle F(x)={frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(L)={frac {a}{1-alpha }}left[{frac {pi }{b}}csc left({ frac {pi }{b}}right)-mathrm {B} _{alpha }left({frac {1}{b}}+1,1-{frac {1}{b }}bien bien]}$ , donde ${ estilo de visualización B_ { alfa}}$ es la función beta incompleta.

Distribución de Log-Laplace

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución log-Laplace, es decir, la variable aleatoria ${ estilo de visualización ln (1 + X)}$ sigue la distribución de Laplace, la pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{2b}}e^{-{frac {|x-mu |}{b}}}}$ , entonces el déficit esperado es igual a 0.5.end{casos}}}">.

Distribución de secante hiperbólica generalizada logarítmica (log-GHS)

Si el pago de una cartera $X$ sigue la distribución log-GHS, es decir, la variable aleatoria ${ estilo de visualización ln (1 + X)}$ sigue la distribución GHS con el pdf ${displaystyle f(x)={frac {1}{2sigma }}operatorname {sech} left({frac {pi }{2}}{frac {x-mu }{ sigma }}derecho)}$ , entonces el déficit esperado es igual a ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }(X)=1-{frac {1}{alpha (sigma +{pi /2})}}left(tan {frac { pi alpha }{2}}exp {frac {pi mu }{2sigma }}right)^{2sigma /pi }tan {frac {pi alpha }{ 2}}{_{2}F_{1}}left(1,{frac {1}{2}}+{frac {sigma }{pi }};{frac {3}{2 }}+{frac {sigma }{pi }};-tan left({frac {pi alpha }{2}}right)^{2}right)}$ , donde $_ {2}F_{1}$ es la función hipergeométrica.

Déficit esperado dinámico

La versión condicional del déficit esperado en el tiempo t está definida por ${displaystyle operatorname {ES} _{alpha }^{t}(X)=operatorname {esssup } _{Qin {mathcal {Q}}_{alpha }^{t}} E^{Q}[-Xmid {mathcal {F}}_{t}]}$

donde ${displaystyle {mathcal {Q}}_{alpha }^{t}=left{Q=P,vert_{{mathcal {F}}_{t}}:{frac { dQ}{dP}}leq alpha _{t}^{-1}{text{ as}}right}}$ _

Esta no es una medida de riesgo consistente en el tiempo. La versión consistente en el tiempo está dada por ${displaystyle rho _{alpha }^{t}(X)=operatorname {esssup } _{Qin {tilde {mathcal {Q}}}_{alpha }^{t} }E^{Q}[-Xmid {mathcal {F}}_{t}]}$

tal que ${displaystyle {tilde {mathcal {Q}}}_{alpha }^{t}=left{Qll P:operatorname {E} left[{frac {dQ}{dP} }mid {mathcal {F}}_{tau +1}right]leq alpha _{t}^{-1}operatorname {E} left[{frac {dQ}{dP} }mid {mathcal {F}}_{tau }right];forall tau geq t{text{as}}right}.}$

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