Decimal

El sistema de numeración decimal (también llamado sistema de numeración posicional base-diez y denario o decanario) es el sistema estándar para denotar números enteros y no enteros. Es la extensión a números no enteros del sistema numérico hindú-árabe. La forma de denotar números en el sistema decimal a menudo se denomina notación decimal.

Un número decimal (a menudo también decimal o, menos correctamente, número decimal), se refiere generalmente a la notación de un número en el sistema numérico decimal. A veces, los decimales pueden identificarse con un separador decimal (generalmente "." o "," como en 25.9703 o 3,1415). Decimal también puede referirse específicamente a los dígitos después del separador decimal, como en "3.14 es la aproximación de π a dos decimales". Los dígitos cero después de un separador decimal sirven para indicar la precisión de un valor.

Los números que se pueden representar en el sistema decimal son las fracciones decimales. Es decir, fracciones de la forma a/10ⁿ, donde a es un número entero y n es un número entero no negativo.

El sistema decimal se ha extendido a decimales infinitos para representar cualquier número real, utilizando una secuencia infinita de dígitos después del separador decimal (ver representación decimal). En este contexto, los números decimales con un número finito de dígitos distintos de cero después del separador decimal a veces se denominan decimales terminales. Un decimal periódico es un decimal infinito que, después de algún lugar, repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (por ejemplo, 5.123144144144144... = 5.123144). Un decimal infinito representa un número racional, el cociente de dos enteros, si y solo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.

Origen

Diez dígitos en dos manos, el posible origen de la conteo decimal

Muchos sistemas numéricos de civilizaciones antiguas usan el diez y sus poderes para representar números, posiblemente porque hay diez dedos en dos manos y la gente empezó a contar con los dedos. Los ejemplos son primero los números egipcios, luego los números Brahmi, los números griegos, los números hebreos, los números romanos y los números chinos. Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos antiguos sistemas numéricos, y solo los mejores matemáticos podían multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron por completo con la introducción del sistema numérico hindú-árabe para representar números enteros. Este sistema se ha ampliado para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales, para formar el sistema numérico decimal.

Notación decimal

Para escribir números, el sistema decimal usa diez dígitos decimales, una marca decimal y, para números negativos, un signo menos "−". Los dígitos decimales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; el separador decimal es el punto "." en muchos países (principalmente de habla inglesa), y una coma "," en otros países.

Para representar un número no negativo, un número decimal consta de

• o una secuencia (finita) de dígitos (como "2017"), donde toda la secuencia representa un entero,

  ${displaystyle a_{m}a_{m-1}ldots A_{0}$

• o una marca decimal que separa dos secuencias de dígitos (como "20.70828")

${displaystyle a_{m}a_{m-1}ldots a_{0}.b_{1}b_{2}ldots B_{n}$.

Si m > 0, es decir, si la primera secuencia contiene al menos dos dígitos, generalmente se asume que el primer dígito a_m no es cero. En algunas circunstancias, puede ser útil tener uno o más 0 a la izquierda; esto no cambia el valor representado por el decimal: por ejemplo, 3.14 = 03.14 = 003.14. De manera similar, si el dígito final a la derecha de la marca decimal es cero, es decir, si b_n = 0: se puede eliminar; a la inversa, se pueden agregar ceros finales después de la marca decimal sin cambiar el número representado; por ejemplo, 15 = 15,0 = 15,00 y 5,2 = 5,20 = 5,200.

Para representar un número negativo, se coloca un signo menos antes de a_m.

El numeral ${displaystyle a_{m}a_{m-1}ldots a_{0}.b_{1}b_{2}ldots B_{n}$ representa el número

${displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+cdots +a_{0}10^{0}+{frac {B_{1}{10}}}+{frac} {b_{2}{10^{2}}}+cdots +{frac {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$.

La parte entera o parte entera de un número decimal es el número entero escrito a la izquierda del separador decimal (ver también truncamiento). Para un número decimal no negativo, es el entero más grande que no es mayor que el decimal. La parte del separador decimal a la derecha es la parte fraccionaria, que es igual a la diferencia entre el numeral y su parte entera.

Cuando la parte entera de un numeral es cero, puede ocurrir, típicamente en computación, que la parte entera no se escriba (por ejemplo, .1234, en lugar de < abarcan clase="texhtml">0.1234). En la escritura normal, esto generalmente se evita debido al riesgo de confusión entre el signo decimal y otros signos de puntuación.

En resumen, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el numeral. Es decir, el sistema decimal es un sistema numérico posicional.

Fracciones decimales

fracciones decimales (A veces se llama números decimales, especialmente en contextos que implican fracciones explícitas) son los números racionales que se pueden expresar como una fracción cuyo denominador es un poder de diez. Por ejemplo, los decimales ${displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$ representan las fracciones 4/5, 1489/100, 79/100000, +809/500 y +314159/100000, y por lo tanto son números decimales.

Más generalmente, un decimal con n dígitos después del separador (un punto o una coma) representa la fracción con denominador 10ⁿ, cuyo numerador es el entero obtenido al quitar el separador.

Se sigue que un número es una fracción decimal si y solo si tiene una representación decimal finita.

Expresados como una fracción totalmente reducida, los números decimales son aquellos cuyo denominador es un producto de una potencia de 2 y una potencia de 5. Así, los denominadores más pequeños de los números decimales son

${displaystyle {2}cdot 5}cdot 5}cdot 5}cdot 5^t,8=2^{3}cdot 5^{0},5=2^{0}cdot 5^=0}cdot 5^t=2^t}cdot 5^ {0} {0}{0} {0} {2}{0} {0} {0} {0}$

Aproximación de números reales

Los números decimales no permiten una representación exacta de todos los números reales, p. para el número real π. Sin embargo, permiten aproximar cada número real con la precisión deseada, por ejemplo, el decimal 3.14159 aproxima el real π, siendo menor que 10 ⁻⁵ apagado; por lo tanto, los decimales se usan ampliamente en la ciencia, la ingeniería y la vida cotidiana.

Más precisamente, para cada número real x y cada entero positivo n, hay dos decimales L y < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u con como máximo n dígitos después de la marca decimal tal que L ≤ x ≤ u y (u − L) = 10⁻ⁿ.

Muy a menudo, los números se obtienen como resultado de la medición. Como las mediciones están sujetas a la incertidumbre de medición con un límite superior conocido, el resultado de una medición está bien representado por un decimal con n dígitos después del decimal marca, tan pronto como el error de medición absoluto esté acotado desde arriba por 10⁻ⁿ. En la práctica, los resultados de las mediciones a menudo se dan con un cierto número de dígitos después del punto decimal, que indican los límites del error. Por ejemplo, aunque 0,080 y 0,08 denotan el mismo número, el número decimal 0,080 sugiere una medida con un error inferior a 0,001, mientras que el número 0,08 indica un error absoluto limitado por 0,01. En ambos casos, el valor real de la cantidad medida podría ser, por ejemplo, 0,0803 o 0,0796 (ver también cifras significativas).

Expansión decimal infinita

Para un número real x y un número entero n ≥ 0, deje que [x]_n denote el (finito) expansión decimal del mayor número que no es mayor que x que tiene exactamente n dígitos después de la marca decimal. Sea d_i el último dígito de [ x]_i. Es sencillo ver que [x]_n se puede obtener agregando d_n a la derecha de [x ]_n−1. De esta manera uno tiene

[x]_n =x]₀.d₁d₂...d_n−1d_n,

y la diferencia de [x]_n−1 y [x]_n asciende a

${displaystyle leftvert left[xright]_{n}-left[xright]_{n-1}rightvert =d_{n}cdot 10^{-n} 10^{-n+1}$,

que es 0, si d_n = 0, o se vuelve arbitrariamente pequeño n tiende a la infinidad. Según la definición de un límite, x es el límite [x]_n cuando n tiende a la infinidad. Esto está escrito como${textstyle ;x=lim _{nrightarrow infty }[x]_{n};}$o

x =x]₀.d₁d₂...d_n...,

que se llama una expansión decimal infinita de x.

Por el contrario, para cualquier entero [x]₀ y cualquier secuencia de dígitos${textstyle ;(d_{n}_{n=1}{infty}$ la expresión (infinita) [x]₀.d₁d₂...d_n... es un infinita expansión decimal de un número real x. Esta expansión es única d_n son iguales a 9 ni todos d_n son iguales a 0 para n lo suficientemente grande (para todos) n mayor que un número natural N).

Si todo d_n para n ■ N iguales a 9 y [x]_n =x]₀.d₁d₂...d_n, el límite de la secuencia${textstyle ;(x]_{n}_{n=1}{infty }$ es la fracción decimal obtenida sustituyendo el último dígito que no es un 9, es decir: d_N, por d_N + 1, y reemplazar todos los 9s posteriores por 0s (ver 0.999...).

Cualquier fracción decimal, es decir: d_n = 0 para n > N, se puede convertir a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando d_N por d_N − 1 y reemplazando todos 0s subsiguientes por 9s (ver 0.999...).

En resumen, cada número real que no es una fracción decimal tiene una única expansión decimal infinita. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas, una que contiene solo ceros después de algún lugar, que se obtiene mediante la definición anterior de [x] _n, y el otro que contiene solo 9 después de algún lugar, que se obtiene definiendo [x] _n como el mayor número que es menor que x, con exactamente n dígitos después de la marca decimal.

Números racionales

La división larga permite calcular la expansión decimal infinita de un número racional. Si el número racional es una fracción decimal, la división finalmente se detiene, produciendo un número decimal, que puede prolongarse en una expansión infinita agregando una cantidad infinita de ceros. Si el número racional no es una fracción decimal, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, como todos los residuos sucesivos son menores que el divisor, solo hay un número finito de posibles residuos, y después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos debe repetirse indefinidamente en el cociente. Es decir, uno tiene un decimal periódico. Por ejemplo,

1/81 = 0.012345679012... (con el grupo 012345679 repitiendo indefinidamente).

Lo contrario también es cierto: si, en algún punto de la representación decimal de un número, la misma cadena de dígitos comienza a repetirse indefinidamente, el número es racional.

o, dividiendo el numerador y el denominador por 6, 692 //span>1665.

Cálculo de decimales

Diagrama de la tabla de multiplicación más antigua del mundo (c.305 BCE) del período de Warring States

La mayoría de los sistemas informáticos modernos de hardware y software suelen utilizar internamente una representación binaria (aunque muchas de las primeras computadoras, como la ENIAC o la IBM 650, utilizaban internamente la representación decimal). Para uso externo de especialistas en computación, esta representación binaria a veces se presenta en los sistemas octales o hexadecimales relacionados.

Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, los valores binarios se convierten a o desde los valores decimales equivalentes para la presentación o entrada de humanos; los programas de computadora expresan literales en decimal por defecto. (123.1, por ejemplo, está escrito como tal en un programa de computadora, aunque muchos lenguajes de computadora no pueden codificar ese número con precisión).

Tanto el hardware como el software de la computadora también usan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y hacer operaciones aritméticas. A menudo, esta aritmética se realiza en datos que se codifican utilizando alguna variante de decimal codificado en binario, especialmente en implementaciones de bases de datos, pero hay otras representaciones decimales en uso (incluido el punto flotante decimal, como en las revisiones más recientes del estándar IEEE 754 para flotante- aritmética de puntos).

La aritmética decimal se utiliza en computadoras para que los resultados decimales fraccionados de añadir (o restar) valores con una longitud fija de su parte fraccional siempre se computan a esta misma longitud de precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, requiriendo en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña para el mantenimiento de libros. Esto no es posible en binario, porque los poderes negativos ${displaystyle 10}$ no tienen representación fraccional binaria finita; y es generalmente imposible para la multiplicación (o división). Ver aritmética de precisión arbitraria para cálculos exactos.

Historia

La primera tabla de multiplicación decimales del mundo fue hecha de bambú deslizamientos, que datan del 305 a.C., durante el período de Estados Warring en China.

Muchas culturas antiguas calculaban con números basados en diez, a veces discutidos debido a que las manos humanas normalmente tenían diez dedos/dígitos. Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo (c. 3300–1300 BCE) se basaron en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, mientras que su gobernante estandarizado: el gobernante Mohenjo-daro< /i> – se dividió en diez partes iguales. Los jeroglíficos egipcios, en evidencia desde alrededor del 3000 a. C., usaban un sistema puramente decimal, al igual que los jeroglíficos cretenses (c. 1625 −1500 a. C.) de los minoicos cuyos números se basan estrechamente en el modelo egipcio. El sistema decimal se transmitió a las culturas griegas consecutivas de la Edad del Bronce, incluido el lineal A (c. siglo XVIII a. C.-1450 a. C.) y el lineal B (c. 1375-1200 a. C.): el sistema numérico de la Grecia clásica también usaba poderes de diez, incluidos los números romanos, una base intermedia de 5. En particular, el erudito Arquímedes (c. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basó en 10⁸ y más tarde llevó al matemático alemán Carl Friedrich Gauss a lamentar qué alturas habría alcanzado la ciencia en sus días si Arquímedes se hubiera dado cuenta del potencial de su ingenioso descubrimiento. Los jeroglíficos hititas (desde el siglo XV a. C.) también eran estrictamente decimales.

Algunos textos antiguos no matemáticos, como los Vedas, que datan de 1700 a 900 a. C., utilizan decimales y fracciones decimales matemáticas.

Los números hieráticos egipcios, los números del alfabeto griego, los números del alfabeto hebreo, los números romanos, los números chinos y los primeros números indios Brahmi son todos sistemas decimales no posicionales y requerían una gran cantidad de símbolos. Por ejemplo, los números egipcios usaban diferentes símbolos para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1000, 2000, 3000, 4000, a 10,000. El sistema decimal posicional más antiguo del mundo fue el cálculo de barras chino.

El sistema decimal posicional más antiguo del mundo
Forma vertical de fila superior
Forma horizontal de fila inferior

Historia de las fracciones decimales

contando la fracción decimal de varilla 1/7

Las fracciones decimales fueron desarrolladas y utilizadas por primera vez por los chinos a fines del siglo IV a. C., y luego se extendieron al Medio Oriente y de allí a Europa. Las fracciones decimales chinas escritas no eran posicionales. Sin embargo, las fracciones de las varillas de conteo eran posicionales.

Qin Jiushao en su libro Tratado matemático en nueve secciones (1247) denota 0.96644 por

.

, que significa

.

096644

J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito en el siglo X. El matemático judío Immanuel Bonfils usó fracciones decimales alrededor de 1350, anticipándose a Simon Stevin, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. El matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales en el siglo XV. Al Khwarizmi introdujo la fracción en los países islámicos a principios del siglo IX; un autor chino ha alegado que su presentación de fracción era una copia exacta de la fracción matemática china tradicional de Sunzi Suanjing. Esta forma de fracción con numerador arriba y denominador abajo sin barra horizontal también fue utilizada por al-Uqlidisi y por al-Kāshī en su obra "Clave aritmética".

Simon Stevin introdujo un precursor de la notación decimal europea moderna en el siglo XVI.

John Napier introdujo el uso del punto (.) para separar la parte entera de un número decimal de la parte fraccionaria en su libro sobre la construcción de tablas de logaritmos, publicado póstumamente en 1620.

Lenguajes naturales

En la India surgió un método para expresar todos los números naturales posibles utilizando un conjunto de diez símbolos. Varios idiomas indios muestran un sistema decimal sencillo. Muchos idiomas indoarios y dravidianos tienen números entre 10 y 20 expresados en un patrón regular de suma de 10.

El idioma húngaro también utiliza un sistema decimal sencillo. Todos los números entre 10 y 20 se forman regularmente (por ejemplo, 11 se expresa como "tizenegy" literalmente "one on ten"), al igual que los números entre 20 y 100 (23 como " huszonhárom" = "tres sobre veinte").

Un sistema de clasificación decimal sencillo con una palabra para cada orden (10 十, 100 百, 1000 千 , 10,000 万), y en el que 11 se expresa como diez-uno< /i> y 23 como dos-diez-tres, y 89,345 se expresa como 8 (diez mil) 万< /span> 9 (mil) 千 3 (cien) 百 4 (decenas) 十< /span> 5 se encuentra en chino y en vietnamita con algunas irregularidades. Los japoneses, coreanos y tailandeses han importado el sistema decimal chino. Muchos otros idiomas con sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20, y las décadas. Por ejemplo, en inglés 11 es "once" no "diez uno" o "un adolescente".

Los idiomas incas como el quechua y el aymara tienen un sistema decimal casi sencillo, en el que 11 se expresa como diez con uno y 23 como dos-diez con tres.

Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades de los nombres de los números en inglés pueden dificultar la habilidad de contar de los niños.

Otras bases

Algunas culturas usan, o usaron, otras bases de números.

• Las culturas mesoamericanas precolombinas como los mayas utilizaron un sistema base-20 (quizás basado en el uso de los veinte dedos y dedos).
• El lenguaje Yuki en California y los idiomas Pamean en México tienen sistemas octales (base-8) porque los altavoces cuentan usando los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos mismos.
• La existencia de una base no decimal en las primeras trazas de los idiomas germánicos se comprueba por la presencia de palabras y brillos que significa que el conteo está en decimal (cognates a "ten-count" o "tenty-wise"); tal sería esperado si el conteo normal no es decimal, e inusual si fuera. Donde se conoce este sistema de conteo, se basa en los "long hundred" = 120, y un "long thousand" de 1200. Las descripciones como "long" sólo aparecen después de que los "pequeños cientos" de 100 aparecieron con los cristianos. Gordon's Introduction to Old Norse Archived 2016-04-15 en el Wayback Machine p. 293, da nombres de números que pertenecen a este sistema. Una expresión cognate a 'uno ciento ochenta' se traduce a 200, y el cognate a 'doscientos' se traduce a 240. Goodare detalla el uso de los cientos largos en Escocia en la Edad Media, dando ejemplos como cálculos donde la carga implica i C (es decir, cien) como 120, etc. Que la población general no estaba alarmada para encontrar esos números sugiere un uso suficiente común. También es posible evitar números similares a cien utilizando unidades intermedias, como piedras y libras, en lugar de un largo recuento de libras. Goodare da ejemplos de números como la puntuación vii, donde se evitan los cientos utilizando puntajes extendidos. También hay un artículo de W.H. Stevenson, sobre 'Long Centred y sus usos en Inglaterra'.
• Muchos o todos los idiomas de Chumashan utilizaron originalmente un sistema de conteo base-4, en el que los nombres para números fueron estructurados de acuerdo con múltiplos de 4 y 16.
• Muchos idiomas usan sistemas de números quinarios (base-5), incluyendo Gumatj, Nunggubuyu, Kuurn Kopan Noot y Saraveca. De ellos, Gumatj es el único verdadero 5–25 idioma conocido, en el que 25 es el grupo más alto de 5.
• Algunos nigerianos utilizan sistemas duodecimales. Así lo hicieron algunas comunidades pequeñas en la India y Nepal, como se indica en sus idiomas.
• Se informa de que el idioma Huli de Papua Nueva Guinea tiene 15 números básicos. Ngui significa 15, ngui ki significa 15 × 2 = 30, y ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
• Umbu-Ungu, también conocido como Kakoli, se reporta que tiene números base-24. Tokapu significa 24, tokapu talu significa 24 × 2 = 48, y tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
• Ngiti tiene un sistema de número base-32 con ciclos base-4.
• Se informa que el idioma Ndom de Papua Nueva Guinea tiene números base 6. Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, Nif significa 36, y Nif significa 36×2 = 72.